Vortikaalsus: määratlus, valemid ja roll vedelikudünaamikas

Vortikaalsus: selge määratlus, võtmevalemid ja praktiline roll vedelikudünaamikas. Õpi vektorvormingu, tsirkulatsiooni, piirikihi mõju ja modelleerimise põhimõtteid.

Vortikaalsus on matemaatiline mõiste, mida kasutatakse vedelikudünaamikas. Seda võib seostada "ringluse" või pöörlemise (täpsemalt kohaliku pöörlemiskiiruse) hulgaga vedelikus: mida suurem on vortikaalsus, seda tugevam on kohaliku voolu pöörlemine.

Keskmine vortikaalsus väikeses voolupiirkonnas on võrdne tsirkulatsiooniga Γ {\displaystyle \Gamma } ümber väikese piirkonna piiri, mis jagatakse väikese piirkonna pindalaga A.

ω a v = Γ A {\displaystyle \omega _{av}={\frac {\Gamma }{A}}}

Mõõdetuna on vortikaalsus vedeliku punktis piiriks, kui väikese vedeliku piirkonna pindala läheneb punktis nullile:

ω = d Γ d A {\displaystyle \omega ={\frac {d\Gamma}{dA}}

Matemaatiliselt on vortikaalsus vektor ja see on defineeritud kui kiiruse pööris ehk kursor:

ω → = ∇ → × v → . {\displaystyle {\vec {\omega }= {\vec {\nabla } {\times {\vec {v}}. }

Füüsikaline tähendus ja omadused

Vortikaalsus kirjeldab kohaliku voolu pöörlemist: kui asetada vedeliku sisse väike elementaarne partiklistest "sõõrik" (või inertne väike tarretislaadne element), siis selle elementaari nurkkiirus on proportsionaalne vektori ω-ga (täpsemalt on kohaliku tahkete keha pöörlemiskiirus tavaliselt ω/2). Vortikaalsus on vektoriaalne suurus — selle suund näitab pöörlemise telge ja suurus pöörlemise intensiivsust.

Potentsiaalvoog ja piirikihid

Potentsiaalvoolu (irrotational flow) eeldus on, et vortikaalsus ω \displaystyle \omega } on peaaegu kõikjal null, välja arvatud piirikihis või voolu- ja tahkispinna vahekihis, kus viskoossus tekitab vorticity't. See on oluline ligikaudne mudel aero- ja hüdro-dünaamikas, mis lihtsustab mitmeid analüütilisi lahendusi.

Vortikaalsuse tekkimine ja levik

• Piirikihi tekitamine: viskoossus tekitab nullkiiruse tingimuse tahkispinnal, mis loob kiirusegradienti ja seega vorticity't piirikihis.
• Vortex winding ja stretching: kolme-mõõtmelises voolus võib vortikaalsus tugevneda, kui vool "venitab" keerist (vorticity stretching), seda kirjeldab vorticity' võnkumise termin vorticity-ruhmastikus.
• Difusioon: visoossus põhjustab vortikaalsuse hajumist (diffusioon), mis väljendub Laplatsi-terminis vorticity võrdsustes.

Vortikaalsuse võrrand (lühike ülevaade)

Voolu vorticity ajaarengut kirjeldab vorticity-võrrand, mis üldiselt sisaldab konvektiivset terminit, vorticity stretching terminit ja viskoosset difusiooni. Lihtsustatult (veidi märgistamata kujul) võib selle kirjutada kui:

∂ω/∂t + (v·∇)ω = (ω·∇)v + ν ∇²ω

kus ν on kineetiline viskoossus. Paremal pool esinev (ω·∇)v kirjeldab vorticity tugevnemist venimise tõttu; ν∇²ω kirjeldab viskoosset hajumist.

Rakendused ja näited

• Tugev vortikaalsus esineb tornadodes, orkaanides ja ookeani pöörises.
• Tõusvad ning langevad keerised sabavooludes (wingtip vortices) mõjutavad lennukite tõste- ja takistusomadusi.
• Keeriste moodustumine voolu ümber takistuste (Kármáni sõel) — tähtis nii inseneri‑ kui keskkonnaprobleemides.
• Piirikihi ja selle eraldumise tõttu tekkivad keerised mõjutavad näiteks torude ja tiibade jõudlust ja müra.

Mõõtmine ja visualiseerimine

Vortikaalsust saab määrata otse või kaudselt: eksperimentaalselt kasutatakse PIV‑i (Particle Image Velocimetry), hot‑wire anemomeetrit ja teisi kiirusemõõtmisi, mille põhjal arvutatakse kiiruse ristioperaator (curl). Numeriliselt modelleeritakse vorticity-d tahkete või vabas voolus ja joonistatakse vorticity‑välja, vorticity magnitude tasandeid või Q‑kriteeriume keeriste tuvastamiseks.

Olulised märkused

• Ühik: vortikaalsuse ühik SI‑s on 1/s (s⁻¹), kuna tegemist on nurkkiiruse mõõtmega.
• Inviksid voolud: ideaalsetes (mitteviskoossetes) ja barotroopsetes tingimustes kehtib Kelvin‑i vorticity konservatsioon (tsirkulatsiooni säilumine), mis piirab vorticity tekkimist väljastpoolt.
• Keerised (vortices) on vorticity kontsentreerunud struktuurid; neid modelleeritakse sageli tekitades idealiseeritud vorteksiid poindvoolus ja see on tähtis nii teoreetilises kui praktilises lähenemises.

Kuna keeris on kontsentreeritud keeristega piirkond, saab nullist erineva keeristega piirkondi modelleerida keeristega. Vortikaalsuse mõistmine on seetõttu keskne nii voolude teoreetilises analüüsis kui ka inseneri‑ ja loodusteaduslikes rakendustes.

Küsimused ja vastused

K: Mis on voodoo?

K: Kuidas arvutatakse vortilisust?

Küsimus: Kas on olemas mingi vortilisusega seotud põhieeldus?

K: Mis juhtub, kui on piirkondi, kus vortikaalsus ei ole null?

K: Mida tähistab Γ?

K: Mida kujutab ω?

Otsing