Wavelet-transformatsioon

Wavelet-transformatsioon on signaali ajasageduslik esitus. Näiteks kasutame seda müra vähendamiseks, tunnuste eraldamiseks või signaali tihendamiseks.

Pideva signaali wavelet-transformatsioon on defineeritud järgmiselt

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}{right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

kus

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ on nn emawavelet,
a {\displaystyle a} tähistab wavelet-dilatatsiooni,
b {\displaystyle b} $b$ tähistab wavelet'i ajalist nihet ja
∗ {\displaystyle *} $*$ sümbol tähistab komplekskonjugaati.

Juhul, kui a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}} $a={a_{0}}^{m}$ ja b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}} $b={a_{0}}^{m}kT$ , kus a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} ja m $T>0$ {\displaystyle m} ja k {\displaystyle k} on täisarvulised konstandid, nimetatakse wavelet-transformatsiooni diskreetseks wavelet-transformatsiooniks (pideva signaali).

Juhul kui a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ ja b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ , kus m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , nimetatakse diskreetset wavelet-transformatsiooni dyadiliseks. See on defineeritud järgmiselt

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

kus

m {\displaystyle m} on sagedusskaala,
k {\displaystyle k} on ajaskaala ja
T {\displaystyle T} $T$ on konstant, mis sõltub emavelleetist.

On võimalik ümber kirjutada dyadiline diskreetne wavelet-transformatsioon järgmiselt

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

kus h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ on pideva filtri impulsikarakteristik, mis on identne ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ antud m {\displaystyle m} puhul.

Analoogiliselt on dyadiline wavelet-transformatsioon diskreetse ajaga (diskreetse signaali) defineeritud kui

Sagedusjaotussignaali pidev wavelet-transformatsioon. Kasutatud Symlet koos 5 kaduva momendiga.

Küsimused ja vastused

Küsimus: Mis on lainetitransformatsioon?

V: Wavelet-transformatsioon on signaali ajasageduslik esitus, mida kasutatakse müra vähendamiseks, tunnuste eraldamiseks või signaali tihendamiseks.

K: Kuidas on defineeritud pidevate signaalide wavelet-transformatsioon?

V: Pidevate signaalide wavelet-transformatsioon on defineeritud kui integraal funktsiooni kõigi väärtuste üle, mis on korrutatud emawaveletiga, kus parameetrid "a" ja "b" tähistavad vastavalt laienemist ja ajalist nihet.

K: Mis on dyadiline diskreetne wavelet-transformatsioon?

V: Diaadilised diskreetsed wavelet-transformatsioonid on tavaliste diskreetsete wavelet-transformatsioonide diskreetsed versioonid sagedusskaalaga "m", ajaskaalaga "k" ja konstantiga "T". Neid saab ümber kirjutada integraalina funktsiooni kõigi väärtuste üle, mis on korrutatud impulssfiltriga, mis on identne ema-waveletiga antud m puhul.

Küsimus: Mida tähendab "emawavelet" selles kontekstis?

V: Selles kontekstis viitab "emawavelet" funktsioonidele, mida kasutatakse koos teiste funktsioonidega, et moodustada alus teatavat tüüpi teisenduse (antud juhul wavelet-transformatsiooni) arvutamiseks.

K: Kuidas arvutatakse dyadilisi diskreetseid Wavelets'e?

V: Diaadiliste diskreetsete lainete arvutamisel kasutatakse integraali funktsiooni kõigi väärtuste üle, mida korrutatakse impulss iseloomuliku filtriga, mis on identne emawaveletiga antud m puhul. Lisaks sellele vajavad nad parameetritena sagedusskaalat m, ajaskaalat k ja konstanti T.

Küsimus: Mida tähistavad "a" ja "b" pidevate Waveletside määratlemisel?

V: Pidevate laineteede määratlemisel tähistab "a" laienemist ja "b" ajalist nihet.