Kongruentsus
Geomeetrias on kaks kujundit või objekti kongruentsed, kui nad on sama kuju ja suurusega. Samuti siis, kui üks neist on sama kuju ja suurusega kui teise peegelpilt.
Formaalsemalt öeldes nimetatakse kahte punktikogumit kongruentseks, kui ja ainult siis, kui üks neist saab teisendada teise punktikogumiks isomeetria abil. Isomeetria puhul kasutatakse jäika liikumist.
See tähendab, et ühte objekti saab ümber paigutada ja peegeldada (kuid mitte muuta selle suurust), nii et see langeb täpselt kokku teise objektiga. Seega on kaks erinevat tasapinnalist kujundit paberil kongruentsed, kui me saame need välja lõigata ja seejärel täielikult kokku viia. Paberi ümberpööramine on lubatud.
Kongruentsed hulknurgad on hulknurgad, mis on kongruentsed hulknurgad, kui te murravad korrapärase hulknurga pooleks, mis on kongruentne hulknurk.
Kaks geomeetrilist kuju on kongruentsed, kui ühte neist saab liigutada või pöörata nii, et see sobib täpselt teise kuju kohale. Kui ühe objekti suurust tuleb muuta, ei ole need kaks objekti kongruentsed: neid nimetatakse lihtsalt sarnasteks.
Kui kaks kujundit või objekti on kongruentsed, siis on neil sama kuju ja suurus; kuid neid saab pöörata, liigutada, peegeldada (peegeldada) või teisendada, nii et see sobiks täpselt sinna, kus teine on.
Näide kongruentsusest. Kaks vasakpoolset kolmnurka on kongruentsed, kolmas kolmnurk on nendega sarnane. Viimane kolmnurk ei ole ühegi teisega sarnane ega kongruentne. Pange tähele, et kongruentsus võimaldab muuta mõningaid omadusi, näiteks asukohta ja orientatsiooni, kuid jätab teised omadused, näiteks kauguse ja nurgad, muutmata. Muutumatuid omadusi nimetatakse invariantseks.
Näited
- kõik ruudud, mille külgede pikkus on sama, on kongruentsed.
- kõik võrdkülgsed kolmnurgad, mille külgede pikkus on sama, on kongruentsed.
Kongruentsuse testid
- Kaks nurka ja nende vaheline külg on kahel kolmnurgal ühesugused (ASA kongruentsus).
- Kaks nurka ja nende vahele jääv külg on mõlemal kolmnurgal ühesugused (AAS kongruentsus).
- Mõlema kolmnurga kõik kolm külge on samad (SSS kongruentsus).
- kaks külge ja nendevaheline nurk teeb 2 kolmnurka kongruentseks (SAS kongruentsus)
Kuidas saame uusi kongruentseid kujundeid?
Meil on üsna palju võimalusi, mõned reeglid, kuidas teha uusi kujundeid, mis on originaaliga kongruentsed.
- Kui me nihutame geomeetrilist kuju tasapinnal, siis saame kuju, mis on kongruentne algsega.
- Kui me nihutamise asemel pöörame, siis saame ka kuju, mis on originaaliga kongruentne.
- Isegi kui me võtame esialgse kuju peegelpildi, siis saame ikkagi kongruentse kuju.
- Kui me kombineerime need kolm tegevust üksteise järel, siis saame ikkagi kongruentsed kujundid.
- Kongruentseid kujundeid enam ei ole. Täpsemalt öeldes tähendab see, et kui kuju on kongruentne, siis saab seda saavutada eespool kirjeldatud kolme tegevuse abil.
Suhtel, et kuju on kongruentne teise kujuga, on kolm kuulsat omadust.
- Kui me jätame algse kuju oma algsele kohale, siis on see kongruentne iseendaga. Seda käitumist, seda omadust nimetatakse refleksiivsuseks.
Näiteks kui ülaltoodud nihkumine ei ole korralik nihkumine, vaid ainult nihkumine, mis teeb nullipikkuse liikumise. Või samamoodi, kui ülaltoodud pööramine ei ole korralik pööramine, vaid ainult pööramine, mille nurk on null.
- Kui kuju on kongruentne teise kujuga, siis on ka see teine kuju kongruentne algse kujuga. Seda käitumist, seda omadust nimetatakse sümmeetriaks.
Näiteks kui me nihutame või pöörame tagasi või peegeldame uut kuju tagasi algsele, siis on algne kuju uue kujuga kongruentne.
- Kui kuju C on kongruentne kujuga B ja kuju B on kongruentne algkujuga A, siis on ka kuju C kongruentne algkujuga A. Seda käitumist, seda omadust nimetatakse transitiivsuseks.
Näiteks kui me rakendame kõigepealt nihke ja seejärel pööramise, siis on saadud uus kuju ikka veel kongruentne algsega.
Need kolm kuulsat omadust - refleksiivsus, sümmeetria ja transitiivsus - moodustavad koos ekvivalentsuse mõiste. Seega on omadus kongruentsus üks ekvivalentsussuhte liike tasandi kujundite vahel.
Küsimused ja vastused
Küsimus: Mida tähendab, et kaks arvu on geomeetrias kongruentsed?
V: Kaks kujundit on geomeetrias kongruentsed, kui neil on sama kuju ja suurus või kui üks neist on sama kuju ja suurusega kui teise peegelpilt.
K: Kuidas nimetatakse kahte punktide kogumit kongruentseks?
V: Kahte punktikogumit nimetatakse kongruentseks, kui ja ainult siis, kui üks neist on võimalik teisendada teise punktikogumiks isomeetria abil.
K: Milleks kasutatakse isomeetrias jäikasid liikumisi?
V: Jäikesi liikumisi kasutatakse isomeetrias geomeetriliste kujundite ümberpaigutamiseks, pööramiseks või peegeldamiseks ilma nende suuruse muutmiseta, nii et nad langeksid täpselt kokku teiste objektidega.
K: Kas kaks kujundit võivad olla kongruentsed, kui üks neist peab muutma oma suurust, et kattuda teise kujundiga?
V: Ei, kui üks objektidest peab oma suurust muutma, et kattuda teise objektiga, siis ei ole need kaks objekti kongruentsed, vaid neid nimetatakse sarnasteks.
K: Mida saame öelda kahe erineva tasapinnalise kujundi kongruentsuse kohta paberil?
V: Kaks erinevat tasapinnalist kujundit paberil on kongruentsed, kui me saame need välja lõigata ja seejärel täielikult kokku sobitada, vajadusel paberit ümber pöörata.
K: Mis on kongruentsed hulknurgad?
V: Kongruentsed hulknurgad on hulknurgad, mida saab pooleks voltida, et moodustada teine korrapärane hulknurk, mis on samuti kongruentne.
K: Mis on kriteerium, mille alusel saab geomeetrias kahte objekti nimetada kongruentseks?
V: Kriteerium, mille järgi kaks objekti on geomeetrias kongruentsed, on see, et ühte objekti saab ümber paigutada, pöörata või peegeldada nii, et see langeb täpselt kokku teise objektiga, ilma et selle suurus muutuks.
