Kalkulatsioon on matemaatika haru, mis aitab meil mõista muutusi väärtuste vahel, mis on seotud funktsiooniga. Näiteks kui teil oleks üks valem, mis ütleks, kui palju raha te iga päev saate, siis kalkulatsioon aitaks teil mõista seotud valemeid, näiteks kui palju raha teil kokku on ja kas te saate rohkem või vähem raha kui varem. Kõik need valemid on aja funktsioonid, ja nii ongi üks võimalus arvutusest mõelda - aja funktsioonide uurimine.

On olemas kaks erinevat liiki arvutusi. Diferentsiaalarvutus jagab asjad väikesteks (erinevateks) tükkideks ja ütleb meile, kuidas need muutuvad ühest hetkest teise, samas kui integraalarvutus ühendab (integreerib) väikesed tükid kokku ja ütleb meile, kui palju millestki on muutuste seeriast kokkuvõttes saanud. Arvutust kasutatakse paljudes erinevates valdkondades, näiteks füüsikas, astronoomias, bioloogias, inseneriteaduses, majanduses, meditsiinis ja sotsioloogias.

Diferentsiaalarvutus lühidalt

Diferentsiaalarvutus puudutab funktsiooni hetkeks muutumise kiirust ehk tuletist. Tuletis annab teada, kuidas muutub funktsiooni väärtus väikese muutuse korral sõltuvas muutujas. Tavapärased märgendid on f'(x) või df/dx.

Intuitsioonina võib mõelda, et tuletis on joone puutuja kalle graafikul. Näide:

  • Kui s(t) = t² on liigubaja positsioon aja t järgi, siis tema kiirus v(t) = s'(t) = 2t.

Formaalne definitsioon kasutab piirväärtust (limiit):

f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h.

Põhilised reeglid diferentsiaalarvutuses

  • Power-reegel: (x^n)' = n·x^(n−1).
  • Summa- ja konstanti korrutise reegel: (af + bg)' = a f' + b g'.
  • Toote (product) reegel: (fg)' = f'g + fg'.
  • Jagamise (quotient) reegel: (f/g)' = (f'g − fg')/g² (kui g ≠ 0).
  • Kompositsioonireegel (ahelareegel): (f∘g)'(x) = f'(g(x))·g'(x).

Integraalarvutus lühidalt

Integraalarvutus tegeleb summade ja akumulatsiooniga. Indefiniitne integraal ehk antituletis on funktsioon F(x), mille tuletis on antud f(x): F'(x) = f(x). Indefiniitse integraali sümbol on ∫ f(x) dx ja üldine lahend on F(x) + C (C on integraalkonstant).

Definiitne integraal ∫ab f(x) dx annab funktsiooni f kuhjumise summa a-st b-ni — geometriliselt sageli pindala kõverjoone ja x-telje vahel (kui f on positiivne).

Fundamentaalne teoreem

Arvutuse kaks osa on seotud fundamentaalse teoreemiga: antituletise leidmine ja selle hindamine lõikudele võimaldavad arvutada täpseid akumuleeritud väärtusi. Kui F on f antituletis, siis ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a).

Peamised integraalimismeetodid

  • Substitutsioonimeetod (muutujavahetus) — sobib kompositsioonide puhul.
  • Osade kaupa integreerimine (integration by parts) — analoogne toote reeglile diferentsiaalis.
  • Ratsionaalfunktsioonide osadeks lahutamine ja tabelintegraalid.
  • Numbrilised meetodid (trapets, Simpson) kui analüütilist lahendit ei ole.

Praktilised näited ja tähendus

  • Füüsikas on kiirus positsiooni tuletis, ja kiirendus on kiiruse tuletis. Samuti annab integraal positsioonist kiiruse akumulatsiooni.
  • Majanduses mõõdetakse marginalseid suundumusi — nt kasumimuutus ühe täiendava toote ühiku kohta — diferentsiaalarvutusega; integraaliga arvutatakse kogutulu või kogukulu antud perioodil.
  • Bioloogias ja meditsiinis kasutatakse mudelite loomiseks ja andmete sobitamiseks, hingamismahu või ravimite kontsentratsiooni aja jooksul modelleerimiseks.

Lisamõtted ja praktilised nõuanded

  • Tuletise olemasolu eeldab, et funktsioon käitub piisavalt hästi (nt on pidev ja limiit olemas).
  • Integraal võib olemas olla ka siis, kui funktsioon ei ole igal pool pidev — aga vajalikud tingimused sõltuvad kontekstist (Riemanni vs. Lebesgue integreerimine).
  • Paljudel praktilistel juhtudel kasutatakse numbrilisi lähenemisi, kui sul ei ole lihtsat analüütilist lahendit.

Kokkuvõte: arvutus (kalkulatsioon) annab meile tööriistad muutuste kiiruse mõõtmiseks (diferentsiaalarvutus) ja muutuste kogusumma leidmiseks (integraalarvutus). Need kaks valdkonda on omavahel tihedalt seotud ning moodustavad aluse paljudele teadus- ja insenerivaldkondadele.