Juur (matemaatika) – määratlus, ruutjuur, kuupjuur ja omadused

Luku tähenduses on arvu r n-nes juur see arv k, mis iseendaga n korda korrutades annab r. Teisisõnu, k on lahend võrrandile

k n = r {\displaystyle k^{n}=r} $k^{n}=r$

Seda kirjutatakse tavaliselt kujul r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} ${\sqrt[{n}]{r}}$ . Kui n = 2, räägime ruutjuurest; kui n = 3, räägime kuupjuurest. (Eksponentimise kohta loe lähemalt eksponentimine.)

Peamine (principal) juur ja märgiküsimused

Ruutjuure märgis √ (ilma ±) tähendab alati mittnegatiivset peajuurt. Näiteks √9 = 3, mitte ±3. Üldiselt:

Kui n on paarisarv, on reaalsete arvude kontekstis n-nes juur määratud ainult r ≥ 0 ja peajuur on mitte-negatiivne lahend.
Kui n on paaritu arv, on iga reaalarvul r üks reaalne n-nes juur (näiteks kuupjuur võib olla negatiivne: ∛(−8) = −2).
Negatiivsete radikaalide (r < 0) korral paarisindeksi puhul tuleb minna kompleksarvude hulka, kus juured on mitmekordsed ja kujutavad endas ka kompleksseid väärtusi.

Lihtsad näited

Näiteks

8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2} ${\sqrt[{3}]{8}}=2$ , sest 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} $2^{3}=8$ .

Radikaalide ja potentside teisendused

Radikaalide ja potentside vahel kehtib üldine teisendus

x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}} ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}$ .

Seda kasutatakse tihti, et muundada radikaalid murdudeks eksponentide kujul ja lihtsustada avaldisi. Näiteks √[3]{x^2} = x^{2/3} ja (√[4]{x})^3 = x^{3/4}.

Olulised omadused ja reeglid

Radikaalide puhul kehtivad mitmed kasulikud reeglid, kuid tuleb tähele panna tingimusi (eriti kui räägime reaalsetest juurtest):

Korrutisomadus: kui a ≥ 0 ja b ≥ 0, siis a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ . Paarisarvuliste juurte puhul eeldatakse tavaliselt a ja b mittnegatiivseid, muidu võib võrduse kasutamine anda eksitavaid tulemusi reaalide hulgas.
Kvotiendi omadus: kui a ≥ 0 ja b > 0, siis a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ . Again, nõutavad on positiivsusreeglid reaaljuurte puhul.
Toote ja murdude astendamine: (√[n]{x})^n = x kehtib juhul kui x ≥ 0 (paarisn korral) või üldisemalt kui valime sobiva juure kompleksses tähenduses.
Ruutjuure mittnegatiivsus: √x ≥ 0 kui x ≥ 0; seega √x ei võta tavaliselt mõistet “±”.

Praktilised näpunäited ja lihtsustamine

Kuigi mõnikord võib näha väljendit ±√a, siis radikaali sümbol √ ilma ± tähistab alati positiivset juurt; ± esitab mõlemat võimalikku lahendit võrrandite kontekstis.
Kui radikaal asub nimetajas, kasutatakse sageli nimetaja ratsionaliseerimist. Näide: 1/√2 = √2/2. Seda tehakse, et eemaldada radikaal nimetajast kasutades mõlema poole korrutamist sobiva radikaaliga.
Paarisindeksi korral peab radikaali sees olev avaldis olema reaalsete juurte olemasoluks ≥ 0; vastasel juhul tuleb kasutada kompleksseid juurevõtteid.

Lisatud näited

Üks lihtne teisendus: √[4]{16} = (16)^{1/4} = 2, sest 2^4 = 16.
Ruutjuurede korrutamine: √(2) × √(8) = √(16) = 4 (siin mõlemad radikaalid on mittnegatiivsed, seega korrutisomadus kehtib).
Negatiivsete arvude puhul paarisarvulise indeksi juures ei saa reaalset juurt leida: example: √(−4) ei ole reaalne; kompleksarvudes on võimalikud juured ±2i.

Kokkuvõte

Radikaal (juur) on fundamentaalne murru- või eksponentaritüüpi teisenduste osa. Olulised punktid on:

radikaal väljendab arvu, mis astmel n annab antud radikaandi;
ruutjuur on peajuure näide ja oletab mittnegatiivset tulemust;
radikaalide teisendamine eksponentideks ja vastupidi on mugav ning kehtivad kindlad reeglid (nt {@link 32995 potentsid});
pange tähele tingimusi (positiivsus, paaris/paaritu indeks) enne omaduste rakendamist, et vältida valejäreldusi reaalsete arvude hulgas.

Kui soovite, võin lisada rohkem näiteid lihtsustamisest, nimetaja ratsionaliseerimisest või kompleksjuurte käsitlemisest.

See on y = x 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}} $y={\sqrt[{3}]{x}}$ . See on kuupjuur.

See on graafik y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}} $y={\sqrt {x}}$ . See on ruutjuur.

Lihtsustamine

See on näide radikaali lihtsustamise kohta.

8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 {\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}} ${\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$

Kui kaks radikaali on samad, saab neid ühendada. See on siis, kui mõlemad indeksid ja radikaalid on samad.

2 2 + 1 2 = 3 2 {\displaystyle 2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}} $2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}$

2 7 3 - 6 7 3 = - 4 7 3 {\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}}} $2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}$

Nii leiate täiusliku ruudu ja ratsionaliseerite nimetaja.

8 x x 3 = 8 x x x = 8 x = 8 x × x x = 8 x x 2 = 8 x x {\displaystyle {\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}}} ${\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}$

Seotud leheküljed

Ratsionaliseerimine (matemaatika)

Küsimused ja vastused

Küsimus: Mis on n-ne juur?

V: Luku r n-nes juur on arv, mis iseendaga n korda korrutades annab arvu r.

K: Kuidas kirjutatakse n-ndat juurt?

V: Luku r n-ndat juurt kirjutatakse kujul r^(1/n).

K: Millised on mõned näited juurtest?

V: Kui indeks (n) on 2, siis on radikaalne väljend ruutjuur. Kui see on 3, siis on tegemist kuupjuurega. Teistele n väärtustele viidatakse ordinaalarvude abil, näiteks neljas juur ja kümnes juur.

K: Mida ütleb radikaalavaldise produktide omadus?

V: Radikaalavaldise produktomadus ütleb, et sqrt(ab) = sqrt(a) x sqrt(b).

K: Mida väidab radikaalavaldise kvotiendi omadus?

V: Radikaalavaldise kvotiendi omadus ütleb, et sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b)), kus b != 0.

K: Milliseid teisi mõisteid võib kasutada n-ndale juurele viitamiseks?

V: N-ndat juurt võib nimetada ka radikaalseks või radikaalseks avaldiseks.