Geomeetrias räägitakse kahest kujundist või objektist kui kongruentsetest siis, kui neil on sama kuju ja sama suurus. See tähendab, et üks kujunditest on kas otseselt ühtiv teisega või on teise peegelpilt — st. neid saab täpselt üksteise peale viia ilma, et oleks vaja muutma asjade suurust.

Formaalne definitsioon

Formaalselt nimetatakse kahte punktikogumit kongruentseks, kui ja ainult siis, kui üks neist teisendub teiseks läbi isomeetria. Isomeetria ehk jäik liikumine hõlmab pöördeid, translatsioone (liigutamist) ja peegeldusi — kõik teisendused, mis säilitavad kaugused punktide vahel ja seega ka kujundi suuruse ja kuju.

Isomeetriad (jäik liikumine)

  • Translatsioon — kujundi liigutamine ilma pööramise või peegeldamiseta.
  • Pööramine — kujundi keeramine mingi punkti või telje ümber.
  • Peegeldamine — kujundi peegeldus mõne sirge (tasandis) või tasapinna (ruumis) suhtes.

Kõik need teisendused ei muuda kaugusi ega nurki; seetõttu jääb kujund kongruentsseks isegi pärast neid teisendusi.

Kongruentsuse omadused ja tähelepanekud

  • Kongruentsed kujundid on identsed nii kuju kui ka suuruse poolest, kuid võivad olla teisaldatud, pööratud või peegeldatud.
  • Polügoonide puhul tuleb kongruentsuse kontrollimisel võrrelda vastavaid tippe, servasid ja nurki — vastavad elemendid peavad omama võrdseid pikkusi ja suurusi.
  • Kui kahe kujundi suuruse muutmine (skaleerimine) on vajalik, siis need kujundid ei ole kongruentsed; selliseid kujundeid nimetatakse sarnasteks.
  • Kongruentsus on refleksiivne (igas kujundis iseendaga), sümmeetriline (kui A on kongruentne B-ga, siis B on kongruentne A-ga) ja transitiiivne (kui A kongruentne B-ga ja B kongruentne C-ga, siis A kongruentne C-ga).

Kongruentsus hulknurkade (sh hulknurgad) ja kolmnurkade puhul

Hulknurgad on kongruentsed, kui nende vastavad küljed ja vastavad nurgad on paariti võrdsed — tavapäraselt tähistatakse see nii, et tippude vastavus on selgelt määratud ning seejärel kontrollitakse kõiki vastavaid servu ja nurki.

Kolmnurkade puhul on mitmed lihtsad ja praktilised kongruentsuskriteeriumid:

  • SSS (külg–külg–külg): kui kõik kolm külge ühes kolmnurgas võrdub vastavate külgedega teises kolmnurgas, siis kolmnurgad on kongruentsed.
  • SAS (külg–nurk–külg): kui kaks külge ja nende vaheline nurk ühes kolmnurgas võrdub teises kolmnurgas vastavate elementidega, siis kolmnurgad on kongruentsed.
  • ASA (nurk–külg–nurk): kui kaks nurka ja vaheline külg ühes kolmnurgas võrdub teises kolmnurgas, siis kolmnurgad on kongruentsed.
  • AAS (nurk–nurk–külg): kui kaks nurka ja üks vastas olev külg on võrdsed, siis kolmnurgad on kongruentsed.
  • RHS / HL (õige kolmnurk: hüpotenuus–külg): kaks õigekolmnurka on kongruentsed, kui nende hüpotenuusid ja ühte teravnurka vastav külg on võrdsed.

Kuidas kontrollida kongruentsust praktiliselt

  • Füüsiliselt: tasapaberil lõigates kaks kujundit välja ja asetades need üksteise peale (lubatud on pööramine ja peegeldamine).
  • Geomeetriliselt: kontrollides vastavate külgede pikkusi ja nurki vastavalt sobivale kriteeriumile (nt SSS, SAS jne).
  • Koordinaatgeomeetrias: arvutades kahe kujundi vastavate tippude vahelised kaugused (sirgjoone pikkused) ja vajadusel kontrollides nurkade või vektori suunda; kui kõik vastavad kaugused ja vastavad nurga mõõdud on võrdsed, siis kujundid on kongruentsed.

Erinevus kongruentsuse ja sarnasuse vahel

Kongruentsus nõuab sama kuju ja sama suurust; sarnasus nõuab ainult sama kuju, suurus võib erineda (üks kujund võib olla teisest võrdeline või skaleeritud). Seega kõik kongruentsed kujundid on sarnased, kuid mitte kõik sarnased kujundid ei ole kongruentsed.

Näited

  • Kui kaks kolmnurka on mõõtmetega (3, 4, 5) ja (3, 4, 5) ning vastavad küljed vastavad üksteisele, siis need kolmnurgad on kongruentsed (SSS-kriteerium).
  • Kui ühe hulknurga iga külg ja iga nurk vastab teise hulknurga külgedele ja nurkadele vastavalt, siis need hulknurgad on kongruentsed — näiteks regulaarsed hulknurgad sama hulknurga arvu ja sama külje pikkusega on kongruentsed.

Kasutusvaldkonnad

Kongruentsusel on palju praktilisi rakendusi inseneritöös, arhitektuuris, arvutigraafikas (kujundite paigutamine ja malli sobitamine), robotehnika ning matemaatiliste tõendite ja konstruktsioonide juures.

Kokkuvõtteks: kongruentsus tähendab geomeetrias kujundite identset kuju ja suurust, mille saab teineteise kohale viia läbi jäikade liikumiste ehk isomeetriate abil. Selle määramiseks kasutatakse hulgaliselt kriteeriume, eriti kolmnurkade puhul, ning see mõiste erineb oluliselt sarnasuse mõistest, kus lubatud on suuruse muutus.