Astendamine (potenseerimine): definitsioon, reeglid ja näited

Õpi astendamise definitsiooni, reegleid ja praktilisi näiteid: ruudud, kuubid, negatiivsed ja murdeksponentsid selgelt ja arusaadavalt.

Autor: Leandro Alegsa

06-11-2025 15:10

Potenseerimine (võimendamine) on arvudega tehtav aritmeetiline operatsioon. See on korduv korrutamine, samamoodi nagu korrutamine on korduv liitmine. Sageli kirjutatakse eksponent ülemise indeksina, näiteks x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ . Kui kasutatav kirjutusvahend ei toeta ülemist indeksit, kasutatakse mõnikord sümboleid ^ või **: nii 2^3 või 2**3 tähendab sama mis 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ .

Arvu x {\displaystyle x} nimetatakse baasiks ja arvu y {\displaystyle y} nimetatakse eksponendiks. Näiteks 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ puhul on 2 baas ja 3 eksponent.

Arvu 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ arvutamiseks korrutame baasi iseendaga eksponendi võrra: 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Tulemuseks on 8: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Võrrandit loetakse näiteks nii: "kaks astmes kolm võrdub kaheksa".

Näited ja erijuhtumid

Näited:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ iga arvu x puhul

Erinimetused:

Kui eksponent on 2, nimetatakse seda ruuduks, sest ruudu pindala arvutatakse sageli valemiga a^{2} $a^{2}$ . Seega x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ on x ruut.
Kui eksponent on 3, nimetatakse seda kuubiks, sest kuubi ruumala arvutamisel kasutatakse a^{3} $a^{3}$ . Seega x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ on x kuup.

Negatiivsed ja murdarvulised eksponendid

Kui eksponent on -1, siis vastab see aluse pöördväärtusele:

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Kui eksponentiks on mõni negatiivne täisarv, pöörame baasi ja tõstame selle positiivsesse astmesse. Näide:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Murdarvuline eksponent seob potentsid juurtega. Kui eksponent on {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ , siis vastab see ruutjuurele:

x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$

Näide:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Üldisemalt, kui eksponent on {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ , siis vastab see n-ndale juurele:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Kui eksponent on ratsionaalne {\displaystyle {\frac {p}{q}}} ${\frac {p}{q}}$ , siis tõstame baasi esmalt p-ndale astmele ja võtame seejärel q-nda juure:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Irratsionaalsete eksponentide puhul määratletakse potents väärtuste piirväärtusena, kasutades ratsionaalsete eksponentide jadade piire. Kui x on irratsionaalne, valime jadad x_n ratsionaalidest, mille piir on x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

Seejärel defineeritakse

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Olulised reeglid potentsidega töötamiseks

Alljärgnevad võrrandid ja reeglid on kasulikud potentsidega arvestamisel:

(a⋅b)ⁿ = aⁿ⋅bⁿ {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a^r⋅a^s = a^r+s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
{\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a^-n = 1 / aⁿ, a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
(a^r)^s = a^r·s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a⁰ = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$ (kui a ≠ 0)

Need reeglid kehtivad laias osas reaalarvude ja ka paljudes abstraktsetes algebra struktuurides, kuid tuleb tähele panna erandeid (näiteks kompleksarvud või nulljuurud) ja määratluspiiranguid (baas peab olema sobiv jagamiseks, juurte puhul tavaliselt mitte-negatiivne reaalarv jm).

Maatriksite eksponentseerimine

Potenseerimist saab laiendada ka maatriksitele. Selleks peab maatriks olema ruudukujuline (n×n), ja potentsi liiga positiivse astme korral tehakse lihtsalt maatriksite korrutamine. Näide ühikmaatriksiga I:

Näiteks I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Maatriksite jaoks on lisaks tavareeglitele oluline ka, et mitte kõik reeglid ei kehti täpselt samamoodi kui skalaarkuju korral (näiteks maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, seega (AB)ⁿ ≠ AⁿBⁿ üldjuhul).

Lõpetuseks: potenseerimine on matemaatikas väga laialt kasutatav operatsioon, mille mõistmine aitab algebra, analüüsi, geomeetria ja paljude rakenduste (näiteks füüsika, majandus ja tehnoloogia) probleemide lahendamisel. Praktikas on oluline pöörata tähelepanu avaldise määratlusele (millised väärtused on lubatud baasiks ja eksponendiks) ning erijuhule, kui kasutatakse negatiivseid, murdarvulisi või irratsionaalseid eksponente.

Kommutatiivsus

Nii liitmine kui ka korrutamine on kommutatiivsed. Näiteks 2+3 on sama, mis 3+2; ja 2 - 3 on sama, mis 3 - 2. Kuigi korrutamine on korduv korrutamine, ei ole see kommutatiivne. Näiteks 2³=8, kuid 3²=9.

Invertsed operatsioonid

Liitmisel on üks pöördoperatsioon: lahutamine. Ka korrutamisel on üks pöördoperatsioon: jagamine.

Kuid eksponentimisel on kaks pöördoperatsiooni: Juur ja logaritm. See on nii, sest eksponentimine ei ole kommutatiivne. Seda näete selles näites:

Kui teil on x+2=3, siis saate lahutamise abil teada, et x=3-2. Sama kehtib ka siis, kui teil on 2+x=3: saate ka x=3-2. Seda seetõttu, et x+2 on sama, mis 2+x.
Kui teil on x - 2=3, siis võite kasutada jagamist, et leida, et x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Sama kehtib ka siis, kui teil on 2 - x=3: Saate ka x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Seda seetõttu, et x - 2 on sama, mis 2 - x
Kui teil on x²=3, siis kasutate x leidmiseks (ruut)juurt: Saate tulemuse x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Kui aga on ^2x=3, siis ei saa x leidmiseks kasutada juurt. Pigem tuleb x leidmiseks kasutada (binaarset) logaritmi^: Saate tulemuse x=log2(3).

Seotud leheküljed

Eksponent

Küsimused ja vastused

K: Mis on eksponentimine?

V: Eksponentimine on arvudega tehtav aritmeetiline operatsioon, mida võib pidada korduvaks korrutamiseks.

K: Kuidas kirjutatakse eksponentimine?

V: Eksponentimine kirjutatakse tavaliselt kujul x^y, kus x on alus ja y on eksponent. Seda võib kirjutada ka ^- või **-märke kasutades, näiteks 2^4 või 2**4.

K: Millised on mõned näited eksponentsuse kohta?

V: Eksponentsuse näited on näiteks 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 iga arvu x puhul; ja 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

Küsimus: Mida tähendab, kui eksponent on võrdne -1?

V: Kui eksponent on võrdne -1-ga, siis on võimsus lihtsalt aluse pöördväärtus (x^(-1) = 1/x).

K: Kuidas arvutatakse irratsionaalne võimsus baasist?

V: Selleks, et tõsta alus a irratsionaalsesse x-ndasse potentsi, kasutame ratsionaalarvude lõpmatut jada (xn), mille piiriks on x (a^x = lim n->lõputu a^(x_n)).

Küsimus: Kas on olemas reeglid, mis lihtsustavad eksponentide arvutamist?

V: Jah, on mitmeid reegleid, mis teevad eksponentide arvutamise lihtsamaks. Nende hulka kuuluvad (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); jne.

Otsige