Ruutnumber (ruutarv): definitsioon, omadused ja näited

Ruutarv, mida mõnikord nimetatakse ka täiuslikuks ruuduks, on täisarvu tulemus, mis on korrutatud iseendaga. Näiteks on 1, 4, 9, 16 ja 25 esimesed viis ruutu. Arvu n ruutu tähistatakse valemiga n2 (vt eksponentimist), mida tavaliselt hääldatakse kui "n ruutu". Nimi tuleneb geomeetriast: ruutarv näitab ruudu külje pikkuse n korral ruudu pindala.

Ruutarvud on mittnegatiivsed: null on samuti ruutarv, sest 0 = 02. Kuigi negatiivsete arvude ruudud on positiivsed (näiteks (-3)2 = 9), loetakse ruutarvudeks tavaliselt mittnegatiivseid tulemusi. Teine viis öelda, et arv on ruutarv, on see, et selle ruutjuur on täisarv: näiteks √9 = 3, seega on 9 ruutarv.

Põhiomadused

  • Valem: iga täisarvu n ruut on n2.
  • Negatiivsed ja positiivsed: nii positiivsete kui ka negatiivsete täisarvude ruudud on mittnegatiivsed ja vastavad samadele ruutarvudele (nt 32=9 ja (-3)2=9).
  • Järjestus: ruutude järjestus kasvab kiiresti: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
  • Erinevus kahe järjestikuse ruudu vahel: (n+1)2 − n2 = 2n + 1 — seega on kahe järjestikuse ruudu vahe alati paaritu arv.
  • Summa: esimeste n naturaalarvude ruutude summa on n(n+1)(2n+1)/6.
  • Faktorisatsioon: arvu ruutarvuks olemiseks peab tema algtegurite eksponentide kõik olema paarisarvud (nt 36 = 22·32 on ruutarv, 18 = 2·32 ei ole).

Kiirtestid ja modulaaromadused

  • Viimase numbri kontroll (10-põhja): täisperioodilise kümnendsüsteemi ruudud võivad lõppeda ainult numbritega 0, 1, 4, 5, 6 või 9. Kui arv lõpeb mõne teise numbriga, ei ole ta ruutarv.
  • Ruudud mooduli 4: iga täisarvu ruut jagatuna 4-ga annab jäägi 0 või 1. See on lihtne kontroll näiteks võrrandite lahendamisel.
  • Algteguri-eksponeerimine: kontrollige arvu primaarefaktoritest: kui mõne primaalsegendi eksponent on paaritu, ei ole tegu ruutarvuga.
  • Lõplik täpsus: suure arvu puhul saab kiire testida täisruudu olemist arvutades täisarvuline ruutjuur (näiteks programmeerimises) ja kontrollides, kas selle ruut võrdub algse arvuga.

Näited

  • Väiksemad ruutude näited: 0 = 02, 1 = 12, 4 = 22, 9 = 32, 16 = 42, 25 = 52, 36 = 62.
  • Suurem näide: 49 = 72, 100 = 102, 144 = 122.
  • Ei-ruut: 50 ei ole ruutarv, sest minna ei saa täisarvulisele ruutjuurele (√50 ≈ 7,071...).
  • Eraldi tähelepanek: kaks erinevat täisarvu võivad anda sama ruutu (näiteks 32 ja (-3)2 mõlemad annavad 9), seetõttu räägitakse täisarvu ruudust tavaliselt mittnegatiivse ruutjuure kaudu).

Kasutusvaldkonnad ja seotud mõisted

  • Ruutarve kasutatakse geomeetrias pindalade arvutamisel, eriti kvadraatpindade puhul.
  • Numberite teoorias on ruutarvud tähtsad kvadratiivsete jäägiklasside, Diophantose võrrandite ja ruutvabade arvude uurimisel.
  • Arvutites ja programmeerimises kasutatakse täisruutude tuvastamist näiteks andmete valideerimisel ja optimeerimistehnikates.

Sisuline kokkuvõte: ruutarv on täisarvu korrutis iseendaga, tavaliselt tähistatud n2. Need arvud on mittnegatiivsed, neil on kindlad modulaarsed omadused ja lihtsad kontrollimeetodid (ruutjuure võtmine või primaartegurite pariteet). Ruutarvud ilmnevad paljudes matemaatika ja rakenduste valdkondades.

Näited

Ruudud (järjestus A000290 OEISis), mis on väiksemad kui 702 :

02 =0

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25

62 = 36

72 = 49

82 = 64

92 = 81

102 =100

112 = 121

122 = 144

132 = 169

142 = 196

152 = 225

162 = 256

172 = 289

182 = 324

192 = 361

202 = 400

212 = 441

222 = 484

232 = 529

242 = 576

252 = 625

262 = 676

272 = 729

282 = 784

292 = 841

302 = 900

312 = 961

322 = 1024

332 = 1089

342 = 1156

352 = 1225

362 = 1296

372 = 1369

382 = 1444

392 = 1521

402 = 1600

412 = 1681

422 = 1764

432 = 1849

442 = 1936

452 = 2025

462 = 2116

472 = 2209

482 = 2304

492 = 2401

502 = 2500

512 = 2601

522 = 2704

532 = 2809

542 = 2916

552 = 3025

562 = 3136

572 = 3249

582 = 3364

592 = 3481

602 = 3600

612 = 3721

622 = 3844

632 = 3969

642 = 4096

652 = 4225

662 = 4356

672 = 4489

682 = 4624

692 = 4761

Ruutarve on lõpmatult palju, nagu on lõpmatult palju naturaalarvusid.

Omadused

Arv m on ruuduline arv, kui ja ainult siis, kui saab moodustada ruudu m võrdsest (väiksemast) ruudust:

m = 12 = 1

m = 22 = 4

m = 32 = 9

m = 42 = 16

m = 52 = 25

Märkus: Valged tühikud ruutude vahel on mõeldud ainult visuaalse tajumise parandamiseks.
Tegelike ruutude vahel ei tohi olla tühikuid.

Ruudu, mille küljepikkus on n, pindala on n . 2

Väljend n-ndale ruuduarvule on n2 . See on võrdne ka esimeste n paaritu arvu summaga, nagu on näha ülaltoodud piltidel, kus ruut tuleneb eelmisest punktide paaritu arvu liitmisel (näidatud magenta värviga). Järgneb valem:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}

Nii näiteks 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Ruutarv võib lõppeda ainult numbritega 0, 1, 4, 6, 9 või 25 baasil 10 järgmiselt:

  1. Kui numbri viimane number on 0, lõpeb selle ruut paarisarvuliste 0-ga (seega vähemalt 00) ja lõpu 0-le eelnevad numbrid peavad samuti moodustama ruudu.
  2. Kui arvu viimane number on 1 või 9, siis lõpeb selle ruut 1ga ja eelnevate numbrite abil moodustatud arv peab olema jagatav neljaga.
  3. Kui arvu viimane number on 2 või 8, siis lõpeb selle ruut 4 ja eelnev number peab olema paariline.
  4. Kui arvu viimane number on 3 või 7, siis lõpeb selle ruut 9-ga ja eelnevate numbrite abil moodustatud arv peab olema jagatav neljaga.
  5. Kui arvu viimane number on 4 või 6, siis lõpeb selle ruut 6 ja eelnev number peab olema paaritu.
  6. Kui numbri viimane number on 5, lõpeb selle ruut 25-ga ja eelnevad numbrid peavad olema 0, 2, 06 või 56.

Ruutarv ei saa olla täiuslik arv.

Kõik neljandad, kuuendad, kaheksandad ja nii edasi on täiuslikud ruudud.

Erijuhtumid

  • Kui arv on kujul m5, kus m tähistab eelnevaid numbreid, on selle ruut n25, kus n = m × (m + 1) ja tähistab numbreid enne 25. Näiteks 65 ruutu saab arvutada järgmiselt: n = 6 × (6 + 1) = 42, mis teeb ruudu võrdseks 4225-ga.
  • Kui arv on kujul m0, kus m tähistab eelnevaid numbreid, on selle ruut n00, kus n = m2 . Näiteks 70 ruut on 4900.
  • Kui arv on kahekohaline ja on kujul 5m, kus m tähistab ühiku numbrit, on selle ruut AABB, kus AA = 25 + m ja BB = m2 . Näide: Kui arvutada 57 ruutu, siis 25 + 7 = 32 ja 72 = 49, mis tähendab 572 = 3249.

Paaritu ja paaritu ruuduarvud

Paarisarvude ruudud on paarilised (ja tegelikult jagatavad 4ga), sest (2n)2 = 4n2 .

Paaritu arvu ruut on paaritu, sest (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

Sellest järeldub, et paariliste ruutarvude ruutjuured on paarilised ja paaritute ruutarvude ruutjuured on paaritu.

Kuna kõik paarilised ruudulised arvud on jagatavad 4ga, siis ei ole paarilised arvud kujul 4n + 2 ruudulised arvud.

Kuna kõik paaritu ruutarvud on kujul 4n + 1, siis paaritu arvud kujul 4n + 3 ei ole ruutarvud.

Paaritu arvu ruut on kujul 8n + 1, sest (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 ja n(n + 1) on paariline arv.


AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3