Topoloogiline ruum (matemaatika): definitsioon, avatud ja suletud kogumid

Topoloogiline ruum: põhjalik definitsioon ning intuitiivsed seletused avatud ja suletud kogumite, naabruskondade ja topoloogia põhireeglite kohta.

Topoloogiline ruum on matemaatiline struktuur, mida uuritakse topoloogias. Intuitsioonina võib mõelda topoloogilist ruumi kui mingit hulka objekte (nende elemente nimetatakse punktideks) koos reeglite kogumile, mis ütlevad, millised hulgad neist punktidest on „avatud” — st millised hulgad formaatlikult väljendavad lähedust või naabruskonda.

Ametlik definitsioon ja avatud hulgad

Topoloogiline ruum koosneb paari (X, T), kus X on mittetühi hulk ja T on X-i osahulkade kollektsioon, mille elemendid nimetatakse avatud hulkadeks. Kogum T peab rahuldama kolm axiomit:

• tühik ja kogu: tühi hulk ∅ ja kogu X on avatud;
• suvaliste liitude avatus: suvaline (ka lõpmatu) avatud hulkade liit on avatud;
• lõplike lõikete avatus: lõpliku arvu (sh kahe) avatud hulkade lõike on avatud.

Need reeglid tagavad, et avatud hulgad käituvad nii, nagu me läheduse-kontseptsioonilt ootame.

Suletud hulgad ja seosed avatud hulga mõistega

Suletud hulk on definitsiooni järgi avatud hulga täiend: kogum A on suletud kui X \ A on avatud. Seega tulenevad suletud hulga omadused avatud hulkade omadustest: tühi hulk ja X on ka suletud, suvaline (ka lõpmatu) suletud hulkade lõik on suletud ja lõpliku arvu suletud hulkade liit on suletud.

Mõnikord kasutatakse ka sõna „clopen” (eesti keeles sageli koväljane või lihtsalt „nii avatud kui suletud”) täpsustamaks, et mõni kogum võib olla samaaegselt nii avatud kui ka suletud. Kõige tavalisemad näited, mis on alati nii avatud kui ka suletud, on ∅ ja X; sõltuvalt topoloogiast võivad ka teised hulgad (näiteks üksikud punktid diskreetse topoloogia korral) olla clopen.

Naabruskond, sisemine, sulg ja piir

Naabruskond (neighborhood) punktist x on igasugune hulk, mis sisaldab mingit avatud hulka, mis omakorda sisaldab x-i. See annab täpse tähenduse väljendile „lähedal asuvad punktid”.

Mõned standardsed konstruktsioonid

• Sisemine (interior) A° — suurim avatud hulk, mis on A sees;
• Sulg (closure) \overline{A} — kõige väiksem suletud hulk, mis sisaldab A (või punktide kogu, millest iga naabruskond lõikub A-ga);
• Põhi- või piir (boundary) ∂A = \overline{A} \ A° — punktid, mis ei kuulu A° ega X\overline{A}°; teisisõnu punktid, mille iga naabruskond sisaldab nii A-st kui ka A-komplemendist punkte.
• Akumulatsiooni- või piirpunkt — punkt, mille iga naabruskond sisaldab mingit muud A-s olevat punkti (vahetult mitte ainult seda punkti).

Axiomi jaotus veidi selgemalt

Varasem tekst mainis, et „piiratud hulga suletud hulkade liit peab olema suletud”; õige tingimus suletud hulkade jaoks on, et lõpliku arvu suletud hulkade liit on suletud. Kui piisaks suvaliste (ka lõpmatute) suletud hulkade liidust, oleksid lisatingimused avatud hulga-aktsioone komplementi võtmisel teisendades liiga tugevad ja enamik tavalisi topoloogiad ei rahuldaks sellist nõuet.

Näited topoloogiatest

• Standardsed topoloogiad rea- ja ruumivektoritel: rea sirgel R kasutatakse tavaliselt avatud hulki, mis on avatud intervallid (vabakujulised liigid liidud ja lõplikud lõiked moodustavad standardse topoloogia).
• Metriteeritud ruumide topoloogia: iga metriline ruum (d(x,y) distances) omistab avatud hulgaks punktide ümbrused kindla raadiusega; see annab alati topoloogia.
• Diskreetne topoloogia: kõik X-i alamhulgad on avatud; selles iga kogum on samal ajal ka suletud.
• Triviaalne (indiscrete) topoloogia: ainuisikuliselt avatud on ∅ ja X; sellega on väga vähe „lähedust” eristavaid atribuute.
• Kofiniit-topoloogia: avatud on ∅ ja kõik need hulgad, mille komplement on lõplik; tihti kasutatav näidis topoloogia, kus punktid ei ole hästi eristatavad, kuid ruum on kompaktne.

Pidevus, homeomorfism ja konstruktsioonid

Funktsioon f : X → Y kahe topoloogilise ruumi vahel on pidev täpselt siis, kui iga Y avatud hulkide preimage f^{-1}(U) on X-is avatud. See lihtne avade-pere näitaja võimaldab üldistada piirangut „vajalikult lähestikku jäämist” ilma meetrit kasutamata. Bijektiivne pidev funktsioon, mille pöörd on ka pidev, on homeomorfism — sellised ruumid on topoloogiliselt „samad” ehk homeomorfsed.

Olulised konstruktsioonid, mida topoloogias sageli kasutatakse:

• alamtopoloogia (subspace topology) — iga X ⊂ Y korral on X-ile tuletatud topoloogia, kus avatud hulgad on kujult U ∩ X, U avatud Y-s;
• produkt-topoloogia — kahe või mitme topoloogilise ruumi produkti varustatakse loogilise avatud hulkade skeemiga (tavaline kaardina tavalise tootelugu);
• kvotsiendi topoloogia — kui X-i elemente liidetakse vastavalt mingi suhtega kokku, saadakse uus topoloogiline ruum, kus U on avatud siis, kui selle preimage on avatud algses ruumis.

Lisamärkused: eraldusaksioomid ja kasutusvaldkonnad

Topoloogias uuritakse lisaks ülalkirjeldatule ka eraldus- ja kompaktsusomadusi. Näiteks Hausdorffi (T2) omadus tähendab, et iga kahe erineva punkti jaoks leidub nende ümber eraldavad disjunkte avatud hulgad. Kompaktsus üldistab kinniste ja piiratud omaduse mõistet reaalanalüüsist.

Topoloogilised ruumid ja nende omadused on aluseks paljudele matemaatika valdkondadele: analüüsile, geomeetriale, algebrailisele topoloogiale, dünaamikale ja rakendustele nii füüsikas kui andmeteaduses (näiteks andmete hõlmatuse ja lähedusstruktuuride modelleerimisel).

Küsimused ja vastused

K: Mis on topoloogiline ruum?

K: Mis on avatud kogud?

K: Millest peavad avatud hulgad tulenema?

K: Mis on avatud ja suletud hulkade erijuhtum?

K: Kuidas mõjutavad erinevad definitsioonid topoloogilisi ruume?

K: Kas lõpmatu arv suletud hulkasid võib moodustada mis tahes hulga?

Otsing