Kalkulatsioon

Kalkulatsioon on matemaatika haru, mis aitab meil mõista muutusi väärtuste vahel, mis on seotud funktsiooniga. Näiteks kui teil oleks üks valem, mis ütleks, kui palju raha te iga päev saate, siis kalkulatsioon aitaks teil mõista seotud valemeid, näiteks kui palju raha teil kokku on ja kas te saate rohkem või vähem raha kui varem. Kõik need valemid on aja funktsioonid, ja nii ongi üks võimalus arvutusest mõelda - aja funktsioonide uurimine.

On olemas kaks erinevat liiki arvutusi. Diferentsiaalarvutus jagab asjad väikesteks (erinevateks) tükkideks ja ütleb meile, kuidas need muutuvad ühest hetkest teise, samas kui integraalarvutus ühendab (integreerib) väikesed tükid kokku ja ütleb meile, kui palju millestki on muutuste seeriast kokkuvõttes saanud. Arvutust kasutatakse paljudes erinevates valdkondades, näiteks füüsikas, astronoomias, bioloogias, inseneriteaduses, majanduses, meditsiinis ja sotsioloogias.

Ajalugu

1670ndatel ja 1680ndatel aastatel mõtlesid Sir Isaac Newton Inglismaal ja Gottfried Leibniz Saksamaal samaaegselt välja arvutused, töötades teineteisest eraldi. Newton soovis uut viisi, kuidas ennustada, kus taevas planeete näha, sest astronoomia oli alati olnud populaarne ja kasulik teadus ning laevade navigeerimiseks oli oluline rohkem teada objektide liikumisest öises taevas. Leibniz tahtis mõõta ruumi (pindala) kõvera (sirgjoon, mis ei ole sirge) all. Palju aastaid hiljem vaidlesid kaks meest selle üle, kes selle esimesena avastas. Inglismaa teadlased toetasid Newtoni, kuid ülejäänud Euroopa teadlased toetasid Leibnizi. Enamik matemaatikuid on tänapäeval nõus, et mõlemad mehed jagavad võrdselt tunnustust. Mõned tänapäeva arvutuste osad pärinevad Newtonilt, näiteks nende kasutamine füüsikas. Teised osad pärinevad Leibnizilt, näiteks selle kirjutamiseks kasutatavad sümbolid.

Nad ei olnud esimesed inimesed, kes kasutasid matemaatikat füüsikalise maailma kirjeldamiseks - Aristoteles ja Pythagoras olid varasemad, nagu ka Galileo Galilei, kes ütles, et matemaatika on teaduse keel. Kuid nii Newton kui ka Leibniz olid esimesed, kes kavandasid süsteemi, mis kirjeldab, kuidas asjad aja jooksul muutuvad, ja suudab ennustada, kuidas nad tulevikus muutuvad.

Nimetus "calculus" oli ladinakeelne sõna väikese kivi kohta, mida antiik-Roomlased kasutasid lugemisel ja hasartmängude mängimisel. Ingliskeelne sõna "calcul" pärineb samast ladinakeelsest sõnast.

Diferentsiaalarvutus

Diferentsiaalarvutust kasutatakse muutuja muutumiskiiruse leidmiseks võrreldes teise muutujaga.

Reaalses maailmas saab seda kasutada liikuva objekti kiiruse leidmiseks või elektri ja magnetismi toimimise mõistmiseks. See on väga oluline füüsika ja paljude teiste teadusvaldkondade mõistmiseks.

Diferentsiaalarvutus on kasulik ka graafikute koostamisel. Seda saab kasutada kõvera kallakute ning kõvera kõrgeima ja madalaima punkti (neid nimetatakse maksimumiks ja miinimumiks) leidmiseks.

Muutujad võivad oma väärtust muuta. See erineb numbritest, sest numbrid on alati samad. Näiteks arv 1 on alati võrdne 1 ja arv 200 on alati võrdne 200. Muutujaid kirjutatakse sageli tähtedena, näiteks täht x. "X" võib ühel hetkel olla võrdne 1 ja teisel hetkel 200.

Mõned näited muutujatest on vahemaa ja aeg, sest need võivad muutuda. Objekti kiirus on see, kui kaugele see liigub teatud aja jooksul. Kui linn on 80 kilomeetri kaugusel ja inimene jõuab sinna autoga ühe tunniga, siis on ta sõitnud keskmiselt 80 kilomeetrit tunnis. Kuid see on ainult keskmine - võib-olla sõitsid nad mõnel ajal kiiremini (maanteel) ja mõnel ajal aeglasemalt (valgusfoori juures või väikesel tänaval, kus elavad inimesed). Kujutage ette, et autojuht üritab auto kiirust välja arvutada, kasutades ainult selle läbisõidumõõdikut (läbisõidumõõdiku) ja kella, ilma spidomeetrita!

Kuni arvutuste leiutamiseni oli ainus võimalus seda välja töötada see, et lõigata aeg üha väiksemateks ja väiksemateks tükkideks, nii et keskmine kiirus väiksema aja jooksul oleks üha lähemal tegelikule kiirusele teatud ajahetkel. See oli väga pikk ja raske protsess ja seda tuli teha iga kord, kui inimesed tahtsid midagi välja arvutada.

Väga sarnane probleem on leida kalle (kui järsk see on) mõnes kurvi punktis. Sirge tõusu on lihtne välja arvutada - see on lihtsalt see, kui palju see tõuseb (y või vertikaalne) jagatuna selle läbilaskmise arvuga (x või horisontaalne). Kõveral on aga kalle muutuv (eri punktides on tal erinevad väärtused), sest sirge on kõver. Kui aga kõver lõigata väga-väga väikesteks tükkideks, siis näeks kõver selles punktis välja peaaegu nagu väga lühike sirge. Nii et selle kalleuse arvutamiseks võib läbi punkti tõmmata sirge, mille kalle on sama, mis kõveral selles punktis. Kui see on tehtud täpselt õigesti, siis on sirgjoonel sama kalle kui kõveral ja seda nimetatakse puutujaks. Kuid ei ole võimalik teada (ilma väga keerulise matemaatikata), kas puutuja on täpselt õige, ja meie silmad ei ole piisavalt täpsed, et olla kindel, kas see on täpne või lihtsalt väga lähedane.

Newton ja Leibniz leidsid viisi, kuidas lihtsate ja loogiliste reeglite abil täpselt välja arvutada kallak (või kauguse näites kiirus). Nad jagasid kõvera lõpmatult paljudeks väga väikesteks tükkideks. Seejärel valisid nad punktid mõlemal pool neid huvitavat vahemikku ja arvutasid igas punktis välja puutujaid. Kui punktid liikusid üksteisele lähemale, lähenesid nad huvipakkuva punkti suunas, lähenes kalle teatud väärtusele, kui puutujaid lähenesid kõvera tegelikule kallakule. See konkreetne väärtus, millele see lähenes, oli tegelik kaldenurk.

Oletame, et meil on funktsioon y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} $y=f(x)$ . f on lühend funktsioonist, seega tähendab see võrrand "y on funktsioon x-st". See ütleb meile, et see, kui kõrge on y vertikaalteljel, sõltub sellest, milline on x (horisontaalteljel) sel hetkel. Näiteks võrrandiga y = x {\displaystyle2 y=x^{2}} $y=x^{2}$ teame, et kui x {\displaystyle x} on 1, siis y {\displaystyle y} on 1; kui x {\displaystyle x} on 3, siis y {\displaystyle y} on 9; kui x {\displaystyle x} on 20, siis y {\displaystyle y} on 400. Selle meetodi abil saadud tuletis on siin x 2{\displaystyle 2x} $2x$ ehk 2 korrutatuna x {\displaystyle x} . Seega teame, ilma et peaksime joonistama mingeid puutujaid, et igas punktis kõveral f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ tuletis, f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} f'(x) (tähistatud primaarsümboliga), on igas punktis x 2{\displaystyle 2x} $2x$ . Seda kallakute väljaarvutamise protsessi, kasutades piirväärtusi, nimetatakse diferentseerimiseks ehk tuletise leidmiseks.

Matemaatikas saab tuletist kirjutada järgmiselt: f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. } $f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

Leibniz jõudis samale tulemusele, kuid nimetas h " d x {\displaystyle dx} $dx$ ", mis tähendab "seoses x-ga". Saadud muutust f ( x ) nimetas ta {\displaystyle f(x)} f(x) " d y {\displaystyle dy} $dy$ ", mis tähendab "väike summa y". Leibnizi notatsiooni kasutatakse rohkem raamatutes, sest see on lihtne mõista, kui võrrandid muutuvad keerulisemaks. Leibnizi notatsioonis: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)} ${\frac {dy}{dx}}=f'(x)$

Matemaatikud on seda põhiteooriat edasi arendanud, et teha lihtsad algebra reeglid, mida saab kasutada peaaegu iga funktsiooni tuletise leidmiseks.

Kõveral on kahel erineval punktil erinevad kalded. Punane ja sinine joon on kõvera puutujaid.

Pilt, mis näitab, mida x ja x + h tähendavad kõveral.

Integraalarvutus

Integraalarvutus on funktsiooni graafiku all oleva pindala arvutamine. Näiteks on auto läbitud vahemaa arvutamine: kui te teate auto kiirust eri ajahetkedel ja joonistate selle kiiruse graafiku, siis on auto läbitud vahemaa graafiku alune pindala.

Selleks jagatakse graafik paljudeks väga väikesteks tükkideks ja joonistatakse iga tüki alla väga õhukesed ristkülikud. Kui ristkülikud muutuvad üha õhemaks, katavad ristkülikud graafiku all oleva ala üha paremini. Ristküliku pindala on lihtne arvutada, seega saame arvutada kõigi ristkülikute kogupindala. Õhemate ristkülikute puhul läheneb see kogupindala väärtus graafiku alusele pindalale. Lõplikku pindala väärtust nimetatakse funktsiooni integraaliks.

Matemaatikas kirjutatakse funktsiooni f(x) integraal a-st b-sse järgmiselt: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ .

Me saame ligikaudselt leida kõveruse all oleva pindala, kui liidame kokku paljude kõveruse all olevate ristkülikute pindalad. Mida rohkem ristkülikuid me kasutame, seda parem on meie lähendus.

Integreerimine seisneb pindalade leidmises, kui a, b ja y = f(x) on antud.

Arvutuse põhiidee

Arvutuse põhiideed nimetatakse arvutuste fundamentaalseks teoreemiks. See põhiidee ütleb, et kaks arvutusprotsessi, diferentsiaal- ja integraalarvutus, on teineteisele vastandlikud. See tähendab, et inimene võib kasutada diferentsiaalarvutust integraalarvutuse protsessi tühistamiseks. Samuti võib inimene kasutada integraalarvutust, et tühistada diferentsiaalarvutuse meetodit. See on täpselt sama, nagu kasutada jagamist korrutamise "tühistamiseks" või liitmist lahutamise "tühistamiseks".

Ühes lauses kõlab põhiteoreem umbes nii: "Funktsiooni f integraali tuletis on funktsioon ise".

Muud kalkulatsiooni kasutusvõimalused

Arvutust kasutatakse muutuvate asjade, näiteks looduses esinevate asjade kirjeldamiseks. Seda saab kasutada kõigi nende näitamiseks ja õppimiseks:

Kuidas lained liiguvad. Lained on looduses väga olulised. Näiteks heli ja valgust võib pidada lainetena.
Kui soojus liigub, nagu majas. See on kasulik arhitektuuris (majade ehitamisel), et maja oleks võimalikult odav kütta.
Kuidas väga väikesed asjad nagu aatomid käituvad.
Kui kiiresti midagi langeb, mida nimetatakse ka raskusjõuks.
Kuidas masinad töötavad, tuntud ka kui mehaanika.
Kuu liikumine ümber Maa. Samuti Maa rada, kui ta liigub ümber Päikese, ja iga planeedi või kuu liikumine ümber millegi kosmoses.

Küsimused ja vastused

K: Mis on kalkulatsioon?

V: Kalkulatsioon on matemaatika haru, mis kirjeldab pidevat muutust.

K: Mitu liiki kalkulaatorit on olemas?

V: On olemas kaks erinevat tüüpi kalkulatsiooni.

K: Mida teeb diferentsiaalarvutus?

V: Diferentsiaalarvutus jagab asjad väikesteks tükkideks ja ütleb meile, kuidas need muutuvad ühest hetkest teise.

K: Mida teeb integraalarvutus?

V: Integraalarvutus liidab väikesed tükid kokku ja ütleb meile, kui palju millestki muutub kokkuvõttes mingi muutuste seeriaga.

K: Millistes teadusharudes kasutatakse integraalarvutust?

V: Kalkulatsiooni kasutatakse paljudes erinevates teadustes, näiteks füüsikas, astronoomias, bioloogias, inseneriteaduses, majanduses, meditsiinis ja sotsioloogias.

K: Kuidas erineb diferentsiaalarvutus integraalarvutusest?

V: Diferentsiaalarvutus eristab asju väikesteks tükkideks ja ütleb meile, kuidas need muutuvad, samas kui integraalarvutus integreerib väikesed tükid kokku ja ütleb meile, kui palju millestki kokku saab.

K: Miks on arvutusarvutus nii paljudes erinevates teadustes oluline?

V: Arvestus on oluline paljudes erinevates teadustes, sest see aitab meil mõista ja ennustada pidevat muutust, mis on paljude loodusnähtuste põhiline aspekt.