Wavelet

Wavelet on matemaatiline funktsioon, mida kasutatakse funktsiooni või signaali kirjutamiseks teiste, lihtsamalt uuritavate funktsioonide abil. Paljusid signaalitöötlusülesandeid saab vaadelda wavelet-transformatsiooni abil. Mitteametlikult öeldes saab signaali näha läätse all suurendusega, mis on antud wavelet'i skaala järgi. Seejuures näeme ainult seda teavet, mis on määratud kasutatava wavelet'i kujuga.

Ingliskeelse termini "wavelet" võtsid 1980. aastate alguses kasutusele prantsuse füüsikud Jean Morlet ja Alex Grossman. Nad kasutasid prantsuskeelset sõna "ondelette" (mis tähendab "väike laine"). Hiljem toodi see sõna inglise keelde, tõlkides "onde" sõnaks "wave", mis andis sõna "wavelet".

Wavelet on (kompleksne) funktsioon Hilberti ruumist ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . Praktiliste rakenduste jaoks peaks see vastama järgmistele tingimustele.

Sellel peab olema piiratud energia.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

See peab vastama vastuvõetavuse tingimusele.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ , kus ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }} ${\hat {\psi }}$ on Fourier-transformatsioon ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$

Nulltingimus tuleneb vastuvõetavuse tingimusest.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Funktsiooni ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$ nimetatakse emavelleetiks. Selle teisendatud (nihutatud) ja laiendatud (skaleeritud) normaliseeritud versioonid on määratletud järgmiselt.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Esialgse emavelleedi parameetrid on a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ ja b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . Tõlkimist kirjeldab parameeter b {\displaystyle b} $b$ ja laiendamist parameeter a {\displaystyle a}.

Morlet wavelet

Küsimused ja vastused

K: Mis on wavelet?

V: Wavelet on matemaatiline funktsioon, mida kasutatakse funktsiooni või signaali kirjutamiseks teiste, lihtsamalt uuritavate funktsioonide abil. Seda saab vaadelda läätse all suurendusega, mis on antud wavelet'i skaalaga, mis võimaldab meil näha ainult selle kuju poolt määratud teavet.

K: Kes võttis kasutusele termini "wavelet"?

V: Ingliskeelse termini "wavelet" võtsid 1980. aastate alguses kasutusele prantsuse füüsikud Jean Morlet ja Alex Grossman, kes kasutasid prantsuse sõna "ondelette" (mis tähendab "väikest lainet"). Hiljem toodi see sõna inglise keelde, tõlkides "onde" sõnaks "wave", mis andis meile sõna "wavelet".

Küsimus: Millele peab lainelett vastama, et seda saaks praktiliselt kasutada?

V: Praktiliste rakenduste jaoks peab waveletil olema piiratud energia ja see peab vastama vastuvõetavuse tingimusele. See vastuvõetavuse tingimus sätestab, et selle keskmine peab olema null ja see peab vastama ka integraalile sageduse üle, mis on väiksem kui lõpmatus.

K: Mida tähendab translatsioon ja dilatatsioon, kui viidatakse laineteele?

V: Tõlkimine viitab emawavelet'i nihutamisele või liigutamisele piki ajatelge, samal ajal kui laienemine viitab emawavelet'i skaleerimisele või venitamisele/kahanemisele piki ajatelge. Neid kahte parameetrit (translatsioon ja dilatatsioon) kirjeldavad vastavalt b ja a.

Küsimus: Mida tähendab see, et laineleti keskmine on null?

V: Nullkeskmine tähendab, et kui integreerida kõik t väärtused negatiivsest lõpmatusest positiivse lõpmatuseni, siis peaks summa olema võrdne 0, st ∫-∞∞∞ψ(t)dt=0 . See nõue tuleneb eespool nimetatud vastuvõetavuse tingimusest.

Küsimus: Kuidas on määratletud emalaine?

V: Ema laineteid defineeritakse kui algse emalaineteedi transleeritud (nihutatud) ja laiendatud (skaleeritud) versiooni normaliseeritud versioone, mille parameetrid on "a" = 1 ja "b" = 0 .