Polaarne inertsimoment: definitsioon, valemid ja rakendused

Polaarne inertsimoment: definitsioon, valemid ja rakendused — selged selgitused, praktilised arvutused, ühikud ja näited väändumise analüüsiks inseneridele ja õpilastele.

Märkus: Erinevates teadusharudes kasutatakse terminit inertsmoment erinevate momentide kohta. Füüsikas on inertsimoment rangelt massi teine moment seoses telje kaugusega, mis iseloomustab objekti nurkkiirendust rakendatud pöördemomendi tõttu. Inseneriteaduses (eriti masinaehituses ja tsiviilehituses) viitab inertsimoment tavaliselt pindala teisele momendile. Polaarse inertsimomendi lugemisel tuleb jälgida, et see viitaks "polaarsele teisele pindalamomendile", mitte inertsimomendile. Polaarse teise pindala momendi ühikuks on pikkus neljanda potentsile (nt m 4 {\displaystyle m^{4}} või i n 4 {\displaystyle in^{4}} ), samas kui inertsimoment on mass korda pikkus ruutu (nt k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} või l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). ).

Mis on polaarne (teine) pindalamoment?

Polaarne teine pindalamoment (tavaliselt tähistatud J või I_{z}) on geomeetriline suurus, mis mõõdab ristlõike vastupanu väändumisele. See sõltub ainult ristlõike kujust ja mõõtmetest, mitte materjali tihedusest või muudest füüsikalistest omadustest. Polaarne teine pindalamoment on oluline parameeter võllide ja talade disainis, kuna see määrab, kui palju pöördemomenti (T) on vaja tekitamaks antud nurknihet (θ).

Valemid ja matemaatiline määratlus

Polaarne teine pindalamoment punktist O on pindala R üle defineeritud kaksikintegraal:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}.

Kus ρ on punkti kaugus teljest O. Kui kasutame kaardesignaate x ja y, siis ρ² = x² + y² ning:

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}.

See viib lihtsa ja kasuliku seoseni polaarse ja tasapinnaliste teise pindala momentide vahel:

Kui I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy ja I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy, siis

∴ J=I_{x}+I_{y} {\displaystyle \there J=I_{x}+I_{y}} .

Levinud ristlõigete näited (sageli kasutatavad valemid)

• Täissilinder (kandiline võll), raadius r:

  J = (π r4) / 2. Praktikas kasutatakse tihti selle valemit täissilindrite ja -võllide väändeanalüüsis.

• Õõnes silinder (toru), välisraadius r_o ja siseraadius r_i:

  J = (π / 2) (r_o4 − r_i4). See määrab toru väändumisvastupidavuse.

• Ristkülikuline ristlõige, laius b ja kõrgus h (umbes, tsentroidi ümber):

  I_x = (b h3) / 12, I_y = (h b3) / 12 → J = I_x + I_y = (b h (h2 + b2)) / 12. Tasuta variatsioonid kehtivad ainult keskjoone ümber mõõdetud väärtuste korral.

• Õhukese seina toru ja keerukamad profiilid:

  Nende puhul tuleb sageli J asemel kasutada väändekonstanti (t), sest ristlõike jõudude ja nihedele reageerimine sõltub seina paksusest ja geomeetriast (eriti mitte-silindriliste või avatud sektsioonide puhul). Sellisel juhul kasutatakse täpsemaid valemeid või numbrilisi meetodeid (FEM) ning lisatakse parandusfaktorid.

Väändejäikus ja nurknihe

Polaarne teine pindalamoment annab geomeetrilise osa väändejäikusest; materjali osa lisab nihkemoodul G. Kokku saab tala või võlli nurknihe θ arvutada valemist:

θ = {\frac{T l}{J G}} {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}} .

Kus:

• T on rakendatud moment (pöördemoment),
• l on telje pikkus (või talade vahe pikkus),
• J on polaarne teine pindalamoment,
• G on materjali nihkemoodul (G).

See valem näitab intuitiivselt: suurem pöördemoment ja pikem telg suurendavad nurknihet, samas kui suurem J või G vähendavad seda.

Rakendused ja praktilised tähelepanekud

• Polaarset inertsimomenti kasutatakse võllide (nt sõiduki teljed, veovõllid), rootori- ja masinaosade väändekäitumise hindamisel.
• Oluline on eristada geomeetrilist suurust (J) ja massi inertsimomenti (massi teine moment). Need mõõdud erinevad ühikutelt ja tähenduselt — üks kirjeldab pinda/kuju, teine massi ja pöörlemise inertsi.
• Kui ristlõige ei ole ringikujuline või on avatud (nt C- või I-profiilid), ei anna lihtne J piisavat teavet väände käitumise kohta. Sellistel juhtudel kasutatakse väändekonstanti või numbrilisi meetodeid (nt FEM) ja arvestatakse ristlõike paiksetest pingedest tulenevaid erinevusi.
• Arvestada tuleb ka materjali mittelineaalsust, pragunemist ja lokaalseid deformatsioone — need mõjutavad tegelikku käitumist tugevalt, kuid ei kuulu geomeetrilise J definitsiooni alla.

Ühikute tähendus

Polaarse teise pindala momendi ühikud on pikkuse neljandas astmes (L^{4}). Tavaühikud on meetrisüsteemis m^{4} ja imperial-süsteemis in^{4}.

Kokkuvõte

Polaarne teine pindalamoment (J või I_z) on geomeetriline mõõt, mis kirjeldab ristlõike võimet vastu panna väändele. Seda kasutatakse koos materjali nihkemooduliga G, et hinnata telgede nurknihet ja disainida piisavalt jäiku võlle. Arvestada tuleb ristlõike kuju spetsiifikaga: ringikujulised sektsioonid annavad lihtsad ja täpsed valemid, keerukamad või avatud sektsioonid nõuavad parandusfaktoreid või numbrilisi meetodeid.

Polaarse teise pindala momenti arvutused on inseneritöös laialdaselt kasutatavad, kuid alati tuleb selgelt eristada see massi inertsimomendist ning valida sobiv valem või meetod vastavalt ristlõike geomeetriale ja eeldustele (nt lineaarsus, homogeenne materjal jne).

Küsimused ja vastused

K: Mis on füüsikas inertsmoment?

K: Mida tähendab polaarne teine pindala moment inseneriteaduses?

Küsimus: Kuidas arvutatakse polaarset teist pindalamomenti?

Otsing