Pythagorase teoreem

Proof

Ühe Pythagorase teoreemi tõestuse leidis kreeka matemaatik Eudoxus Cnidose matemaatik.

Tõendamiseks kasutatakse kolme lemmat:

1. Sama aluse ja kõrgusega kolmnurkadel on sama pindala.
2. Kolmnurgal, mille alus ja kõrgus on sama suur kui ruudu külg, on sama pindala kui pool ruudust.
3. Kolmnurgad, mille kaks külge ja üks nurk on kongruentsed, on kongruentsed ja neil on sama pindala.

See on tõestus:

1. Sinisel kolmnurgal on sama pindala kui rohelisel kolmnurgal, sest tal on sama alus ja kõrgus (lema 1).
2. Rohelise ja punase kolmnurga kaks külge on võrdsed sama ruudu külgedega ja nurk võrdne sirge nurgaga (90-kraadine nurk) pluss kolmnurga nurk, seega on nad kongruentsed ja neil on sama pindala (lemma 3).
3. Punase ja kollase kolmnurga pindalad on võrdsed, sest nende kõrgused ja alused on samad (1. laim).
4. Sinise kolmnurga pindala on võrdne kollase kolmnurga pindalaga, sest

A b l u e = A g r e e e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}}

1. Pruunid kolmnurgad on samadel põhjustel sama pindala.
2. Sinine ja pruun on kumbki poole väiksema ruudu pindalast. Nende pindalade summa on võrdne poole suurema ruudu pindalast. Seetõttu on väikeste ruutude pindalade pooled võrdsed suurema ruudu pindala poolega, seega on nende pindala võrdne suurema ruudu pindalaga.

Tõend sarnaste kolmnurkade abil

Saame Pythagorase teoreemi teise tõestuse, kasutades sarnaseid kolmnurki.

d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)}

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

Pildi järgi teame, et c = d + e {\displaystyle c=d+e\,\! } . Ja asendades võrrandid (1) ja (2):

c = a 2 c + b 2 c {\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}}{c}}}}

Korrutamine c-ga:

c 2 = a 2 + b 2 . \displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!. }

Pythagorase kolmikud

Pythagorase kolmikud või kolmikud on kolm täisarvu, mis vastavad võrrandile a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}} .

Tuntud näide on kolmnurk, mille küljed on 3, 4 ja 5. Kui a=3 ja b=4, siis 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}}, sest 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25}} . Seda saab näidata ka kui 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}=5.}

Kolm-neli-viis-kolmnurk töötab kõigi 3, 4 ja 5 kordajate puhul. Teisisõnu on sellised arvud nagu 6, 8, 10 või 30, 40 ja 50 samuti Pythagorase kolmikud. Teine näide kolmiku kohta on kolmnurk 12-5-13, sest 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13} .

Pythagorase kolmikut, mis ei ole teiste kolmikute korrutis, nimetatakse primitiivseks Pythagorase kolmikuks. Iga primitiivne Pythagorase kolmik saab leida, kasutades väljendit ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} , kuid peavad olema täidetud järgmised tingimused. Need seavad piirangud m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} väärtustele.

1. m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} on positiivsed täisarvud.
2. m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} ei ole ühiseid tegureid peale 1
3. m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} on vastupidise pariteediga. m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} on vastupidise pariteediga, kui m {\displaystyle m} on paariline ja n {\displaystyle n} on paaritu või m {\displaystyle m} on paaritu ja n {\displaystyle n} on paariline.
4. m > n {\displaystyle m>n} .

Kui kõik neli tingimust on täidetud, siis moodustavad väärtused m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} primitiivse Pythagorase kolmiku.

m = 2 {\displaystyle m=2} ja n = 1 {\displaystyle n=1} moodustavad primitiivse Pythagorase kolmiku. Väärtused vastavad kõigile neljale tingimusele. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4} , m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} ja m 2 + n 2 = 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} , seega tekib kolmik ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)}.