Ruutnumber
Ruutarv, mida mõnikord nimetatakse ka täiuslikuks ruuduks, on täisarvu tulemus, mis on korrutatud iseendaga. 1, 4, 9, 16 ja 25 on esimesed viis ruutu. Valemis tähistatakse arvu n ruutu n2 (eksponentimine), mida tavaliselt hääldatakse kui "n ruutu". Ruutarvu nimetus tuleneb kuju nimest; vt allpool.
Ruutarvud on mittenegatiivsed. Teine viis öelda, et (mittenegatiivne) arv on ruutarv, on see, et selle ruutjuur on jälle täisarv. Näiteks √9 = 3, seega on 9 ruutarv.
Näited
Ruudud (järjestus A000290 OEISis), mis on väiksemad kui 702 :
102 =100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600
612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
Ruutarve on lõpmatult palju, nagu on lõpmatult palju naturaalarvusid.
Omadused
Arv m on ruuduline arv, kui ja ainult siis, kui saab moodustada ruudu m võrdsest (väiksemast) ruudust:
| m = 12 = 1 |
|
| m = 22 = 4 |
|
| m = 32 = 9 |
|
| m = 42 = 16 |
|
| m = 52 = 25 |
|
| Märkus: Valged tühikud ruutude vahel on mõeldud ainult visuaalse tajumise parandamiseks. | |
Ruudu, mille küljepikkus on n, pindala on n . 2
Väljend n-ndale ruuduarvule on n2 . See on võrdne ka esimeste n paaritu arvu summaga, nagu on näha ülaltoodud piltidel, kus ruut tuleneb eelmisest punktide paaritu arvu liitmisel (näidatud magenta värviga). Järgneb valem:
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } 
Nii näiteks 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Ruutarv võib lõppeda ainult numbritega 0, 1, 4, 6, 9 või 25 baasil 10 järgmiselt:
- Kui numbri viimane number on 0, lõpeb selle ruut paarisarvuliste 0-ga (seega vähemalt 00) ja lõpu 0-le eelnevad numbrid peavad samuti moodustama ruudu.
- Kui arvu viimane number on 1 või 9, siis lõpeb selle ruut 1ga ja eelnevate numbrite abil moodustatud arv peab olema jagatav neljaga.
- Kui arvu viimane number on 2 või 8, siis lõpeb selle ruut 4 ja eelnev number peab olema paariline.
- Kui arvu viimane number on 3 või 7, siis lõpeb selle ruut 9-ga ja eelnevate numbrite abil moodustatud arv peab olema jagatav neljaga.
- Kui arvu viimane number on 4 või 6, siis lõpeb selle ruut 6 ja eelnev number peab olema paaritu.
- Kui numbri viimane number on 5, lõpeb selle ruut 25-ga ja eelnevad numbrid peavad olema 0, 2, 06 või 56.
Ruutarv ei saa olla täiuslik arv.
Kõik neljandad, kuuendad, kaheksandad ja nii edasi on täiuslikud ruudud.
Erijuhtumid
- Kui arv on kujul m5, kus m tähistab eelnevaid numbreid, on selle ruut n25, kus n = m × (m + 1) ja tähistab numbreid enne 25. Näiteks 65 ruutu saab arvutada järgmiselt: n = 6 × (6 + 1) = 42, mis teeb ruudu võrdseks 4225-ga.
- Kui arv on kujul m0, kus m tähistab eelnevaid numbreid, on selle ruut n00, kus n = m2 . Näiteks 70 ruut on 4900.
- Kui arv on kahekohaline ja on kujul 5m, kus m tähistab ühiku numbrit, on selle ruut AABB, kus AA = 25 + m ja BB = m2 . Näide: Kui arvutada 57 ruutu, siis 25 + 7 = 32 ja 72 = 49, mis tähendab 572 = 3249.
Paaritu ja paaritu ruuduarvud
Paarisarvude ruudud on paarilised (ja tegelikult jagatavad 4ga), sest (2n)2 = 4n2 .
Paaritu arvu ruut on paaritu, sest (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Sellest järeldub, et paariliste ruutarvude ruutjuured on paarilised ja paaritute ruutarvude ruutjuured on paaritu.
Kuna kõik paarilised ruudulised arvud on jagatavad 4ga, siis ei ole paarilised arvud kujul 4n + 2 ruudulised arvud.
Kuna kõik paaritu ruutarvud on kujul 4n + 1, siis paaritu arvud kujul 4n + 3 ei ole ruutarvud.
Paaritu arvu ruut on kujul 8n + 1, sest (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 ja n(n + 1) on paariline arv.
