Astendamine

Potensioneerimine (võimendamine) on arvudega tehtav aritmeetiline operatsioon. See on korduv korrutamine, nagu korrutamine on korduv liitmine. Inimesed kirjutavad korrutamist ülemise indeksiga. See näeb välja nii: x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ . Varem on kasutatud ka teisi matemaatilisi märkimisviise. Kui kirjutatakse seadmetega, mis ei saa kasutada ülemist indeksit, kirjutatakse potensse ^ või ** märkidega, nii et 2^3 või 2**3 tähendab 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. $2^{3}$ .

Arv x {\displaystyle x} on baas ja arv y {\displaystyle y} on eksponent. Näiteks 2 3 {\displaystyle 2^{3}} on {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ on 2 baas ja 3 on eksponent.

Arvutamiseks 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ peab inimene korrutama arvu 2 iseendaga kolm korda. Seega 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Tulemuseks on 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Võrrandit võiks lugeda valjusti nii: 2 potenssini 3 tõstetud 2 võrdub 8-ga.

Näited:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ iga arvu x puhul

Kui eksponent on võrdne 2, siis nimetatakse seda võimsust ruuduks, sest ruudu pindala arvutatakse, kasutades 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ . Seega

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ on x ruut {\displaystyle x}

Kui eksponent on võrdne 3, siis nimetatakse võimsust kuubiks, sest kuubi ruumala arvutatakse 3 {\displaystyle a^{3}} abil. $a^{3}$ . Seega

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ on x kuup {\displaystyle x}

Kui eksponent on võrdne -1, siis tuleb arvutada aluse pöördväärtus. Seega

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Kui eksponent on täisarv ja on väiksem kui 0, siis tuleb arv ümber pöörata ja arvutada potentsi. Näiteks:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Kui eksponent on võrdne 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ , siis on korrutamise tulemus baasi ruutjuur. Seega x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Näide:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Samamoodi, kui eksponent on 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ on tulemus n-nes juur, seega:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Kui eksponent on ratsionaalarv p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} ${\frac {p}{q}}$ , siis on tulemuseks baasi q-nes juur, mis on tõstetud p potentsile, seega:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Eksponent ei pruugi olla isegi ratsionaalne. Baasi a tõstmiseks irratsionaalsesse x-ndasse potentsi kasutame ratsionaalarvude lõpmatut jada (xi), mille piiriks on x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

niimoodi:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

On olemas mõned reeglid, mis aitavad võimsusi arvutada:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Võimalik on arvutada maatriksite eksponentseerimist. Maatriks peab olema ruudukujuline. Näiteks: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$

Kommutatiivsus

Nii liitmine kui ka korrutamine on kommutatiivsed. Näiteks 2+3 on sama, mis 3+2; ja 2 - 3 on sama, mis 3 - 2. Kuigi korrutamine on korduv korrutamine, ei ole see kommutatiivne. Näiteks 2³=8, kuid 3²=9.

Invertsed operatsioonid

Liitmisel on üks pöördoperatsioon: lahutamine. Ka korrutamisel on üks pöördoperatsioon: jagamine.

Kuid eksponentimisel on kaks pöördoperatsiooni: Juur ja logaritm. See on nii, sest eksponentimine ei ole kommutatiivne. Seda näete selles näites:

Kui teil on x+2=3, siis saate lahutamise abil teada, et x=3-2. Sama kehtib ka siis, kui teil on 2+x=3: saate ka x=3-2. Seda seetõttu, et x+2 on sama, mis 2+x.
Kui teil on x - 2=3, siis võite kasutada jagamist, et leida, et x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Sama kehtib ka siis, kui teil on 2 - x=3: Saate ka x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Seda seetõttu, et x - 2 on sama, mis 2 - x
Kui teil on x²=3, siis kasutate x leidmiseks (ruut)juurt: Saate tulemuse x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Kui aga on ^2x=3, siis ei saa x leidmiseks kasutada juurt. Pigem tuleb x leidmiseks kasutada (binaarset) logaritmi^: Saate tulemuse x=log2(3).

Seotud leheküljed

Eksponent

Küsimused ja vastused

K: Mis on eksponentimine?

V: Eksponentimine on arvudega tehtav aritmeetiline operatsioon, mida võib pidada korduvaks korrutamiseks.

K: Kuidas kirjutatakse eksponentimine?

V: Eksponentimine kirjutatakse tavaliselt kujul x^y, kus x on alus ja y on eksponent. Seda võib kirjutada ka ^- või **-märke kasutades, näiteks 2^4 või 2**4.

K: Millised on mõned näited eksponentsuse kohta?

V: Eksponentsuse näited on näiteks 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 iga arvu x puhul; ja 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

Küsimus: Mida tähendab, kui eksponent on võrdne -1?

V: Kui eksponent on võrdne -1-ga, siis on võimsus lihtsalt aluse pöördväärtus (x^(-1) = 1/x).

K: Kuidas arvutatakse irratsionaalne võimsus baasist?

V: Selleks, et tõsta alus a irratsionaalsesse x-ndasse potentsi, kasutame ratsionaalarvude lõpmatut jada (xn), mille piiriks on x (a^x = lim n->lõputu a^(x_n)).

Küsimus: Kas on olemas reeglid, mis lihtsustavad eksponentide arvutamist?

V: Jah, on mitmeid reegleid, mis teevad eksponentide arvutamise lihtsamaks. Nende hulka kuuluvad (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); jne.