Matemaatiline induktsioon
Matemaatiline induktsioon on eriline viis matemaatilise tõe tõestamiseks. Selle abil saab tõestada, et miski on tõene kõigi naturaalarvude (kõik positiivsed täisarvud) puhul. Idee seisneb selles, et
- Midagi on tõsi esimese juhtumi puhul
- Sama kehtib alati ka järgmise juhtumi puhul
siis
- Sama kehtib iga juhtumi puhul
Matemaatika ettevaatlikus keeles:
- Märkige, et tõendamine toimub induktsiooni teel n {\displaystyle n}
üle. ( n {\displaystyle n} on induktsioonimuutuja.) - Näita, et väide on tõene, kui n {\displaystyle n} on 1.
- Oletame, et väide on tõene mis tahes naturaalarvu n {\displaystyle n} puhul. (Seda nimetatakse induktsioonisammuks.)
- Näita siis, et väide on tõene järgmise arvu n + 1 {\displaystyle n+1}
kohta.
Kuna see on tõene 1 jaoks, siis on see tõene 1+1 (=2, induktsioonisammu järgi), siis on see tõene 2+1 (=3), siis on see tõene 3+1 (=4) jne.
Näide induktsioonitõendamisest:
Tõestada, et kõigi naturaalarvude n puhul:
1 + 2 + 3 + . . . . + ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle 1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)} 
Tõendid:
Esmalt võib väite kirjutada: kõigi naturaalarvude n
2 ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)} 
Induktsiooniga n,
Esiteks, kui n=1:
2 ∑ k = 1 1 k = 2 ( 1 ) = 1 ( 1 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)} 
,
nii et see on tõsi.
Järgnevalt oletame, et mingi n=n0 puhul on väide tõene. See tähendab, et:
2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)} 
Siis, kui n=n0+1:
2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k}} 
võib ümber kirjutada
2 ( ∑ k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 ) ) {\displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)} 
Kuna 2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) , {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),} 
2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)} 
Seega on tõestus õige.
Sarnased tõendid
Matemaatiline induktsioon esitatakse sageli algväärtusega 0 (mitte 1). Tegelikult töötab see sama hästi erinevate algväärtustega. Siin on näide, kui algväärtus on 3. n-suunalise hulknurga sisekülgede summa on ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180}
kraadi.
Algväärtus on 3 ja kolmnurga sisemise nurga väärtus on ( 3 - 2 ) 180 {\displaystyle (3-2)180} 
kraadi. Oletame, et n {\displaystyle n} -külgse hulknurga sisenurgad on ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} kraadi. Lisame kolmnurga, mis teeb kujundist n + 1 {\displaystyle n+1} kolmnurga {\displaystyle n+1}. -küljeline hulknurk, mis suurendab nurkade arvu 180 kraadi võrra ( n - 2 ) 180 + 180 = ( n + 1 - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180}
kraadi. Tõendatud.
On väga palju matemaatilisi objekte, mille puhul tõestamine matemaatilise induktsiooni abil toimib. Tehniline termin on hästi korrastatud hulk.
Induktiivne määratlus
Sama mõte võib toimida nii defineerimiseks kui ka tõestamiseks.
Määratlege n {\displaystyle n} kolmanda astme nõbu:
- 1 {\displaystyle 1}
esimese astme sugulane on vanema õe või venna laps. - n + 1 {\displaystyle n+1} esimese astme sugulane on vanema n {\displaystyle n} kolmanda astme sugulase laps.
Loomulike arvude aritmeetika jaoks on olemas aksioomide kogum, mis põhineb matemaatilisel induktsioonil. Seda nimetatakse "Peano aksioomideks". Määratlemata sümbolid on | ja =. Aksioomid on järgmised.
- | on loomulik arv
- Kui n {\displaystyle n} on naturaalarv, siis n | {\displaystyle n|}
on naturaalarv. - Kui n | = m | {\displaystyle n|=m|}
siis n = m {\displaystyle n=m} 
Seejärel saab matemaatilise induktsiooni abil defineerida liitmise ja korrutamise jne operatsioonid. Näiteks:
- m + | = m | {\displaystyle m+|=m|}
- m + n | = ( m + n ) | {\displaystyle m+n|=(m+n)|}
Küsimused ja vastused
K: Mis on matemaatiline induktsioon?
V: Matemaatiline induktsioon on eriline matemaatilise tõe tõestamise viis, mille abil saab tõestada, et miski on tõene kõigi naturaalarvude või positiivsete arvude puhul alates teatud punktist.
K: Kuidas toimub tõendamine induktsiooni teel?
V: Induktsiooniga tõestamine käib tavaliselt nii, et tõendus tehakse üle n, näidatakse, et väide on tõene, kui n on 1, eeldatakse, et väide on tõene mis tahes naturaalarvu n puhul, ja seejärel näidatakse, et see on tõene järgmise arvu (n+1) puhul.
K: Mida tähendab induktiivses sammus millegi eeldamine?
V: Induktiivses sammus midagi eeldada tähendab, et võtame selle tõeseks ilma tõendeid või tõestust esitamata. See on lähtepunktiks edasise uurimise jaoks.
K: Milliseid arvusid kasutatakse matemaatilises induktsioonis?
V: Matemaatilises induktsioonis kasutatakse tavaliselt naturaalarvusid või positiivseid arvusid alates teatud punktist.
K: Kuidas näidata, et midagi on tõene järgmise arvu (n+1) puhul?
V: Et näidata, et miski on tõene järgmise arvu (n+1) puhul, tuleb kõigepealt tõestada, et see on tõene, kui n=1, ja seejärel kasutada induktiivse sammu eeldust, et näidata, et see on tõene ka n+1 puhul.
