Matemaatikas on funktsioon matemaatiline objekt, mis seob iga sisendi üheks väljundiks. Kui funktsioonile antakse sisend, siis see annab tagasi ühe (või mõnel üldistatud mõistel ka mitu) väljundit. Sisendid ja väljundid võivad olla näiteks arvud, vektorid või mis tahes elemendid mingis hulga sees.

Üldkõnekeeles saab funktsiooni ette kujutada kui masinat: masin võtab vastu väärtuse x ja tagastab väärtuse y. Kõigi võimalike x-väärtuste kogumit nimetatakse domeeniks. Kogumit, mis sisaldab kõiki väärtusi, mida y võiks teoreetiliselt saada (funktsiooni sihtruum), on artiklis esitatud linki järgnevalt nimetatud kaasvaldkonnaks. Oluline vahe on teha kaasdomeeni (sihtruumi) ja tegeliku pildi ehk funktsiooni väärtuste kogumi vahel: kõik pildis leiduvad elemendid kuuluvad kaasdomeeni, kuid mitte iga kaasdomeeni element ei pea olema funktsiooni tegelik väljund.

Kui y sõltub x-st vastavalt reeglile f, siis kirjutame y=f(x). Funktsiooni kolm osa — domeen, kaasdomeen ja seos — tähistatakse sageli notatsiooniga f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} (loe: "f on funktsioon X-st Y-ni"). See näitab, et funktsioon f võtab elemente hulgast X ja kuvab need hulka Y.

Lihtne näide on f(x)=x+1. Kui domeeniks on naturaalarvud x (0, 1, 2, 3, ...), siis vastavad väljundid y on samuti naturaalarvud ning y = x + 1 annab jada 1, 2, 3, 4, ...; seega on pilt (funktsiooni tegelik väärtuste hulk) kõik naturaalarvud alates 1-st. Originaalses näites on oluline eristada domeeni (kõik võimalused, mida x võib olla), kaasdomeeni (kõik võimalused, mida y võib teoreetiliselt olla) ja tegelikku pildi (mida f reaalselt võtab väärtuseks).

Mõned täpsemad mõisted

  • Domeen (määramispiirkond) — hulk X, mille elementidele funktsioon on määratud.
  • Kaasdomeen (sihtruum) — hulk Y, mille elemendid loetakse võimalikeks väljunditeks; kaasdomeeni ja pildi (image) erinevus on oluline.
  • Pilt (image, väärtuste hulk) — alamhulk Y-st, mis koosneb kõigist tegelikest väljunditest f(x) funktsiooni kõigi x ∈ X korral.
  • Presise määratluse järgi on funktsioon f hulgast X hulka Y määratlus, mis omistab igale x ∈ X täpselt ühe y ∈ Y.

Funktsioonide liigid lühidalt

  • Injektsioon (üks-ühele) — funktsioon, kus erinevad sisendid annavad erinevad väljundid: kui f(x1)=f(x2), siis x1=x2.
  • Surjektsioon (pealekaetav, täiskatte) — funktsioon, mille pilt võrdub kogu kaasdomeeniga Y; iga y ∈ Y on mõne x ∈ X kujutis.
  • Bijektsioon — samaaegselt injektiivne ja surjektiivne funktsioon; sellisel juhul on olemas pöördfunktsioon f^{-1}: Y → X.

Operatsioonid funktsioonidega

  • Koosseis: kahe funktsiooni f: X → Y ja g: Y → Z kooseis g ∘ f on funktsioon X → Z, mis määrab iga x ∈ X väärtuse g(f(x)).
  • Pöördfunktsioon: olemas ainult bijektsioonide puhul; pöördfunktsioon f^{-1} annab iga y ∈ Y vastava x ∈ X.
  • Eelkujutis (preimage): antud y väärtuse eelpilt on hulk {x ∈ X | f(x)=y}.

Veel näiteid

- f: R → R, f(x)=x^2 — domeen on kõik reaalarvud R ja kaasdomeen võib olla valitud R, kuid pilt on [0, ∞). Seetõttu pole see funktsioon surjektne R peale (kuna negatiivseid väärtusi ei anta).

- g: Z → Z, g(n)=2n — injektsioon (erinevad n annavad erinevad 2n), kuid ei ole surjektne kogu Z peale, sest näiteks 1 ei ole kujutis ühegi täisarvu korral; aga see on surjektne hulga kõigi paarisarvude suhtes.

Märkused ja soovitused

Funktsiooni mõiste on väga üldine: see ei pea olema alati antud lihtsa valemiga (võrrandiga). Funktsioon võib olla määratud tabeli, algoritmi, loogilise reegli või isegi keeruka geomeetrilise protsessina. Kui õpid funktsioone, keskendu esmalt mõistusele, et funktsioon määrab igale domeeni elemendile täpselt ühe väljundi — see on definitsiooni tuum.

Kui vaja, võin lisada illustratsioone, jooniseid või rohkem konkreetseid ülesandeid ja lahendusi, mis aitavad erinevaid funktsioonitüüpe paremini mõista.