Ruutarv, mida mõnikord nimetatakse ka täiuslikuks ruuduks, on täisarvu tulemus, mis on korrutatud iseendaga. Näiteks on 1, 4, 9, 16 ja 25 esimesed viis ruutu. Arvu n ruutu tähistatakse valemiga n2 (vt eksponentimist), mida tavaliselt hääldatakse kui "n ruutu". Nimi tuleneb geomeetriast: ruutarv näitab ruudu külje pikkuse n korral ruudu pindala.

Ruutarvud on mittnegatiivsed: null on samuti ruutarv, sest 0 = 02. Kuigi negatiivsete arvude ruudud on positiivsed (näiteks (-3)2 = 9), loetakse ruutarvudeks tavaliselt mittnegatiivseid tulemusi. Teine viis öelda, et arv on ruutarv, on see, et selle ruutjuur on täisarv: näiteks √9 = 3, seega on 9 ruutarv.

Põhiomadused

  • Valem: iga täisarvu n ruut on n2.
  • Negatiivsed ja positiivsed: nii positiivsete kui ka negatiivsete täisarvude ruudud on mittnegatiivsed ja vastavad samadele ruutarvudele (nt 32=9 ja (-3)2=9).
  • Järjestus: ruutude järjestus kasvab kiiresti: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
  • Erinevus kahe järjestikuse ruudu vahel: (n+1)2 − n2 = 2n + 1 — seega on kahe järjestikuse ruudu vahe alati paaritu arv.
  • Summa: esimeste n naturaalarvude ruutude summa on n(n+1)(2n+1)/6.
  • Faktorisatsioon: arvu ruutarvuks olemiseks peab tema algtegurite eksponentide kõik olema paarisarvud (nt 36 = 22·32 on ruutarv, 18 = 2·32 ei ole).

Kiirtestid ja modulaaromadused

  • Viimase numbri kontroll (10-põhja): täisperioodilise kümnendsüsteemi ruudud võivad lõppeda ainult numbritega 0, 1, 4, 5, 6 või 9. Kui arv lõpeb mõne teise numbriga, ei ole ta ruutarv.
  • Ruudud mooduli 4: iga täisarvu ruut jagatuna 4-ga annab jäägi 0 või 1. See on lihtne kontroll näiteks võrrandite lahendamisel.
  • Algteguri-eksponeerimine: kontrollige arvu primaarefaktoritest: kui mõne primaalsegendi eksponent on paaritu, ei ole tegu ruutarvuga.
  • Lõplik täpsus: suure arvu puhul saab kiire testida täisruudu olemist arvutades täisarvuline ruutjuur (näiteks programmeerimises) ja kontrollides, kas selle ruut võrdub algse arvuga.

Näited

  • Väiksemad ruutude näited: 0 = 02, 1 = 12, 4 = 22, 9 = 32, 16 = 42, 25 = 52, 36 = 62.
  • Suurem näide: 49 = 72, 100 = 102, 144 = 122.
  • Ei-ruut: 50 ei ole ruutarv, sest minna ei saa täisarvulisele ruutjuurele (√50 ≈ 7,071...).
  • Eraldi tähelepanek: kaks erinevat täisarvu võivad anda sama ruutu (näiteks 32 ja (-3)2 mõlemad annavad 9), seetõttu räägitakse täisarvu ruudust tavaliselt mittnegatiivse ruutjuure kaudu).

Kasutusvaldkonnad ja seotud mõisted

  • Ruutarve kasutatakse geomeetrias pindalade arvutamisel, eriti kvadraatpindade puhul.
  • Numberite teoorias on ruutarvud tähtsad kvadratiivsete jäägiklasside, Diophantose võrrandite ja ruutvabade arvude uurimisel.
  • Arvutites ja programmeerimises kasutatakse täisruutude tuvastamist näiteks andmete valideerimisel ja optimeerimistehnikates.

Sisuline kokkuvõte: ruutarv on täisarvu korrutis iseendaga, tavaliselt tähistatud n2. Need arvud on mittnegatiivsed, neil on kindlad modulaarsed omadused ja lihtsad kontrollimeetodid (ruutjuure võtmine või primaartegurite pariteet). Ruutarvud ilmnevad paljudes matemaatika ja rakenduste valdkondades.