Heksaeeder — kuuekülgne hulktahukas, tüübid ja omadused

Heksaeeder (mitmuses: heksaeedrid) on mis tahes hulktahukas, millel on kuus külge. Näiteks kuubik on korrapärane heksaeeder, mille kõik küljed on ruudukujulised ja iga tipu ümber on kolm ruutu. Kuubiku kõrval kuuluvad heksaedrite hulka ka sellised tuttavad ruumilised kujundid nagu risttahukas (parallelepiped), rombihoone (rhombohedron) ja mitmesugused prisma- ning prisma-tüüpi kehad, mille tahud võivad olla kolmnurgad, nelinurgad või muud hulknurgad.

Topoloogiliselt on tuntud seitse erinevat kumerat heksaedrit (st sellist hulktahuka tüüpi, mida saab kujutada kuju suhtes kumerana), millest üks eksisteerib kahes peeglpildis (chiraalsed versioonid). "Topoloogiliselt erinevad" tähendab siin, et nende tahkude, servade ja tippude omavaheline paigutus on olemuslikult erinev — ühte tüüpi ei saa lihtsalt servade pikkusi või nurki muutes teiseks teisendada ilma struktuuri lõhkumata.

Lisaks neile seitsmele kumerale tüübile on olemas ka kolm topoloogiliselt erinevat heksaedrit, mida ei saa realiseerida kumeratena, vaid ainult mittkumeratena (konkaavsetena). Mõned neist on selgelt peegelpildi- või pööratavad variandid; teised on eripärased konfiguratsioonid, kus mõni tahk „sissepoole“ vajub, tekitades konkaavse nurga.

Põhiomadused ja üldised seosed

• Tahkude arv: F = 6 (see on heksaedri määrav tunnus).
• Euler’i seos: polüeedri puhul kehtib V − E + F = 2. Seega F = 6 annab V − E = −4 või E = V + 4.
• Kõik nelinurksed tahud: kui kõik kuus tahku on nelinurgad (nagu paljudel ehitusliku tüübiga heksaedritel), siis iga tahk annab 4 serva, summa 24 = 2E → E = 12 ja sellest V = 8. See on kuubi/risttahuka tavaline kombinatsioon.
• Erinevad tippude astmed: kuubikul on iga tipu aste 3 (iga tippu kohtub kolm tahku). Teistel tüüpide puhul võivad tippude astmed olla erinevad ja seega muutub ka servade ja tippude arv vastavalt.
• Duaalne polüeedriks: heksaedri duaalseks kujuks (näiteks kuubi duaalseks kujuks) on polüeedrid, millel on 6 tippu — kuubi duaalseks on oktaeedrilaadne kuju (oktaeedril pole tingimata korrapärane oktaeedriks).

Tüübid ja näited

• Korrapärane heksaeeder (kuup): kõik tahud võrdsetest ruutudest, sümmeetriline ja iseloomulik näide.
• Risttahukas / paralelepiped: tahud on nelinurkad, kuid nurkad ja servad võivad erineda; sagely kasutatav ehituses ja tehnilistes rakendustes.
• Rhombohedron: kõik tahud on rombid — kuubist nihutatud paralelepiped.
• Muud kumerad tüübid: need hõlmavad erinevaid konfiguratsioone, kus tahkude ja tippude paigutus erineb kuubist (ühelt poolt on need kujundid, mida saab kujutada kõverduvusega, ilma et tekiks konkaavseid nurki).
• Konkaavsed heksaedrid: kuus tahku, kuid mõni nurk on konkaavne — selliseid tüüpe tihkelt ei ole võimalik deformeerida kumeraks ilma pingete/servade klaasita või lõikamata.

Rakendused ja tähtsus

Heksaedrid on praktiliselt olulised nii igapäevaelus kui teaduses ja tehnikas:

• ehitus- ja pakenditööstus (tellised, kastid jne);
• arvuti- ja graafikaprogrammides kasutatakse heksaedrilisi elemente 3D-mudelite ja võrkude (meshing) jaoks — heksaedrilised tetra- või heksaeederpõhised elemendid on olulised lõplike elementide meetodis;
• geomeetrias ja topoloogias aitavad heksaedrite klassifikatsioonid mõista polüeedrite võimalikku mitmekesisust ja sümmeetriat;
• teatud kristallstruktuurid ja ruumilise täidisena kasutatavad konfiguratsioonid võivad samuti sisaldada heksaedri-laadseid üksusi.

Kokkuvõte

Heksaeeder ehk kuuekülgne hulktahukas on lihtne, kuid mitmekesine polüeedrite klass: kuubist ja risttahukast kuni konkaavsete erikujuvariatsioonideni. Topoloogiliselt on kumeraid heksaedreid seitse (sh üks chiraalne paar) ning lisaks on olemas kolm topoloogilist tüüpi, mida saab realiseerida ainult mittkumeratena. Arusaamine heksaedrite omadustest nõuab nii Euler’i valemi kasutamist kui ka tähelepanekut tahkude tüübi ja tipustuse kohta.

Küsimused ja vastused

K: Mis on heksavälk?

K: Kas kuubikut võib pidada heksakeedriks?

K: Mitu topoloogiliselt erinevat kumerat heksaedrit on olemas?

K: Kas kaks hulktahukat võivad olla topoloogiliselt erinevad?

K: Mitu peegelpildivormi on olemas ühele seitsmest topoloogiliselt erinevast kumerast heksaeedrist?

K: Kas on olemas topoloogiliselt eristatavaid heksaeedreid, mida saab realiseerida ainult kumerate kujude kujul?

K: Kas ühte topoloogiliselt erinevatest kumeratest heksaedritest saab moonutada üheks topoloogiliselt erinevaks kumeraks heksaedriks?

Otsing