Topoloogiline ruum
Topoloogiline ruum on ruum, mida uuritakse topoloogias, kujundite struktuuri matemaatikas. Jämedalt öeldes on see hulk asju (mida nimetatakse punktideks) koos viisiga, kuidas teada saada, millised asjad on üksteisele lähedal.
Täpsemalt öeldes on topoloogilises ruumis teatud liiki hulk, mida nimetatakse avatud hulkadeks. Avatud hulgad on olulised, sest need võimaldavad rääkida teise punkti lähedal asuvatest punktidest, mida nimetatakse punkti naabruskonnaks. Punkti naabrus on lihtsalt avatud hulk, mis sisaldab seda punkti. Kui avatud kogumi mõistet ei oleks olemas, ei saaks naabruskondi korralikult defineerida. Kui püüda defineerida punkti naabrus kui mis tahes hulk, mis sisaldab seda punkti, siis võib see sisaldada ainult seda punkti ja ainult seda punkti, mitte ühtegi punkti selle lähedal või kaugemal asuvat punkti. Meil on olemas ka suletud hulkade mõiste, mis on avatud hulkade täiendused. See tähendab, et kõik punktid, mis ei kuulu teatud avatud kogumitesse, moodustavad suletud kogumi.
Avatud komplektid peavad järgima teatavaid reegleid, et need vastaksid meie ettekujutusele lähedusest. Mis tahes hulga avatud hulkade liit peab olema avatud ja piiratud hulga suletud hulkade liit peab olema suletud. (Teine reegel kehtib ainult piiratud arvu suletud hulkade puhul. Seda seetõttu, et paljudel juhtudel on ühte punkti sisaldav hulk suletud. Iga hulk koosneb punktidest. Kui teine reegel kehtiks lõpmatu hulga suletud hulkade suhtes, siis oleks iga hulk suletud). Erijuhtumina on iga punkti sisaldav hulk nii avatud kui ka suletud. Kogum, mis ei sisalda ühtegi punkti, on samuti nii avatud kui ka suletud.
Punktide hulk võib olla mitmel erineval viisil defineeritud, mis on avatud hulk. Võib mõelda, et avatud on ainult teatud hulgad või et avatud on mitu hulka. Võib isegi pidada kõiki kogumeid avatud kogumiteks. Sama hulk erinevate avatud hulkade definitsioonidega moodustab erinevaid topoloogilisi ruume.
Küsimused ja vastused
K: Mis on topoloogiline ruum?
V: Topoloogiline ruum on punktide kogum koos viisiga, mille abil saab teada, millised asjad on üksteisele lähedal. Seda uuritakse matemaatikas kujundite struktuuri.
K: Mis on avatud kogud?
V: Avatud hulgad on olulised, sest need võimaldavad rääkida teise punkti lähedal asuvatest punktidest, mida nimetatakse punkti naabruseks. Need on defineeritud teatud liiki hulkadena, mida saab kasutada naabruskondade hea määratlemiseks.
K: Millest peavad avatud hulgad tulenema?
V: Avatud hulgad peavad järgima teatud reegleid, et nad vastaksid meie ettekujutusele lähedusest. Mis tahes hulga avatud hulkade liit peab olema avatud ja piiratud hulga suletud hulkade liit peab olema suletud.
K: Mis on avatud ja suletud hulkade erijuhtum?
V: Nii avatud kui ka suletud hulkade erijuhtum on see, et iga punkti sisaldav hulk on nii avatud kui ka suletud, samuti on nii avatud kui ka suletud hulk, mis ei sisalda ühtegi punkti.
K: Kuidas mõjutavad erinevad definitsioonid topoloogilisi ruume?
V: Erinevad definitsioonid selle kohta, mis on avatud hulk, võivad mõjutada topoloogilisi ruume, pidades ainult teatud kogumeid avatud või tavalisest rohkem või isegi pidades iga kogumit avatud.
K: Kas lõpmatu arv suletud hulkasid võib moodustada mis tahes hulga?
V: Ei, kui lõpmatu arv suletud kogumeid oleks lubatud, siis loeksime iga kogumit kinniseks, sest iga hulk koosneb ainult punktidest.
