Inertsimoment (nurkmass): definitsioon, ühikud ja valemid

Inertsimoment (nurkmass) selgitatud: definitsioon, ühikud (kg·m²), praktilised valemid ja näited. Kiire juhend pöörlemise inertsuse mõistmiseks ja arvutamiseks.

Inertsmoment ( I {\displaystyle I} ), mida nimetatakse ka "nurkmassiks" (kg·m²), on pöörleva keha inertsus seoses selle pöörlemisega.

Määratlus ja füüsiline tähendus

Inertsmoment mõõdab, kui palju vastupanu keha osutab nurkkiirendusele (α) rakendatud pöördemomendi (τ) mõjul. Suhe on antud lihtsa seosega:

• τ = I · α

See tähendab: suure I korral on sama nurkkiirenduse saavutamiseks vaja suuremat pöördemomenti. Inertsmoment sõltub keha massist ja massi kaugusest pöörlemisteljest — massi paigutus telje suhtes on sageli olulisem kui kogu mass ise.

Üldised valemid ja arvutus

Diskreetsetest massipunktidest koosneva süsteemi inertsmoment on:

• I = Σ m_i r_i², kus r_i on i-nda massipunkti kaugus pöörlemisteljest.

Juhul kui keha on pidev massijaotusega, arvutatakse inertsmoment integraaliga:

• I = ∫ r² dm, kus dm on elementaarne mass ja r on selle elemendi kaugus pöörlemisteljest.

Tavalised teoreemid

• Paralleltelje teoreem (Steineri teoreem): I = I_cm + M d², kus I_cm on inertsmoment läbi massikeskele (centroidi) läbiva telje, M on kogu mass ja d on kahe telje vaheline paralleelne kaugus.
• Risttelje (perpendicular-axis) teoreem: õhukese plaadi puhul, mis asetseb x–y tasandis, kehtib I_z = I_x + I_y (rakendub ainult tasases laminaadis).
• Komposiitkeha: koosneva mitmest osast inertsmoment arvutatakse osade inertsmomentide summana (vajalikud translatsioonivarud arvestada paralltelje teoreemi järgi).

Levinumad näited ja valemid

Alljärgnevad valemid kehtivad tavapärasteks juhtumiteks, kus M on keha mass, R raadius ja L pikkus.

• punktmass kadunud teljest r kaugusel: I = M r²
• õhuke vardas, telg läbi keskpunkti ja risti vardaga: I = (1/12) M L²
• õhuke vardas, telg läbi ühe otsa: I = (1/3) M L²
• täis-silinder (telg läbi keskpunkti ja paralleelne teljega): I = (1/2) M R²
• õhuke silindrikest (õõnes), telg läbi keskpunkti: I = M R² (ideaalne õhukese seinaga ringtoru)
• täis-sfäär, telg läbi keskpunkti: I = (2/5) M R²
• õhuke sfäärikest, telg läbi keskpunkti: I = (2/3) M R²
• risttahukas (plaat) kesktelje ümber, mõõtmetega a ja b: I = (1/12) M (a² + b²)

Ühikud ja dimensioon

SI-ühik inertsmomendile on kilogramm-meeter ruudus: kg·m². Dimensiooniliselt on see M L².

Seosed pöörlemisdünaamikaga

• Pöörlemise kineetiline energia: E = (1/2) I ω², kus ω on nurkkiirus.
• Pöördemoment ja nurkkiirendus: τ = I α annab pöörleva keha dünaamilise vaste.
• Inertsmoment on üldisemalt tensor (kuni 3×3 maatriks), kui arvestada suunda: lihtsates olukordades saab kasutada skalaart I ümber kindla telje; keerukamate geomeetriate puhul määravad peateljed (principal axes) diagonaaleadused.

Kuidas arvutada praktikas

• väikeste osade või lihtsate kujude puhul kasutada tabeli- ja analüütilisi valemeid;
• kui keha koosneb mitmest komponendist, arvuta iga osa I keskelt ja nihuta vajadusel paralleltelje teoreemi abil;
• keerukamate juhutega kasutada integraalset avaldist I = ∫ r² dm, kus dm = ρ dV (ruumtiheduse ρ korral) või ρ dA (lameplaatide puhul); arvutustes võib kasutada ka numerilisi meetodeid (diskreetne jagamine, elementmeetod jne).

Kokkuvõtlikult: inertsmoment on oluline suurus pöörlemisliikumise kirjeldamisel — see ühendab keha massi ja massi paiknemist telje suhtes ning määrab, kui raskesti keha algset või muutuvat pöörlemist mõjutada saab.

Küsimused ja vastused

K: Mis on inertsimoment?

K: Mis on inertsimomendi teine nimetus?

K: Mis on inertsimomendi mõõtühik?

K: Milline on inertsimomendi tähendus?

K: Milline on võrrand inertsimomendi arvutamiseks?

K: Kuidas mõjutab mass inertsimomenti?

K: Kuidas mõjutab raadius inertsmomenti?

Otsing