Hilberti ruum
Hilberti ruum on matemaatiline mõiste, mis hõlmab eukleidilise ruumi ekstramõõtmelist kasutamist - st ruumi, millel on rohkem kui kolm mõõdet. Hilberti ruum kasutab kahe ja kolme mõõtme matemaatikat, et püüda kirjeldada seda, mis toimub rohkem kui kolmes mõõtmes. See on nimetatud David Hilberti järgi.
Vektoralgebra ja arvutus on meetodid, mida tavaliselt kasutatakse kahemõõtmelises eukleidilises tasapinnas ja kolmemõõtmelises ruumis. Hilberti ruumides võib neid meetodeid kasutada mis tahes piiratud või lõpmatu arvu mõõtmetega. Hilberti ruum on vektorruum, millel on sisemise korrutise struktuur, mis võimaldab mõõta pikkust ja nurka. Hilberti ruumid peavad olema ka täielikud, mis tähendab, et arvutuste toimimiseks peab olema piisavalt palju piire.
Varaseimaid Hilberti ruume uurisid 20. sajandi esimesel kümnendil David Hilbert, Erhard Schmidt ja Frigyes Riesz. John von Neumann mõtles esimesena välja nime "Hilberti ruum". Hilberti ruumi meetodid tegid funktsionaalanalüüsis suurt vahet.
Hilberti ruumid esinevad palju matemaatikas, füüsikas ja tehnikas, sageli lõpmatusdimensiooniliste funktsiooniruumidena. Need on eriti kasulikud osaliste diferentsiaalvõrrandite, kvantmehaanika, Fourier' analüüsi (mis hõlmab signaalitöötlust ja soojusülekannet) uurimisel. Hilberti ruume kasutatakse ergodeerimisteoorias, mis on termodünaamika matemaatiline alus. Kõik tavalised eukleidilised ruumid on samuti Hilberti ruumid. Muud näited Hilberti ruumidest on ruutintegreeritavate funktsioonide ruumid, jadade ruumid, üldistatud funktsioonidest koosnevad Sobolevi ruumid ja holomorfsete funktsioonide Hardy ruumid.
Hilberti ruume saab kasutada vibreerivate keelte harmooniate uurimiseks.
Küsimused ja vastused
K: Mis on Hilberti ruum?
A: Hilberti ruum on matemaatiline mõiste, mis kasutab kahe- ja kolmemõõtmelise matemaatika abil püütakse kirjeldada seda, mis toimub suuremates kui kolmemõõtmelistes ruumides. See on vektorruum, millel on sisemise korrutise struktuur, mis võimaldab mõõta pikkust ja nurka ning mis peab olema ka täielik, et arvutamine toimiks.
K: Kes andis Hilberti ruumide mõistele nime?
V: Hilberti ruumide mõistet uurisid esimest korda 20. sajandi alguses David Hilbert, Erhard Schmidt ja Frigyes Riesz. John von Neumann oli see, kes mõtles välja nime "Hilberti ruum".
K: Millised on mõned Hilberti ruumide rakendused?
V: Hilberti ruume kasutatakse paljudes valdkondades, näiteks matemaatikas, füüsikas, tehnikas, funktsionaalanalüüsis, osalistes diferentsiaalvõrrandites, kvantmehaanikas, Fourier' analüüsis (mis hõlmab signaalitöötlust ja soojusülekannet), ergodeerimisteoorias (termodünaamika matemaatiline alus), ruutintegreeritavate funktsioonide, jadade, üldistatud funktsioonidest koosnevate Sobolevi ruumide, holomorfsete funktsioonide Hardy ruumide puhul.
Küsimus: Kas kõik tavalised eukleidilised ruumid on ka Hilberti ruumid?
V: Jah - kõik normaalsed eukleidilised ruumid loetakse ka Hilberti ruumideks.
K: Kuidas Hilberti ruumid muutsid funktsionaalanalüüsi?
V: Hilberti ruumide kasutamine muutis funktsionaalanalüüsi oluliselt, pakkudes uusi meetodeid selle valdkonnaga seotud probleemide uurimiseks.
K: Millist liiki matemaatikat peab tundma, kui töötatakse Hilberti ruumiga?
V: Vektoralgebra ja arvutus kasutavad tavaliselt töödeldes kahemõõtmelise eukleidilise tasandi või kolmemõõtmelise ruumiga, kuid neid meetodeid saab kasutada ka mis tahes piiratud või lõpmatu arvu mõõtmete puhul, kui tegemist on Hilberti ruumiga.
