Wavelet-transformatsioon: määratlus ja ülevaade (pidev, diskreetne)

Wavelet-transformatsioon on signaali ajasageduslik esitus. Seda kasutatakse laialdaselt müra vähendamiseks, tunnuste eraldamiseks, signaali tihendamiseks, ajas lokaliseeritud muutuste avastamiseks ja pilditöötluses servade eraldamiseks. Erinevalt klassikalisest Fourier' teisendusest annab wavelet-transformatsioon hea lokaalse aja–sageduse eraldusvõime, mis teeb selle sobivaks mitteesitavate ja mitte‑stationaarsete signaalide analüüsiks.

Pidev wavelet-transformatsioon (CWT)

Pideva signaali wavelet-transformatsioon on defineeritud järgmiselt

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}{right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

kus

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ on nn emawavelet,
a {\displaystyle a} tähistab wavelet-dilatatsiooni (skaala),
b {\displaystyle b} $b$ tähistab wavelet'i ajalist nihet (translatsiooni) ja
∗ {\displaystyle *} $*$ sümbol tähistab komplekskonjugaati.

Transformatsioonisuhtlus tähendab, et iga skaala a ja nihe b jaoks leitakse korrelatsioon signaali f(t) ja vastava dilateeritud/transleeritud emawaveleti vahel. Suuramad skaalad (suur a) vastavad madalamatele sagedustele (pikemad sündmused), väiksemad skaalad annavad infot lühiajaliste kõrgsageduslike detailide kohta.

Admissibility ja inversioon

Emawavelet ψ peab vastama nii‑öelda admissibility tingimusele, mille ühe tavapärase kujul on

emawaveleti nullkeskm: ∫ ψ(t) dt = 0 (või Fourier' kujul Ψ(0)=0), mis tagab, et wavelet ei pööra tähelepanu signaali konstantsele komponendile;
admissibility konstandi Cψ lõplikkus: Cψ = ∫_{0}^{∞} |Ψ(ω)|^2 / ω dω < ∞ (kus Ψ on ψ Fourier' teisendus).

Kui admissibility tingimus on täidetud, saab f(t) wavelet‑koefitsientidest rekonstrueerida inverseerimisvalemi abil (pidev juhtum):

f(t) = (1/Cψ) ∫_{0}^{∞} ∫_{-∞}^{∞} Wψf(a,b) (1/√a) ψ((t-b)/a) db da / a^2.

Emawavelet'id — näited ja omadused

Haar — lihtne, kompaktselt toetatud jaastuline wavelet; omab ühte nullmomentti; sobib kiirete hüpetega signaalide jaoks.
Morlet — sarnane gaussi‑aktsentiga sinusoidi pakett; hea aja–sageduse kompromissi andmiseks.
Mexican hat (Ricker) — teise järgu derivaadi‑gauss; reeglina kasutatav servade ja impulsitüüpide tuvastamisel.
Daubechies — ortogonaalsed wavelet'id, millel on mitu nullmomenti ja kompaktne toetus; head tihenduseks ja signaali modelleerimiseks.

Tähtsad omadused: vanishing moments (mida rohkem, seda paremini wavelet ignoreerib madalajärgulist polünoomset tausta), kompaktne tugi (lokaliseeritus ajas), sümmeetria/asümeetria (mõjutab faasivead), ja regulaarus (mida suurem, seda sujuvamad rekonstrueeritud signaalid).

Diskreetne wavelet-transformatsioon (DWT)

Diskreetne wavelet‑transformatsioon leitakse pideva transformatsiooni diskreetse ala võtmisest, kui skaala ja translatsioon võetakse võrgustikus. Kui a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}} $a={a_{0}}^{m}$ ja b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}} $b={a_{0}}^{m}kT$ , kus a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} ja m $T>0$ ja k on täisarvulised konstandid, nimetatakse wavelet-transformatsiooni diskreetseks wavelet-transformatsiooniks (pideva signaali).

Juhul kui a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ ja b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ , kus m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , nimetatakse diskreetset wavelet-transformatsiooni dyadiliseks. See on defineeritud järgmiselt

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

kus

m {\displaystyle m} on sagedusskaala,
k {\displaystyle k} on ajaskaala (nihe) ja
T {\displaystyle T} $T$ on konstant, mis sõltub emavelleetist.

On võimalik ümber kirjutada dyadiline diskreetne wavelet-transformatsioon järgmiselt

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

kus h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ on pideva filtri impulsikarakteristik, mis on identne ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ antud m {\displaystyle m} puhul.

Analoogiliselt on dyadiline wavelet-transformatsioon diskreetse ajaga (diskreetse signaali) defineeritud kui

Wψ[x](m,k) = ∑_{n=-∞}^{∞} x[n] ψ_{m,k}^*(n), kus ψ_{m,k}(n) = 2^{-m/2} ψ(2^{-m} n - kT).

Praktilises signaalitöös viiakse diskreetne wavelet‑transformatsioon sageli ellu Mallat’ kiiralgoritmi abil, mis kasutab kahe kanaliga filtri‑põhist puurit (low‑pass ja high‑pass) ning all‑näidisvõtmiset (downsampling) järjestust, võimaldades hierarhilist multiresolutsioonilist esitamist.

Multiresolutsiooniline analüüs (MRA) ja filterpank

Multiresolutsiooniline analüüs annab teoreetilise aluse ortogonaalsete või biortogonaalsete wavelet‑põhjade ehitamiseks. MRA‑s defineeritakse skaleerimisfunktsioon φ (scaling function), millel kehtib rekursioon (juurdefiltri koefitsiendid). DWT pakub kiiret ja täpset esitust, kus signaal jaguneb erinevate skaalade detailideks (detailikoefitsiendid) ja lähte‑approx‑komponendiks.

Filterpank: iga dekompositsioonietapp kasutab madalsageduslikku (L) ja kõrgsageduslikku (H) filtrit ning järelduubeldamist (downsample 2). Rekonstruktsioon kasutab sobivaid síntesisfiltereid ja ülesnäidisvõtmist (upsample 2).
Perfect reconstruction: sobiva filtripaari ja koefitsientide korral saab algsignaali täpselt taastada (ulekindlus ehk PR tingimus).

Rakendused

Müra vähendamine: koefitsientide künnistus (thresholding) wavelet‑domäänis (Donoho t. al.).
Tihendamine: JPEG 2000 kasutab wavelet‑põhist pakkimist piltide jaoks.
Tunnuste ekstraktsioon ja klassifitseerimine: biomeditsiinilised signaalid (EKG), kõnetöötlus, vibratsioonianalüüs.
Aja–sageduse kujutised: spektrogrammi alternatiiv, eriti mitte‑stationaarsete sündmuste analüüsiks.
Pilditöötlus: servatuvastus, tekstuuride analüüs, multi‑skale servade esiletõstmine.

Praktilised näpunäited

Vali emawavelet probleemi iseloomu järgi: impulssideks sobib Haar või Mexican hat; signaalidega, mis vajavad head sageduslokaliseeritust, sobib Morlet; tihenduses eelistatakse Daubechies‑suguseid wavelete.
Sageduse‑aja kompromiss: ei ole üht ainuõiget wavelet'i—valik sõltub sellest, kas rohkem väärtustatakse aja või sageduse täpsust.
Edge‑efektid: diskreetses rakenduses tuleb pöörata tähelepanu piiri‑tingimustele (nulltäiendamine, peegeldamine jms), et vähendada servamõjutusi.

Kokkuvõttes pakub wavelet‑teooria võimsaid tööriistu signaalide mitmetasandiliseks analüüsiks, ühendades aja‑ ja sagedusinfo viisil, mis sobib hästi reaalse maailma, mitte‑stationaarsete andmete töötluseks.

Sagedusjaotussignaali pidev wavelet-transformatsioon. Kasutatud Symlet koos 5 kaduva momendiga.

Küsimused ja vastused

Küsimus: Mis on lainetitransformatsioon?

V: Wavelet-transformatsioon on signaali ajasageduslik esitus, mida kasutatakse müra vähendamiseks, tunnuste eraldamiseks või signaali tihendamiseks.

K: Kuidas on defineeritud pidevate signaalide wavelet-transformatsioon?

V: Pidevate signaalide wavelet-transformatsioon on defineeritud kui integraal funktsiooni kõigi väärtuste üle, mis on korrutatud emawaveletiga, kus parameetrid "a" ja "b" tähistavad vastavalt laienemist ja ajalist nihet.

K: Mis on dyadiline diskreetne wavelet-transformatsioon?

V: Diaadilised diskreetsed wavelet-transformatsioonid on tavaliste diskreetsete wavelet-transformatsioonide diskreetsed versioonid sagedusskaalaga "m", ajaskaalaga "k" ja konstantiga "T". Neid saab ümber kirjutada integraalina funktsiooni kõigi väärtuste üle, mis on korrutatud impulssfiltriga, mis on identne ema-waveletiga antud m puhul.

Küsimus: Mida tähendab "emawavelet" selles kontekstis?

V: Selles kontekstis viitab "emawavelet" funktsioonidele, mida kasutatakse koos teiste funktsioonidega, et moodustada alus teatavat tüüpi teisenduse (antud juhul wavelet-transformatsiooni) arvutamiseks.

K: Kuidas arvutatakse dyadilisi diskreetseid Wavelets'e?

V: Diaadiliste diskreetsete lainete arvutamisel kasutatakse integraali funktsiooni kõigi väärtuste üle, mida korrutatakse impulss iseloomuliku filtriga, mis on identne emawaveletiga antud m puhul. Lisaks sellele vajavad nad parameetritena sagedusskaalat m, ajaskaalat k ja konstanti T.

Küsimus: Mida tähistavad "a" ja "b" pidevate Waveletside määratlemisel?

V: Pidevate laineteede määratlemisel tähistab "a" laienemist ja "b" ajalist nihet.