Vääne ehk torsioon tahkismehaanikas — määratlus ja valemid

Tahkismehaanikas on väändus objekti väänamine, mis on rakendatud pöördemomendi tulemus. Ümberringiliste ristlõikete puhul on tekkivad nihkepinged risti raadiusega.

Nihkepinge võlli punktis on:

τ θ z = T r J {\displaystyle \tau _{\theta _{z}}={Tr \over J}}

T on rakendatud pöördemoment, r on kaugus pöörlemiskeskmest ja J on polaarne inertsimoment.

Pöördenurga saab leida, kasutades:

θ = T L J G {\displaystyle \theta _{}={TL \over JG}}

Kus:

• T — pöördemoment (näiteks newtonmeetrites, N·m).
• r — punktist võlli keskpunkti mõõdetud raadius (meetrites, m).
• J — polaarne inertsimoment (m4), mis iseloomustab ristlõike vastupanu väändele.
• θ — koguosa nurkne väänamine (radiaanides) üle pikkuse L.
• L — võlli pikkus (m).
• G — nihkepingete moodul ehk lõikesirutuse moodul (Shear modulus, Pa).

Eeldused ja kehtivuspiirid

• Esitatud valemid kehtivad peamiselt ühtlase ristlõike ja pideva materjali (homogeenne, isotroopne) korral.
• Arvestatakse lineaarset elastsust ja väikseid deformatsioone (Hooke’i seadus kehtib).
• Saint-Venanti hüpotees: ristlõige ei deformeeru kujuliselt (väändemugavusel olulisimad lahendused), mis on täpne ringikujuliste ristlõigete puhul. Mittesümmeetriliste või õhukeste seintega ristlõigete korral tuleb arvesse võtta warping’ut (ristlõike deformeerumine).

Polaarse inertsimomendi (J) valemid ringikujuliste ristlõikete jaoks

• Solidaalne (täis) ringi puhul: J = (π R⁴) / 2, kus R on välisraadius. Sama väljend diameetri d korral: J = π d⁴ / 32.
• Õõnes (toru) ristlõike puhul: J = (π / 2) (R_o⁴ − R_i⁴) ehk diameetritega: J = π (d_o⁴ − d_i⁴) / 32.

Nihkepinge ja selle maksimum

• Nihkepinge sõltub radiaalkaugusest: τ(r) = T r / J. See tähendab, et τ on proportsionaalne r-ga ja saavutab maksimaalse väärtuse pinnal (r = R).
• Maksimaalne nihkepinge pinnal: τ_max = T R / J.
• Ühikute kontroll: T (N·m) × R (m) / J (m⁴) → N/m² = Pa.

Seos väännuri ja shear deformeerumisega

Sooneline nurkline väänamise määr per pikkus ehk nüri pöörlemine (twist rate) on φ' = θ / L = T / (G J). Shear-venitus (nijkepinguseiline deformeerumine) ringi pinnal on γ = R · (dφ/dx) ehk γ = R · (T / (G J)). See annab seose nihkepinge ja shear-mooduli kaudu: τ = G γ.

Lihtne näide

Oletame täisringi võlli diameetriga d = 0,05 m (R = 0,025 m), T = 200 N·m ja G = 79 GPa (terase ligikaudne väärtus). Esmalt J = π d⁴ / 32 = π·(0,05)⁴/32 ≈ 3,07·10⁻⁸ m⁴. Siis τ_max = T R / J ≈ 200·0,025 / 3,07·10⁻⁸ ≈ 1,63·10⁸ Pa ≈ 163 MPa. Pöördenurk üle pikkuse L = 1 m oleks θ = T L / (J G) ≈ 200·1 / (3,07·10⁻⁸ · 7,9·10¹⁰) ≈ 0,083 rad ≈ 4,8°.

Kokkuvõte

• Väändus tekib pöördemomendi toimel ja ringikujulise ristlõike puhul jaguneb nihkepinge lineaarselt radiaatori kujul r-ga.
• Oluline on polaarne inertsimoment J, mis sõltub ristlõike geomeetriast ja määrab nii nihkepinge kui ka väänamisjäikuse.
• Valemid τ = T r / J ja θ = T L / (J G) on standardlahendused lihtsate, homogeensete, ringikujuliste võllide väändekäitumiseks.

Küsimused ja vastused

K: Mis on väändumine?

K: Kuidas on nihkepinge seotud väändumisega?

K: Millise võrrandi abil saab arvutada nihkepinget võlli ühes punktis?

K: Millist võrrandit saab kasutada väändenurga leidmiseks?

K: Mida tähistab "T" nihkepinge ja pöördenurga võrrandites?

K: Mida tähistab "r" nihkepinge võrrandis?

K: Mida tähistab "J" mõlemas võrrandis?

Otsing