Luku tähenduses on arvu r n-nes juur see arv k, mis iseendaga n korda korrutades annab r. Teisisõnu, k on lahend võrrandile

k n = r {\displaystyle k^{n}=r} {\displaystyle k^{n}=r}

Seda kirjutatakse tavaliselt kujul r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}. Kui n = 2, räägime ruutjuurest; kui n = 3, räägime kuupjuurest. (Eksponentimise kohta loe lähemalt eksponentimine.)

Peamine (principal) juur ja märgiküsimused

Ruutjuure märgis √ (ilma ±) tähendab alati mittnegatiivset peajuurt. Näiteks √9 = 3, mitte ±3. Üldiselt:

  • Kui n on paarisarv, on reaalsete arvude kontekstis n-nes juur määratud ainult r ≥ 0 ja peajuur on mitte-negatiivne lahend.
  • Kui n on paaritu arv, on iga reaalarvul r üks reaalne n-nes juur (näiteks kuupjuur võib olla negatiivne: ∛(−8) = −2).
  • Negatiivsete radikaalide (r < 0) korral paarisindeksi puhul tuleb minna kompleksarvude hulka, kus juured on mitmekordsed ja kujutavad endas ka kompleksseid väärtusi.

Lihtsad näited

Näiteks

8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}, sest 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8}{\displaystyle 2^{3}=8}.

Radikaalide ja potentside teisendused

Radikaalide ja potentside vahel kehtib üldine teisendus

x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}} {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}.

Seda kasutatakse tihti, et muundada radikaalid murdudeks eksponentide kujul ja lihtsustada avaldisi. Näiteks √[3]{x^2} = x^{2/3} ja (√[4]{x})^3 = x^{3/4}.

Olulised omadused ja reeglid

Radikaalide puhul kehtivad mitmed kasulikud reeglid, kuid tuleb tähele panna tingimusi (eriti kui räägime reaalsetest juurtest):

  • Korrutisomadus: kui a ≥ 0 ja b ≥ 0, siis a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}}. Paarisarvuliste juurte puhul eeldatakse tavaliselt a ja b mittnegatiivseid, muidu võib võrduse kasutamine anda eksitavaid tulemusi reaalide hulgas.
  • Kvotiendi omadus: kui a ≥ 0 ja b > 0, siis a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}. Again, nõutavad on positiivsusreeglid reaaljuurte puhul.
  • Toote ja murdude astendamine: (√[n]{x})^n = x kehtib juhul kui x ≥ 0 (paarisn korral) või üldisemalt kui valime sobiva juure kompleksses tähenduses.
  • Ruutjuure mittnegatiivsus: √x ≥ 0 kui x ≥ 0; seega √x ei võta tavaliselt mõistet “±”.

Praktilised näpunäited ja lihtsustamine

  • Kuigi mõnikord võib näha väljendit ±√a, siis radikaali sümbol √ ilma ± tähistab alati positiivset juurt; ± esitab mõlemat võimalikku lahendit võrrandite kontekstis.
  • Kui radikaal asub nimetajas, kasutatakse sageli nimetaja ratsionaliseerimist. Näide: 1/√2 = √2/2. Seda tehakse, et eemaldada radikaal nimetajast kasutades mõlema poole korrutamist sobiva radikaaliga.
  • Paarisindeksi korral peab radikaali sees olev avaldis olema reaalsete juurte olemasoluks ≥ 0; vastasel juhul tuleb kasutada kompleksseid juurevõtteid.

Lisatud näited

  • Üks lihtne teisendus: √[4]{16} = (16)^{1/4} = 2, sest 2^4 = 16.
  • Ruutjuurede korrutamine: √(2) × √(8) = √(16) = 4 (siin mõlemad radikaalid on mittnegatiivsed, seega korrutisomadus kehtib).
  • Negatiivsete arvude puhul paarisarvulise indeksi juures ei saa reaalset juurt leida: example: √(−4) ei ole reaalne; kompleksarvudes on võimalikud juured ±2i.

Kokkuvõte

Radikaal (juur) on fundamentaalne murru- või eksponentaritüüpi teisenduste osa. Olulised punktid on:

  • radikaal väljendab arvu, mis astmel n annab antud radikaandi;
  • ruutjuur on peajuure näide ja oletab mittnegatiivset tulemust;
  • radikaalide teisendamine eksponentideks ja vastupidi on mugav ning kehtivad kindlad reeglid (nt {@link 32995 potentsid});
  • pange tähele tingimusi (positiivsus, paaris/paaritu indeks) enne omaduste rakendamist, et vältida valejäreldusi reaalsete arvude hulgas.

Kui soovite, võin lisada rohkem näiteid lihtsustamisest, nimetaja ratsionaliseerimisest või kompleksjuurte käsitlemisest.