Logaritm: definitsioon, tüübid ja näited (tavaline 10, loomulik e)

Logaritme kasutati Indias esmakordselt 2. sajandil eKr. Esimesena kasutas logaritme tänapäeval saksa matemaatik Michael Stifel (umbes 1487-1567). Aastal 1544 kirjutas ta üles järgmised võrrandid: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} ja q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}}} See on logaritmide mõistmise alus. Stifelile pidid m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} olema täisarvud. John Napier (1550-1617) ei soovinud seda piirangut ja soovis eksponentide jaoks vahemikku.

Napieri järgi väljendavad logaritmid suhtarvud: a {\displaystyle a} on sama suhe b {\displaystyle b} suhtes, nagu c {\displaystyle c} ja d {\displaystyle d} suhtes, kui nende logaritmide vahe on võrdne. Matemaatiliselt: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} . Alguses kasutati baasi e (kuigi arvule polnud veel nime antud). Henry Briggs tegi ettepaneku kasutada logaritmide alusena 10, sellised logaritmid on astronoomias väga kasulikud.

Logaritm ütleb, millist eksponenti (või potentsi) on vaja teatud arvu saamiseks, seega on logaritmid eksponentide pöördväärtused (vastupidised).

Nii nagu eksponentsiaalfunktsioonil on kolm osa, on ka logaritmil kolm osa. Logaritmi kolm osa on alus, argument ja vastus (mida nimetatakse ka võimsuseks).

See on eksponentsiaalne funktsioon:

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8\ }

Selles funktsioonis on baas 2, argument on 3 ja vastus on 8.

Sellel eksponentsiaalfunktsioonil on pöördfunktsioon, selle logaritm:

log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ }

Selle logaritmi alus on 2, argument on 8 ja vastus on 3.

Liitmisel on üks pöördoperatsioon: lahutamine. Ka korrutamisel on üks pöördoperatsioon: jagamine. Seetõttu võib olla raske mõista, miks eksponentsil on tegelikult kaks pöördoperatsiooni: Milleks on vaja logaritmi, kui juur on juba olemas? See on nii, sest eksponentimine ei ole kommutatiivne.

Seda illustreerib järgmine näide:

• Kui teil on x+2=3, siis saate lahutamise abil teada, et x=3-2. Sama kehtib ka siis, kui teil on 2+x=3: saate ka x=3-2. Seda seetõttu, et x+2 on sama, mis 2+x.
• Kui teil on x - 2=3, siis saate jagada, et x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Sama kehtib ka siis, kui teil on 2 - x=3: Saate ka x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Seda seetõttu, et x - 2 on sama mis 2 - x.
• Kui teil on x²=3, siis kasutate x leidmiseks (ruut)juurt: Saate tulemuse x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}}} . Kui aga 2^x =3, siis ei saa x leidmiseks kasutada juurt. Pigem tuleb x leidmiseks kasutada (binaarset) logaritmi: Saate tulemuse x=log₂(3).
  Seda seetõttu, et 2 ^xei ole tavaliselt võrdne x-ga ²(näiteks 2 ⁵=32, kuid 5²=25).

Logaritmid võivad lihtsustada suurte arvude korrutamist ja jagamist, sest logaritmide liitmine on sama, mis korrutamine, ja logaritmide lahutamine on sama, mis jagamine.

Enne kui kalkulaatorid muutusid populaarseks ja levinuks, kasutasid inimesed raamatutes olevaid logaritmitabelid korrutamiseks ja jagamiseks. Sama teave logaritmitabelis oli kättesaadav ka joonlaual, mis oli tööriist, millele olid logaritmid peale kirjutatud.

• Logaritmilised spiraalid on looduses tavalised. Näidetena võib tuua nautiluse kesta või seemnete paigutuse päevalillel.
• Keemias on hüdroooniumioonide (H₃O ⁺, mis on vees esinev H) aktiivsuse baasi 10 logaritmi negatiivne väärtus, mida ⁺nimetatakse pH-ks. Hüdroooniumioonide aktiivsus neutraalses vees on 25 °C juures 10 ⁻⁷mol/l, seega on pH 7. (See tuleneb sellest, et tasakaalukonstant, hüdroooniumioonide ja hüdroksüliioonide kontsentratsiooni korrutis, on vesilahustes 10 ⁻¹⁴M ².)
• Richteri skaala mõõdab maavärinate intensiivsust 10. baasi logaritmilisel skaalal.
• Astronoomias mõõdetakse tähtede heledust logaritmiliselt, kuna silm reageerib heledusele samuti logaritmiliselt.
• Muusikalisi intervalle mõõdetakse logaritmiliselt pooltoonidena. Kahe noodi vaheline intervall pooltoonides on sagedussuhte baas-2^1/12 logaritm (või samaväärselt 12-kordne baas-2 logaritm). Mittevõrdse temperatuuri puhul kasutatakse murdosa pooltoone. Eelkõige võrdselt tempereritud skaalast kõrvalekallete mõõtmiseks väljendatakse intervalle ka sentides (võrdselt tempereritud pooltoonide sajandikosa). Kahe noodi vaheline intervall sentides on sagedussuhte baas-2^1/1200 logaritm (või 1200 korda baas-2 logaritm). MIDI-s on noodid nummerdatud pooltooniskaalal (logaritmiline absoluutne nominaalkõrgus, mille keskmine C on 60). Mikrohäälestuseks teistele häälestussüsteemidele on määratletud logaritmiline skaala, mis täidab võrdsustemperatuurilise skaala pooltoonide vahelised vahemikud ühilduval viisil. See skaala vastab tervete pooltoonide noodinumbritele. (vt mikrotuunimine MIDI-s).

Logaritme baasiga 10 nimetatakse tavalogaritmiks. Neid kirjutatakse tavaliselt ilma baasita. Näiteks:

log ( 100 ) = 2 {\displaystyle \log(100)=2\ }

See tähendab:

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{2}=100\ }

Logaritme baasiga e nimetatakse loomulikuks logaritmiks. Arv e on peaaegu 2,71828 ja seda nimetatakse matemaatiku Leonhard Euleri järgi ka Euleri konstandiks.

Loomulikud logaritmid võivad võtta sümboleid log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\,} või ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\,}

Mõned autorid eelistavad kasutada naturaalseid logaritme log ( x ) {\displaystyle \log(x)}, kuid tavaliselt mainitakse seda eessõnas.

Logaritmidel on palju omadusi. Näiteks:

Logaritmi määratlusest tulenevad omadused

See omadus tuleneb otse logaritmi definitsioonist:

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} Näiteks

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3} ja

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=-1}, sest 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}=2^{-1}}} .

Luku a
logaritm baasiga b on sama, mis a logaritm jagatuna b logaritmiga, st,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}}

Näiteks olgu a 6 ja b 2. Kalkulaatoritega saame näidata, et see on tõsi või vähemalt väga lähedal sellele:

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}}

log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\approx 2.584962}

2.584962 ≈ 0.778151 0.301029 ≈ 2.584970 {\displaystyle 2.584962\approx {\frac {0.778151}{0.301029}}\approx 2.584970}

Meie tulemustes oli väike viga, kuid see tulenes numbrite ümardamisest.

Kuna loomulikku logaritmi on raske ette kujutada, leiame, et baas kümnenda logaritmina:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0.434294 {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}\approx {\frac {\log(x)}{0.434294}}}} Kus 0,434294 on e logaritmi ligikaudne väärtus.

Operatsioonid logaritmi argumentide sees

Logaritme, mis korrutavad oma argumendi sees, saab muuta järgmiselt:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

Näiteks,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}

Sama kehtib ka jagamise kohta, kuid liitmise asemel kasutatakse lahutamist, sest see on korrutamise pöördvõrdeline operatsioon:

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}

Logaritmitabelid, arvutusreeglid ja ajaloolised rakendused

Enne elektroonilisi arvuteid kasutasid teadlased logaritme iga päev. Logaritmid aitasid teadlasi ja insenere paljudes valdkondades, näiteks astronoomias.

Enne arvuteid oli logaritmide tabel oluline abivahend. Aastal 1617 trükkis Henry Briggs esimese logaritmitabeli. See oli varsti pärast Napieri põhilist leiutist. Hiljem valmistasid inimesed parema ulatuse ja täpsusega tabeleid. Need tabelid loetlesid log _b(x) ja b väärtused ^xmis tahes arvu x jaoks teatud vahemikus, teatud täpsusega, teatud baasi b (tavaliselt b = 10) jaoks. Näiteks Briggsi esimene tabel sisaldas kõigi täisarvude ühiseid logaritme vahemikus 1-1000, täpsusega 8 kohta. Kuna funktsioon f(x) = b ^xon log _b(x) pöördfunktsioon, on seda nimetatud antilogaritmiks. Inimesed kasutasid neid tabeleid arvude korrutamiseks ja jagamiseks. Näiteks otsis kasutaja tabelist kahe positiivse arvu logaritmi. Numbrite liitmine tabelist annaks tulemuseks korrutise logaritmi. Tabeli antilogaritmifunktsioon leiaks seejärel korrutise selle logaritmi alusel.

Täpsust vajavate käsitsi tehtavate arvutuste puhul on kahe logaritmi otsimine, nende summa või vahe arvutamine ja antilogaritmi otsimine palju kiirem kui korrutamise teostamine varasemate viisidega.

Paljud logaritmitabelid annavad logaritmid, andes eraldi x-i karakteristiku ja mantissi, st log ₁₀(x) täisarvulise osa ja murdosa. 10 - x karakteristik on üks pluss x karakteristik ja nende tähendusarvud on samad. See laiendab logaritmitabelite ulatust: kui on olemas tabel, kus on loetletud log₁₀(x) kõigi täisarvude x jaoks vahemikus 1 kuni 1000, siis 3542 logaritm on ligikaudselt järgmine

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354.2 ) = 1 + log 10 ( 354.2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\approx 1+\log _{10}(354).\,}

Teine kriitiline rakendus oli arvutuslaud, mis kujutas endast paari logaritmiliselt jagatud skaalat, mida kasutati arvutamiseks, nagu siin näidatud:

Numbrid on tähistatud libisevatel skaaladel nende logaritmide vahega proportsionaalselt. Ülemise skaala libistamine tähendab mehaanilist logaritmide liitmist. Näiteks, liites alumise skaala 1 ja 2 vahelise vahemaa ja ülemise skaala 1 ja 3 vahelise vahemaa, saadakse tulemuseks 6, mis loetakse alumisest osast. Paljud insenerid ja teadlased kasutasid kuni 1970. aastateni arvutuslükke. Teadlased saavad joonlaua abil töötada kiiremini kui logaritmtabeliga.