AlegsaOnline.com

Elastne kokkupõrge – määratlus, energia ja impulsi säilimine

Õpi elastse kokkupõrke määratlust, kineetilise energia ja impulsi säilimist praktiliste näidete, valemite ja lihtsate selgitustega — kiire ülevaade ja intuitiivsed illustratsioonid.

Autor: Leandro Alegsa

08-11-2025

Elastne kokkupõrge on see, kui kaks objekti põrkuvad kokku ja põrkuvad tagasi vähese deformatsiooniga või ilma deformatsioonita. Näiteks kaks kummist palli, mis põrkuvad kokku, on elastsed. Kahe auto kokkupõrge oleks ebaelastiline, sest autod purunevad ja ei põrke tagasi. Täielikult elastse kokkupõrke korral (lihtsaim juhtum) ei lähe kineetiline energia kaduma ja seega on kahe objekti kineetiline energia pärast kokkupõrget võrdne nende kogu kineetilise energiaga enne kokkupõrget. Elastsed kokkupõrked toimuvad ainult siis, kui kineetiline energia ei muutu teistesse vormidesse (soojus, heli). Teine reegel, mida tuleb elastsete kokkupõrgetega töötades meeles pidada, on see, et impulss säilib.

Põhimõisted

Impulsi säilimine: suletud süsteemis on koguimpulss enne ja pärast kokkupõrget sama. Impulss on vektoriaalne suurus (mass × kiirus).
Kineetilise energia säilimine: täielikult elastse kokkupõrke korral ei muutu süsteemi kogu kineetiline energia.
Elastsusaste: reaalsetel kokkupõrgetel kasutatakse sageli põrkumise kordajat ehk restitutsioonikoefitsienti e, mille puhul e = 1 vastab täielikult elastsele kokkupõrkele.

Matemaatiline kirjeldus (üks dimensioon)

Kahe keha (massid m1 ja m2) ühe‑mõõtmelises elastses kokkupõrkes, kus algkiirused on u1 ja u2 ning lõppkiirused v1 ja v2, kehtivad kaks võrrandit:

impulsi säilimine: m1·u1 + m2·u2 = m1·v1 + m2·v2
kineetilise energia säilimine: 1/2·m1·u1^2 + 1/2·m2·u2^2 = 1/2·m1·v1^2 + 1/2·m2·v2^2

Neid lahendades saab avaldada lõppkiirused kujul

v1 = ((m1 - m2)/(m1 + m2))·u1 + (2·m2/(m1 + m2))·u2

v2 = (2·m1/(m1 + m2))·u1 + ((m2 - m1)/(m1 + m2))·u2

Erandid ja lihtsustused:

kui m1 = m2, siis v1 = u2 ja v2 = u1 — massid vahetavad kiirused;
kui sihtmärk on puhkeolekus (u2 = 0), siis v1 = (m1 - m2)/(m1 + m2)·u1 ja v2 = (2·m1/(m1 + m2))·u1.

Kahemõõtmeline ja vektoriaalne käsitlus

Kahemõõtmelises kokkupõrkes säilib impulss vektoriaalselt (igal koordinaatil). Kineetilise energia säilimine annab lisatingimuse, mistõttu kaks mõõdet hõlmava elastse põrke lahendamiseks tuleb analüüsida nii komponente kui ka energia. Sageli projitseeritakse kiirused kokkupõrke teljele ja seda risti olevatele suundadele, kus ühe komponendi puhul viib energiasäilimine või geomeetriline analüüs lahendini.

Kesktasandi vaade ja intuitiivne seletus

Kesktasandi (centre of mass, COM) süsteemis on elastse põrke puhul sageli mugav vaadata — ühe‑mõõtmelises COM‑raamistikus pöörduvad keha kiirused lihtsalt vastassuunaliseks (sama suuruse, vastupidise märgiga). See seletab, miks näiteks võrdsed massid vahetavad kiirusi.

Näited ja piirangud

Täielikult elastne: ideaalsed juhtumid, näiteks punktosakesed või molekulid gaasis, kus energiahäireid on minimaalselt.
Praktilised lähedased juhtumid: billiardipallid või kummipallid võivad kokkupõrgetes üsna elastsed olla, kuid osa energiast läheb alati heliks, soojuseks või deformatsiooniks.
Ebaelastne kokkupõrge: autod põrkuvad sageli ebaelastiliselt — osa kineetilisest energiast muudetakse püsivaks deformatsiooniks ja soojuseks.

Kokkuvõte

Elastne kokkupõrge tähendab süsteemi impulsi ja kogu kineetilise energia säilimist. See on kasulik teoreetiline mudel, mida kasutatakse osakeste, pallide ja muude objektide liikumise kirjeldamiseks, kuid reaalses maailmas on täielikult elastseid kokkupõrkeid harva — enamasti on tegemist lähedaste või ligikaudsete elastsusega juhtumitega.

Ebavõrdsete masside elastse kokkupõrke näidis

Ühemõõtmeline Newtoni

Vaatleme kahte osakest, mis on tähistatud indeksitega 1 ja 2. Olgu massid m₁ ja m₂ , kiirused u₁ ja u₂ enne kokkupõrget ning v₁ ja v₂ pärast kokkupõrget.

Kasutades impulsi säilitamise valemit ühe valemi kirjutamiseks

Kuna tegemist on elastse kokkupõrkega, on kogu impulss enne kokkupõrget sama, mis kogu impulss pärast kokkupõrget. Arvestades, et impulss (p) arvutatakse järgmiselt

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv} $\,\!p=mv$

Võime arvutada, et impulss enne kokkupõrget on:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

ja impulss pärast kokkupõrget olema:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Kui need kaks võrdsustame, saame esimese võrrandi:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Kasutades energia säilimist teise valemi kirjutamiseks

Teine reegel, mida me kasutame, on see, et kogu kineetiline energia jääb samaks, mis tähendab, et algne kineetiline energia on võrdne lõpliku kineetilise energiaga.

Kineetilise energia valem on:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Seega, kasutades samu muutujaid kui varem: Algne kineetiline energia on:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

Lõplik kineetiline energia on:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Määrates need kaks võrdseks ( kuna kogu kineetiline energia jääb samaks):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Kui need kaks võrrandit kokku panna

Neid võrrandeid võib lahendada otse, et leida v_i , kui u_i on teada, või vastupidi. Siin on näidisülesanne, mida saab lahendada kas impulsi või energia säilimise abil:

Näiteks:

Pall 1: mass = 3 kg, v = 4 m/s.

Pall 2: mass = 5 kg, v = -6 m/s.

Pärast kokkupõrget:

Pall 1: v = -8,5 m/s.

Pall 2: v = tundmatu ( Esitame seda v-ga )

Kasutades impulsside säilimist:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8.5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

Pärast korrutamist ja seejärel 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)} $3*(-8.5)$ lahutamist mõlemast küljest saame:

12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Kui liidetakse vasakpoolne summa ja seejärel jagatakse see 5-ga {\displaystyle 5} $5$ , saame:

7.5 5 = v {\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v}} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , ja tehes lõpliku jaotuse saame: 1.5 = v {\displaystyle \ 1.5=v} $\ 1.5=v$

Me oleksime võinud selle probleemi lahendada ka energia säilimise põhimõtte abil:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}}} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Korrutades mõlemad pooled 2 {\displaystyle 2} $2$ , ja tehes seejärel kõik vajalikud korrutised, saame:

48 + 180 = 216.75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216.75+5v^{2}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Kui liidame vasakul olevad arvud, lahutame mõlemast küljest 216,75 {\displaystyle 216.75} $216.75$ ja jagame 5-ga {\displaystyle 5} $5$ , saame tulemuseks:

2.25 = v 2 {\displaystyle \ 2.25=v^{2}} $\ 2.25=v^{2}$

Võttes mõlema poole ruutjuure, saame vastuseks v = ± 1.5 {\displaystyle v=\pm 1.5} $v=\pm 1.5$ .

Kahjuks peaksime ikkagi kasutama impulsi säilimist, et välja selgitada, kas v {\displaystyle v} $v$ on positiivne või negatiivne.

Küsimused ja vastused

K: Mis on elastne kokkupõrge?

V: Elastne kokkupõrge on see, kui kaks objekti põrkuvad kokku ja põrkuvad tagasi vähese deformatsiooniga või ilma deformatsioonita.

K: Mis on näide elastse kokkupõrke kohta?

V: Kaks kummist palli, mis põrkuvad kokku, oleks näide elastsest kokkupõrkest.

K: Mis on ebaelastiline kokkupõrge?

V: Ebastabiilne kokkupõrge on see, kui kaks objekti põrkuvad kokku ja muljuvad ning ei põrku tagasi.

K: Mis on näide mitteelastilisest kokkupõrkest?

V: Kahe auto kokkupõrge oleks näide ebaelastilisest kokkupõrkest.

K: Mis juhtub täiesti elastse kokkupõrke korral?

V: Täielikult elastse kokkupõrke korral ei lähe kineetiline energia kaduma ja seega on kahe objekti kineetiline energia pärast kokkupõrget võrdne nende kogu kineetilise energiaga enne kokkupõrget.

K: Kuidas toimuvad elastsed kokkupõrked?

V: Elastsed kokkupõrked toimuvad ainult siis, kui kineetiline energia ei muutu netosummana teistesse vormidesse, näiteks soojuseks või heliks.

K: Mis säilib elastse kokkupõrke korral?

V: Elastse kokkupõrke korral säilib impulss.