Arv

Numeratsioonimeetodid

Numbrid inimeste jaoks

Numbrite sümboliseerimiseks on erinevaid viise. Neid meetodeid nimetatakse numbrisüsteemideks. Kõige tavalisem arvusüsteem, mida inimesed kasutavad, on kümnenda baasi arvusüsteem. Kümnenda baasil põhinevat arvusüsteemi nimetatakse ka kümnendaalseks arvusüsteemiks. Kümnenda baasi arvusüsteem on levinud, sest inimestel on kümme sõrme ja kümme varvast. Baaskümnendsüsteemis kasutatakse 10 erinevat sümbolit {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9}. Neid kümmet sümbolit nimetatakse numbriteks.

Numbri sümbol koosneb neist kümnest numbrist. Numbrite asukoht näitab, kui suur on arv. Näiteks arv 23 tähendab kümnendarvusüsteemis tegelikult (2 korda 10) pluss 3 ja 101 tähendab 1 korda sada (=100) pluss 0 korda 10 (=0) pluss 1 korda 1 (=1).

Masinate numbrid

Teine numbrite süsteem on masinate puhul tavalisem. Masinate arvusüsteemi nimetatakse binaarseks arvusüsteemiks. Binaarset arvusüsteemi nimetatakse ka teise baasi arvusüsteemiks. Kahebaasilises arvusüsteemis kasutatakse kahte erinevat sümbolit (0 ja 1). Neid kahte sümbolit nimetatakse bittideks.

Binaararvu sümbol koosneb neist kahest bittisümbolist. Bitsümbolite asukoht näitab, kui suur on arv. Näiteks arv 10 tähendab binaarvõrrandisüsteemis tegelikult 1 korda 2 pluss 0 ja 101 tähendab 1 korda neli (=4) pluss 0 korda kaks (=0) pluss 1 korda 1 (=1). Binaararv 10 on sama, mis kümnendarv 2. Binaarvõrrand 101 on sama, mis kümnendarv 5.

Numbrite nimed

Inglise keeles on mõnedele kümnendsüsteemi arvudele, mis on "kümnendi potensused", erilised nimed. Kõik need kümnendsüsteemi kümnendsüsteemi numbrid kasutavad ainult sümbolit "1" ja sümbolit "0". Näiteks kümme kümme on sama, mis kümme korda kümme ehk sada. Sümbolites on see "10 × 10 = 100". Samuti on kümme sada sama, mis kümme korda sada ehk tuhat. Sümbolites on see "10 × 100 = 10 × 10 × 10 = 1000". Ka mõnedel teistel kümnesse ulatuvatel arvudel on erilised nimed:

• 1 - üks
• 10 - kümme
• 100 - sada
• 1000 - tuhat
• 1,000,000 - üks miljon

Kui tegemist on suuremate numbritega, siis on kaks erinevat viisi numbrite nimetamiseks inglise keeles. "Pika skaala" kohaselt antakse uus nimi iga kord, kui arv on miljon korda suurem kui viimati nimetatud arv. Seda nimetatakse ka "Briti standardiks". See skaala oli varem Suurbritannias levinud, kuid tänapäeval ei kasutata seda ingliskeelsetes riikides sageli. Mõnes teises Euroopa riigis kasutatakse seda endiselt. Teine skaala on "lühike skaala", mille kohaselt antakse uus nimi iga kord, kui arv on tuhat korda suurem kui viimati nimetatud arv. See skaala on tänapäeval enamikus ingliskeelsetes riikides palju rohkem levinud.

• 1,000,000,000 - üks miljard (lühike skaala), üks miljard (pikk skaala)
• 1,000,000,000,000 - üks triljon (lühike skaala), üks miljard (pikk skaala)
• 1,000,000,000,000,000,000 - üks kvadriljon (lühike skaala), üks miljard (pikk skaala)

Numbrite tüübid

Loomulikud arvud

Loomulikud arvud on arvud, mida me tavaliselt kasutame lugemiseks: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 jne. Mõned inimesed ütlevad, et ka 0 on loomulik arv.

Nende numbrite teine nimetus on positiivsed arvud. Neid numbreid kirjutatakse mõnikord +1, et näidata, et nad erinevad negatiivsetest numbritest. Kuid kõik positiivsed arvud ei ole loomulikud (näiteks 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} on positiivne, kuid mitte loomulik).

Kui 0 nimetatakse loomulikuks arvuks, siis on loomulikud arvud samad kui täisarvud. Kui 0 ei nimetata loomulikuks arvuks, siis on loomulikud arvud samad kui loendavad arvud. Seega, kui sõnu "loomulikud arvud" ei kasutata, siis tekib vähem segadust, kas nulliga on tegemist või mitte. Aga kahjuks ütlevad mõned, et ka null ei ole täisarv, ja mõned ütlevad, et täisarvud võivad olla negatiivsed. "Positiivsed täisarvud" ja "mittenegatiivsed täisarvud" on teine võimalus nulli kaasamiseks või nulli välistamiseks, kuid ainult siis, kui inimesed teavad neid sõnu.

Negatiivsed numbrid

Negatiivsed arvud on arvud, mis on väiksemad kui null.

Üks viis negatiivsetest arvudest mõtlemiseks on kasutada arvjoonist. Nimetame selle joone üht punkti nulliga. Seejärel tähistame (kirjutame nime) iga positsiooni joonel sellega, kui kaugel nullist paremal on see punkt, näiteks punkt üks on üks sentimeeter paremal, punkt kaks on kaks sentimeetrit paremal.

Mõelge nüüd punktile, mis asub nullpunktist ühe sentimeetri võrra vasakul. Me ei saa seda punkti nimetada üheks, sest juba on olemas punkt nimega üks. Seepärast nimetame seda punkti miinus 1 (-1) (kuna see on ühe sentimeetri kaugusel, kuid vastupidises suunas).

Allpool on joonis arvjoonest.

Kõiki tavalisi matemaatika operatsioone saab teha negatiivsete arvudega:

Kui inimesed lisavad teisele arvule negatiivse arvu, on see sama, kui võtta ära sama arvuga positiivne arv. Näiteks 5 + (-3) on sama, mis 5 - 3, ja võrdub 2.

Kui nad võtavad teiselt arvult negatiivse arvu ära, on see sama, mis positiivse arvu lisamine samade numbritega. Näiteks 5 - (-3) on sama, mis 5 + 3 ja võrdub 8-ga.

Kui nad korrutavad kaks negatiivset arvu kokku, saavad nad positiivse arvu. Näiteks -5 korda -3 on 15.

Kui nad korrutavad negatiivse arvu positiivse arvuga või korrutavad positiivse arvu negatiivse arvuga, saavad nad negatiivse tulemuse. Näiteks 5 korda -3 on -15.

Kuna negatiivse arvu ruutjuure leidmine on võimatu, sest negatiivne kord negatiivne võrdub possitve. Simboliseerime negatiivse arvu ruutjuurt kui i.

Tervikud

Tervikud on kõik naturaalarvud, kõik nende vasted ja number null. Kümnendarvud ja murdarvud ei ole täisarvud.

Ratsionaalarvud

Ratsionaalarvud on arvud, mida saab kirjutada murdudega. See tähendab, et neid saab kirjutada kui a jagatuna b-ga, kus arvud a ja b on täisarvud ja b ei ole võrdne 0-ga.

Mõned ratsionaalarvud, näiteks 1/10, vajavad kümnendmurru kirjutamiseks piiratud arvu numbreid pärast koma. Arv üks kümnendik kirjutatakse kümnendmurdes kui 0,1. Lõppkümnendiga kirjutatud arvud on ratsionaalarvud. Mõned ratsionaalarvud, näiteks 1/11, vajavad kümnendmurde kirjutamiseks lõpmatu arvu numbreid pärast koma. Kümnendmurru järgnevad numbrid on korduvad. Arv üks üheteistkümnendik kirjutatakse kümnendmurdes kui 0,090909090909 ... ... .

Protsenti võib nimetada ratsionaalarvuks, sest sellist protsenti nagu 7% saab kirjutada murdarvuna 7/100. Seda saab kirjutada ka kümnendmurruna 0,07. Mõnikord peetakse suhtarvu ratsionaalarvuks.

Irratsionaalsed arvud

Irratsionaalsed arvud on arvud, mida ei saa kirjutada murdudega, kuid millel ei ole kujuteldavaid osi (selgitatakse hiljem).

Irratsionaalsed arvud esinevad sageli geomeetrias. Näiteks kui meil on ruut, mille küljed on 1 meeter, siis on vastanduvate nurkade vaheline kaugus ruutjuur kahest, mis on 1,414213 ... . See on irratsionaalne arv. Matemaatikud on tõestanud, et iga naturaalarvu ruutjuur on kas täisarv või irratsionaalne arv.

Üks tuntud irratsionaalne arv on pi. See on ringi ümbermõõt (ümberringi pikkus), mis jagatakse selle läbimõõduga (läbilõikega). See arv on iga ringi puhul sama. Arv pi on ligikaudu 3,1415926535 ... .

Irratsionaalset arvu ei saa täies ulatuses kümnendarvuna kirja panna. Sellel oleks pärast koma lõppu lõpmatu arv numbreid. Erinevalt 0,333333 ... ei korduks need numbrid igavesti.

Reaalarvud

Reaalarvud on kõigi eespool loetletud arvude kogumite nimetus:

• Ratsionaalarvud, sealhulgas täisarvud
• Irratsionaalsed arvud

See on kõik arvud, mis ei sisalda kujuteldavaid numbreid.

Kujutlusarvud

Kujutlusarvud moodustatakse reaalarvude korrutamisel arvuga i. See arv on ruutjuur miinus ühest (-1).

Reaalarvudes ei ole ühtegi arvu, mille ruutu moodustades oleks arv -1. Seetõttu leiutasid matemaatikud ühe arvu. Nad nimetasid selle arvu i ehk kujuteldavaks ühikuks.

Kujutlusarvud toimivad samade reeglite järgi kui reaalarvud:

• Kahe kujuteldava arvu summa leitakse, kui i välja tõmmata (faktoriseerida). Näiteks 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Kahe kujuteldava arvu vahe leitakse sarnaselt. Näiteks 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Kahe kujuteldava arvu korrutamisel tuleb meeles pidada, et i × i (i ²) on -1. Näiteks 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Kujutlusarvu nimetati kujuteldavaks, sest kui need esimest korda leiti, arvasid paljud matemaatikud, et neid ei ole olemas.^[]Isik, kes avastas kujuteldavad arvud, oli Gerolamo Cardano 1500. aastatel. Esimesena kasutas sõnu imaginaararv oli René Descartes. Esimesed inimesed, kes kasutasid neid arvusid, olid Leonard Euler ja CarlFriedrich Gauss. Mõlemad elasid 18. sajandil.

Kompleksarvud

Kompleksarvud on arvud, millel on kaks osa: reaalosa ja kujuteldav osa. Iga eespool kirjutatud arvutüüp on ka kompleksarv.

Kompleksarvud on arvude üldisem vorm. Kompleksarvud saab joonistada arvutasandile. See koosneb reaalarvude joonest ja kujuteldavate arvude joonest.

                      3i|_ | | 2i|_ . 2+2i | | | i|_ | |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | | .-2-2i -2i|_ | | | -3i|_ |

Kogu tavalist matemaatikat saab teha kompleksarvudega:

• Kahe kompleksarvu liitmiseks liidetakse reaal- ja kujuteldav osa eraldi. Näiteks (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Ühe kompleksarvu lahutamiseks teisest lahutatakse reaal- ja kujuteldav osa eraldi. Näiteks (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Kahe kompleksarvu korrutamine on keeruline. Kõige lihtsam on seda kirjeldada üldiselt kahe kompleksarvu a + bi ja c + di abil.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} ) +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Näiteks (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Transtsendentsed arvud

Reaal- või kompleksarvu nimetatakse transtsendentaalseks arvuks, kui seda ei saa saada täisarvuliste koefitsientidega algebralise võrrandi tulemusena.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Tõendada, et teatud arv on transtsendentaalne, võib olla äärmiselt keeruline. Iga transtsendentaalne arv on ka irratsionaalne arv. Esimesed inimesed, kes nägid, et on olemas transtsendentaalarvud, olid Gottfried Wilhelm Leibniz ja Leonhard Euler. Esimene, kes tegelikult tõestas, et on olemas transtsendentaalarvud, oli Joseph Liouville. Ta tegi seda 1844. aastal.

Tuntud transtsendentaalarvud:

• e
• π
• e^a algebralise a ≠ 0 puhul
• 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}

√2 on irratsionaalne.