Wavelet: matemaatiline lainefunktsioon ja kasutus signaalitöötluses

Tutvu wavelet'idega: matemaatiline lainefunktsioon, selle omadused ja rakendused signaalitöötluses — skaala-, nihke- ning transformatsioonimeetodid praktiliste näidetega.

Autor: Leandro Alegsa

11-11-2025 14:19

Wavelet on matemaatiline funktsioon, mida kasutatakse funktsiooni või signaali kirjutamiseks teiste, lihtsamalt uuritavate funktsioonide abil. Paljusid signaalitöötlusülesandeid saab vaadelda wavelet-transformatsiooni abil. Mitteametlikult öeldes saab signaali näha läätse all suurendusega, mis on antud wavelet'i skaala järgi. Seejuures näeme ainult seda teavet, mis on määratud kasutatava wavelet'i kujuga.

Ingliskeelse termini "wavelet" võtsid 1980. aastate alguses kasutusele prantsuse füüsikud Jean Morlet ja Alex Grossman. Nad kasutasid prantsuskeelset sõna "ondelette" (mis tähendab "väike laine"). Hiljem toodi see sõna inglise keelde, tõlkides "onde" sõnaks "wave", mis andis sõna "wavelet".

Wavelet on (kompleksne) funktsioon Hilberti ruumist ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . Praktiliste rakenduste jaoks peaks see vastama järgmistele tingimustele.

Sellel peab olema piiratud energia.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

See peab vastama vastuvõetavuse tingimusele.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ , kus ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }} ${\hat {\psi }}$ on Fourier-transformatsioon ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$

Nulltingimus tuleneb vastuvõetavuse tingimusest.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Funktsiooni ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$ nimetatakse emavelleetiks. Selle teisendatud (nihutatud) ja laiendatud (skaleeritud) normaliseeritud versioonid on määratletud järgmiselt.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Esialgse emavelleedi parameetrid on a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ ja b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . Tõlkimist kirjeldab parameeter b {\displaystyle b} $b$ ja laiendamist parameeter a {\displaystyle a}.

Põhimõisted lühidalt

Ülaltoodud tingimused kirjeldavad waveleti olulisi omadusi:

Piiratud energia: wavelet peab kuuluma ruumi L2(R), mis tähendab, et selle ruut integreerub lõplikult.
Vastuvõetavuse tingimus: Fourier-ruumis peab kehtima admissibility-tingimus, mis tagab, et teisendusel on pöördfunktsioon. Selle tingimuse matemaatiline vorm on tavaliselt avaldatud kujul Cψ = ∫ |Ψ(ω)|² / |ω| dω < ∞, kus Ψ on ψ Fourier-transformatsioon.
Nullkeskmine (zero mean): ∫ ψ(t) dt = 0 — see tähendab, et wavelet ei „näe“ signaali pidevat (DC) komponenti, vaid on tundlik muutustele ja äpardustele.

Kontinuaalne ja diskreetne wavelet-transformatsioon

Kontinuaalne wavelet-transformatsioon (CWT) esitab signaali f(t) skaleeritud ja nihutatud waveletide abil:

Wf(a,b) = ∫ f(t) (1/√a) ψ*( (t−b)/a ) dt,

kus tähis * tähendab komplekskonjugaati. CWT annab muutuvate skaala- ja nihkeparameetrite kaudu detailse aega-sageduse analyseerituse, kuid toodab üleliia andmeid, mistõttu kasutatakse praktilises töös sageli diskreetset wavelet-transformatsiooni (DWT).

DWT põhineb parameetrite a ja b diskreetsetel väärtustel, tavaliselt dyadiliselt skaleerimisel a = 2^j ja b = k·2^j. Sellisel kujul saab moodustada ortonormaalseid või biortogonaalseid alge, mis võimaldavad signaali efektiivselt kodeerida ja taastada.

Multiresolutsiooni analüüs ja filter-pank

Multiresolutsiooni analüüs (MRA) annab formaalse raamistiku, kuidas signaali eri sageduskomponendid eraldatakse järjestikuste lähte- (scaling) ja laine- (wavelet) alamruumide abil. Mallat' algoritm ehk filter-pankide meetod realiseerib DWT praktiliselt järgides kahte sammu:

signaali alistus läbi madalpääs- ja kõrgpääs-filtrite (vastavalt lähte- ja lainefiltrid),
seejärel tulemuse allasampleerimine (downsampling), mis vähendab andmemahtu ja eraldab erinevad skaalaastmed.

Selline lähenemine on alus paljudele reaaja- ja efektiivsetele rakendustele, sealhulgas pildikodeerimisele ja müra eemaldamisele.

Tüüpilised wavelet'ite perekonnad ja omadused

Haar: lihtsaim ortonormaalne wavelet, astmelise kujuga; kiire, ent mitte sujuv.
Daubechies: kompaktse toega ja suurte suguvõsaga wavelet'id, head lokaliseerimiseks ja tihendamiseks.
Symlets ja Coiflets: sarnased Daubechies'ga, kuid parema sümmeetria ja nurgaomadustega.
Morlet: kompleksspektriga, hea aeg-sageduse eraldusvõimega, sageli kasutatav CWT-s; Jean Morlet' järgi nimetatud.
Mexican hat (Ricker): teise derivaadi Gaussiast; reaalne ja hea äärte tuvastamiseks.

Miks kasutada wavelete Fourier'i asemel?

Ajaliselt lokaalne analüüs: wavelet võimaldab leida signaali lokaalseid sündmusi (näiteks piike või muutusi) paremini kui globaalne Fourier-transformatsioon.
Mitmeskaalaline kontroll: wavelet'iga saab vaadata samu andmeid eri resolutsioonidel, mis on kasulik nii mürasummutusel kui omaduste ekstraheerimisel.
Tihendamine ja müra eemaldamine: sobiva thresholding-iga DWT-de koefitsientidel saab signaale efektiivselt tihendada ja müra vähendada.

Rakendused

Wavelete kasutatakse laialdaselt:

pildi- ja signaalitöötluses (nt JPEG 2000 pildikompresioon),
hääl- ja muusikatöötluses,
biomeditsiinilistes signaalides (EKG, EEG analüüs),
geofüüsikas ja seismikas (sündmuste ja impulsside tuvastus),
numbrilistel meetoditel PDE-de lahendamisel ja diferentsvõrrandite modelleerimisel,
masinõppel ja tunnuste ekstraheerimisel.

Praktilised märkused

Valik wavelet'i tüübi ja skaala astmete vahel sõltub rakenduse eesmärgist: näiteks ääre leidmiseks sobib Mexican hat või Haar, sagedusanalüüsiks Morlet.
Diskreetsed ja kompaktsed wavelet'id (nt Daubechies) on eelistatud tihenduse ja arvutusliku efektiivsuse tõttu.
Komplekssetest wavelet'itest saab ka faasiinfot, mis on oluline näiteks signaali faasi- ja viivisuuringutes.

Need teemad annavad ülevaate wavelet’i mõistest, teoreetilistest tingimustest ja praktilistest rakendustest. Sügavama matemaatilise arutelu puhul käsitletakse veel admissibility-constanti Cψ, pöördfunktsiooni ja täpseid rekonstruktsioonivormuleid ning biortogonaalsete algete tingimusi.

Morlet wavelet

Küsimused ja vastused

K: Mis on wavelet?

V: Wavelet on matemaatiline funktsioon, mida kasutatakse funktsiooni või signaali kirjutamiseks teiste, lihtsamalt uuritavate funktsioonide abil. Seda saab vaadelda läätse all suurendusega, mis on antud wavelet'i skaalaga, mis võimaldab meil näha ainult selle kuju poolt määratud teavet.

K: Kes võttis kasutusele termini "wavelet"?

V: Ingliskeelse termini "wavelet" võtsid 1980. aastate alguses kasutusele prantsuse füüsikud Jean Morlet ja Alex Grossman, kes kasutasid prantsuse sõna "ondelette" (mis tähendab "väikest lainet"). Hiljem toodi see sõna inglise keelde, tõlkides "onde" sõnaks "wave", mis andis meile sõna "wavelet".

Küsimus: Millele peab lainelett vastama, et seda saaks praktiliselt kasutada?

V: Praktiliste rakenduste jaoks peab waveletil olema piiratud energia ja see peab vastama vastuvõetavuse tingimusele. See vastuvõetavuse tingimus sätestab, et selle keskmine peab olema null ja see peab vastama ka integraalile sageduse üle, mis on väiksem kui lõpmatus.

K: Mida tähendab translatsioon ja dilatatsioon, kui viidatakse laineteele?

V: Tõlkimine viitab emawavelet'i nihutamisele või liigutamisele piki ajatelge, samal ajal kui laienemine viitab emawavelet'i skaleerimisele või venitamisele/kahanemisele piki ajatelge. Neid kahte parameetrit (translatsioon ja dilatatsioon) kirjeldavad vastavalt b ja a.

Küsimus: Mida tähendab see, et laineleti keskmine on null?

V: Nullkeskmine tähendab, et kui integreerida kõik t väärtused negatiivsest lõpmatusest positiivse lõpmatuseni, siis peaks summa olema võrdne 0, st ∫-∞∞∞ψ(t)dt=0 . See nõue tuleneb eespool nimetatud vastuvõetavuse tingimusest.

Küsimus: Kuidas on määratletud emalaine?

V: Ema laineteid defineeritakse kui algse emalaineteedi transleeritud (nihutatud) ja laiendatud (skaleeritud) versiooni normaliseeritud versioone, mille parameetrid on "a" = 1 ja "b" = 0 .

Otsige