Polaarinertsimoment

Märkus: Erinevates teadusharudes kasutatakse terminit inertsmoment erinevate momentide kohta. Füüsikas on inertsimoment rangelt massi teine moment seoses telje kaugusega, mis iseloomustab objekti nurkkiirendust rakendatud pöördemomendi tõttu. Inseneriteaduses (eriti masinaehituses ja tsiviilehituses) viitab inertsimoment tavaliselt pindala teisele momendile. Polaarse inertsimomendi lugemisel tuleb jälgida, et see viitaks "polaarsele teisele pindalamomendile", mitte inertsimomendile. Polaarse teise pindala momendi ühikuks on pikkus neljanda potentsile (nt m 4 {\displaystyle m^{4}} või i n 4 {\displaystyle in^{4}} ), samas kui inertsimoment on mass korda pikkus ruutu (nt k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} või l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). ).

Polaarne teine pindalamoment (mida nimetatakse ka "polaarseks inertsimomendiks") on objekti väändumisvastupidavuse mõõt, mis sõltub tema kujust. See on üks aspekt teisest pindalamomendist, mis on seotud risti telje teoreemi kaudu, kus tasapinnaline teine pindalamoment kasutab palgi ristlõike kuju, et kirjeldada selle vastupidavust deformatsioonile (painutusele), kui sellele rakendatakse jõudu, mis on suunatud neutraalteljega paralleelsel tasandil, polaarne teine pindalamoment kasutab palgi ristlõike kuju, et kirjeldada selle vastupidavust deformatsioonile (väändusele), kui rakendatakse momenti (pöördemomenti) palgi neutraalteljega risti oleval tasandil. Kui tasapinnalist teist pindala momenti tähistatakse kõige sagedamini tähega I {\displaystyle I} , siis polaarset teist pindala momenti tähistatakse kõige sagedamini kas I z {\displaystyle I_{z}} või tähega J {\displaystyle J}. , inseneriõpikutes.

Polaarse teise pindala momenti arvutatud väärtusi kasutatakse kõige sagedamini, et kirjeldada tahke või õõnes silindrilise võlli vastupanu väändumisele, näiteks sõiduki telje või veovõlli puhul. Kui neid kohaldatakse mittesingiliste talade või võllide suhtes, muutuvad polaarse pindala teise momendi arvutused võlli/tala väändumise tõttu vigaseks. Sellistel juhtudel tuleks kasutada väändekonstanti, mille arvutamisel lisatakse väärtuse arvutamisele paranduskonstant.

Polaarne teine pindala moment kannab pikkuse ühikuid neljandasse potentsi ( L 4 {\displaystyle L^{4}} ); meetrit neljandasse potentsi ( m 4 {\displaystyle m^{4}} ) meetermõõdustikus ja tolli neljandasse potentsi ( i n 4 {\displaystyle in^{4}}} ) imperialistlikus ühikute süsteemis. Otsearvutuse matemaatiline valem on antud kui kordne integraal kuju pindala R {\displaystyle R} üle. , mis asub ρ {\displaystyle \rho } kaugusel suvalisest teljest O {\displaystyle O} .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} .

Kõige lihtsamal kujul on polaarne pindala teine moment kahe tasapinnalise pindala teise momendi, I x {\displaystyle I_{x}} ja I y {\displaystyle I_{y}}, summa. . Kasutades Pythagorase teoreemi, on kaugus teljest O {\displaystyle O} ρ , ρ {\displaystyle \rho } saab jagada selle x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} komponentideks ning pindala muutuse d A {\displaystyle dA} , mis on jaotatud selle x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} komponentideks d x {\displaystyle dx} ja d y {\displaystyle dy} .

Antud kaks valemit pindala teise momendi kohta:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} ja I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

Seos polaarse teise pindala momendiga võib olla järgmine:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

∴ J = I x + I y {\displaystyle \there J=I_{x}+I_{y}}

Sisuliselt, kui polaarse teise pindala momenti suurus suureneb (st objekti suur ristlõike kuju), on objekti väändemomendi tekkimiseks vaja rohkem pöördemomenti. Tuleb siiski märkida, et see ei mõjuta väändejäikust, mille objektile annavad selle materjalid; polaarne teine pindalamoment on lihtsalt jäikus, mille objektile annab ainult selle kuju. Materjali omadustest tulenev väändejäikus on tuntud kui nihkemoodul G {\displaystyle G} . Ühendades need kaks jäikuse komponenti, saab arvutada palgi väändenurka θ {\displaystyle \theta}. kasutades:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}

kus T {\displaystyle T} on rakendatud moment (pöördemoment) ja l {\displaystyle l} on talade pikkus. Nagu näidatud, põhjustavad suuremad pöördemomendid ja talade pikkused suuremaid nurknihkeid, kus polaarse teise pindalamomendi J {\displaystyle J} suuremad väärtused. ja materjali nihkemooduli G {\displaystyle G} väärtused. vähendavad nurknihete võimalikke läbipaindeid.

Küsimused ja vastused

K: Mis on füüsikas inertsmoment?

K: Mida tähendab polaarne teine pindala moment inseneriteaduses?

Küsimus: Kuidas arvutatakse polaarset teist pindalamomenti?

Otsing