Kongruentsus geomeetrias: definitsioon, omadused ja näited
Kongruentsus geomeetrias: selge definitsioon, peamised omadused ja praktilised näited — õppige, kuidas kujundeid pöörata, peegeldada ja võrrelda täpselt.
Geomeetrias räägitakse kahest kujundist või objektist kui kongruentsetest siis, kui neil on sama kuju ja sama suurus. See tähendab, et üks kujunditest on kas otseselt ühtiv teisega või on teise peegelpilt — st. neid saab täpselt üksteise peale viia ilma, et oleks vaja muutma asjade suurust.
Formaalne definitsioon
Formaalselt nimetatakse kahte punktikogumit kongruentseks, kui ja ainult siis, kui üks neist teisendub teiseks läbi isomeetria. Isomeetria ehk jäik liikumine hõlmab pöördeid, translatsioone (liigutamist) ja peegeldusi — kõik teisendused, mis säilitavad kaugused punktide vahel ja seega ka kujundi suuruse ja kuju.
Isomeetriad (jäik liikumine)
- Translatsioon — kujundi liigutamine ilma pööramise või peegeldamiseta.
- Pööramine — kujundi keeramine mingi punkti või telje ümber.
- Peegeldamine — kujundi peegeldus mõne sirge (tasandis) või tasapinna (ruumis) suhtes.
Kõik need teisendused ei muuda kaugusi ega nurki; seetõttu jääb kujund kongruentsseks isegi pärast neid teisendusi.
Kongruentsuse omadused ja tähelepanekud
- Kongruentsed kujundid on identsed nii kuju kui ka suuruse poolest, kuid võivad olla teisaldatud, pööratud või peegeldatud.
- Polügoonide puhul tuleb kongruentsuse kontrollimisel võrrelda vastavaid tippe, servasid ja nurki — vastavad elemendid peavad omama võrdseid pikkusi ja suurusi.
- Kui kahe kujundi suuruse muutmine (skaleerimine) on vajalik, siis need kujundid ei ole kongruentsed; selliseid kujundeid nimetatakse sarnasteks.
- Kongruentsus on refleksiivne (igas kujundis iseendaga), sümmeetriline (kui A on kongruentne B-ga, siis B on kongruentne A-ga) ja transitiiivne (kui A kongruentne B-ga ja B kongruentne C-ga, siis A kongruentne C-ga).
Kongruentsus hulknurkade (sh hulknurgad) ja kolmnurkade puhul
Hulknurgad on kongruentsed, kui nende vastavad küljed ja vastavad nurgad on paariti võrdsed — tavapäraselt tähistatakse see nii, et tippude vastavus on selgelt määratud ning seejärel kontrollitakse kõiki vastavaid servu ja nurki.
Kolmnurkade puhul on mitmed lihtsad ja praktilised kongruentsuskriteeriumid:
- SSS (külg–külg–külg): kui kõik kolm külge ühes kolmnurgas võrdub vastavate külgedega teises kolmnurgas, siis kolmnurgad on kongruentsed.
- SAS (külg–nurk–külg): kui kaks külge ja nende vaheline nurk ühes kolmnurgas võrdub teises kolmnurgas vastavate elementidega, siis kolmnurgad on kongruentsed.
- ASA (nurk–külg–nurk): kui kaks nurka ja vaheline külg ühes kolmnurgas võrdub teises kolmnurgas, siis kolmnurgad on kongruentsed.
- AAS (nurk–nurk–külg): kui kaks nurka ja üks vastas olev külg on võrdsed, siis kolmnurgad on kongruentsed.
- RHS / HL (õige kolmnurk: hüpotenuus–külg): kaks õigekolmnurka on kongruentsed, kui nende hüpotenuusid ja ühte teravnurka vastav külg on võrdsed.
Kuidas kontrollida kongruentsust praktiliselt
- Füüsiliselt: tasapaberil lõigates kaks kujundit välja ja asetades need üksteise peale (lubatud on pööramine ja peegeldamine).
- Geomeetriliselt: kontrollides vastavate külgede pikkusi ja nurki vastavalt sobivale kriteeriumile (nt SSS, SAS jne).
- Koordinaatgeomeetrias: arvutades kahe kujundi vastavate tippude vahelised kaugused (sirgjoone pikkused) ja vajadusel kontrollides nurkade või vektori suunda; kui kõik vastavad kaugused ja vastavad nurga mõõdud on võrdsed, siis kujundid on kongruentsed.
Erinevus kongruentsuse ja sarnasuse vahel
Kongruentsus nõuab sama kuju ja sama suurust; sarnasus nõuab ainult sama kuju, suurus võib erineda (üks kujund võib olla teisest võrdeline või skaleeritud). Seega kõik kongruentsed kujundid on sarnased, kuid mitte kõik sarnased kujundid ei ole kongruentsed.
Näited
- Kui kaks kolmnurka on mõõtmetega (3, 4, 5) ja (3, 4, 5) ning vastavad küljed vastavad üksteisele, siis need kolmnurgad on kongruentsed (SSS-kriteerium).
- Kui ühe hulknurga iga külg ja iga nurk vastab teise hulknurga külgedele ja nurkadele vastavalt, siis need hulknurgad on kongruentsed — näiteks regulaarsed hulknurgad sama hulknurga arvu ja sama külje pikkusega on kongruentsed.
Kasutusvaldkonnad
Kongruentsusel on palju praktilisi rakendusi inseneritöös, arhitektuuris, arvutigraafikas (kujundite paigutamine ja malli sobitamine), robotehnika ning matemaatiliste tõendite ja konstruktsioonide juures.
Kokkuvõtteks: kongruentsus tähendab geomeetrias kujundite identset kuju ja suurust, mille saab teineteise kohale viia läbi jäikade liikumiste ehk isomeetriate abil. Selle määramiseks kasutatakse hulgaliselt kriteeriume, eriti kolmnurkade puhul, ning see mõiste erineb oluliselt sarnasuse mõistest, kus lubatud on suuruse muutus.
Näide kongruentsusest. Kaks vasakpoolset kolmnurka on kongruentsed, kolmas kolmnurk on nendega sarnane. Viimane kolmnurk ei ole ühegi teisega sarnane ega kongruentne. Pange tähele, et kongruentsus võimaldab muuta mõningaid omadusi, näiteks asukohta ja orientatsiooni, kuid jätab teised omadused, näiteks kauguse ja nurgad, muutmata. Muutumatuid omadusi nimetatakse invariantseks.
Näited
- kõik ruudud, mille külgede pikkus on sama, on kongruentsed.
- kõik võrdkülgsed kolmnurgad, mille külgede pikkus on sama, on kongruentsed.
Kongruentsuse testid
- Kaks nurka ja nende vaheline külg on kahel kolmnurgal ühesugused (ASA kongruentsus).
- Kaks nurka ja nende vahele jääv külg on mõlemal kolmnurgal ühesugused (AAS kongruentsus).
- Mõlema kolmnurga kõik kolm külge on samad (SSS kongruentsus).
- kaks külge ja nendevaheline nurk teeb 2 kolmnurka kongruentseks (SAS kongruentsus)
Kuidas saame uusi kongruentseid kujundeid?
Meil on üsna palju võimalusi, mõned reeglid, kuidas teha uusi kujundeid, mis on originaaliga kongruentsed.
- Kui me nihutame geomeetrilist kuju tasapinnal, siis saame kuju, mis on kongruentne algsega.
- Kui me nihutamise asemel pöörame, siis saame ka kuju, mis on originaaliga kongruentne.
- Isegi kui me võtame esialgse kuju peegelpildi, siis saame ikkagi kongruentse kuju.
- Kui me kombineerime need kolm tegevust üksteise järel, siis saame ikkagi kongruentsed kujundid.
- Kongruentseid kujundeid enam ei ole. Täpsemalt öeldes tähendab see, et kui kuju on kongruentne, siis saab seda saavutada eespool kirjeldatud kolme tegevuse abil.
Suhtel, et kuju on kongruentne teise kujuga, on kolm kuulsat omadust.
- Kui me jätame algse kuju oma algsele kohale, siis on see kongruentne iseendaga. Seda käitumist, seda omadust nimetatakse refleksiivsuseks.
Näiteks kui ülaltoodud nihkumine ei ole korralik nihkumine, vaid ainult nihkumine, mis teeb nullipikkuse liikumise. Või samamoodi, kui ülaltoodud pööramine ei ole korralik pööramine, vaid ainult pööramine, mille nurk on null.
- Kui kuju on kongruentne teise kujuga, siis on ka see teine kuju kongruentne algse kujuga. Seda käitumist, seda omadust nimetatakse sümmeetriaks.
Näiteks kui me nihutame või pöörame tagasi või peegeldame uut kuju tagasi algsele, siis on algne kuju uue kujuga kongruentne.
- Kui kuju C on kongruentne kujuga B ja kuju B on kongruentne algkujuga A, siis on ka kuju C kongruentne algkujuga A. Seda käitumist, seda omadust nimetatakse transitiivsuseks.
Näiteks kui me rakendame kõigepealt nihke ja seejärel pööramise, siis on saadud uus kuju ikka veel kongruentne algsega.
Need kolm kuulsat omadust - refleksiivsus, sümmeetria ja transitiivsus - moodustavad koos ekvivalentsuse mõiste. Seega on omadus kongruentsus üks ekvivalentsussuhte liike tasandi kujundite vahel.
Küsimused ja vastused
Küsimus: Mida tähendab, et kaks arvu on geomeetrias kongruentsed?
V: Kaks kujundit on geomeetrias kongruentsed, kui neil on sama kuju ja suurus või kui üks neist on sama kuju ja suurusega kui teise peegelpilt.
K: Kuidas nimetatakse kahte punktide kogumit kongruentseks?
V: Kahte punktikogumit nimetatakse kongruentseks, kui ja ainult siis, kui üks neist on võimalik teisendada teise punktikogumiks isomeetria abil.
K: Milleks kasutatakse isomeetrias jäikasid liikumisi?
V: Jäikesi liikumisi kasutatakse isomeetrias geomeetriliste kujundite ümberpaigutamiseks, pööramiseks või peegeldamiseks ilma nende suuruse muutmiseta, nii et nad langeksid täpselt kokku teiste objektidega.
K: Kas kaks kujundit võivad olla kongruentsed, kui üks neist peab muutma oma suurust, et kattuda teise kujundiga?
V: Ei, kui üks objektidest peab oma suurust muutma, et kattuda teise objektiga, siis ei ole need kaks objekti kongruentsed, vaid neid nimetatakse sarnasteks.
K: Mida saame öelda kahe erineva tasapinnalise kujundi kongruentsuse kohta paberil?
V: Kaks erinevat tasapinnalist kujundit paberil on kongruentsed, kui me saame need välja lõigata ja seejärel täielikult kokku sobitada, vajadusel paberit ümber pöörata.
K: Mis on kongruentsed hulknurgad?
V: Kongruentsed hulknurgad on hulknurgad, mida saab pooleks voltida, et moodustada teine korrapärane hulknurk, mis on samuti kongruentne.
K: Mis on kriteerium, mille alusel saab geomeetrias kahte objekti nimetada kongruentseks?
V: Kriteerium, mille järgi kaks objekti on geomeetrias kongruentsed, on see, et ühte objekti saab ümber paigutada, pöörata või peegeldada nii, et see langeb täpselt kokku teise objektiga, ilma et selle suurus muutuks.
Otsige