Kompleksarv on arv, mis koosneb kahest osast: reaalosast ja kujuteldavast osast. Tavapäraselt kirjutatakse kompleksarv kujul a + b i {\displaystyle a+bi} 
, kus a on reaalarv (kompleksarvu reaalosa) ja b on reaalarv, millele on korrutatud kujuteldav ühik i {\displaystyle i}
. Selle tähenduseks on, et i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ }. 
Vorm ja tähistused
Iga kompleksarv z {\displaystyle z}
võib olla esitatud kas kujul a+bi {\displaystyle a+bi} või järjestatud paari kujul (a, b), kus a, b ∈ ℝ. Reaalosa ja kujuteldava osa tähistamiseks kasutatakse sageli
- ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)}
või Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)} - ja ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
või Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
Seega, kui z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, siis a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
ja b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)}
. Iga reaalarv on eriline juhtum kompleksarvude hulgas: selle kujuteldav osa on null (ℑ(z)=0).
Põhioperatsioonid ja omadused
Kompleksarvudega kehtivad samad põhiaritmeetilised operatsioonid kui reaalarvudega: liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Näiteks, kui z1 = a+bi ja z2 = c+di, siis
- liitmine: z1+z2 = (a+c) + (b+d)i
- lahutamine: z1−z2 = (a−c) + (b−d)i
- korrutamine: z1·z2 = (ac−bd) + (ad+bc)i
- jagamine: z1 / z2 = ((a+bi)(c−di)) / (c^2+d^2) = ((ac+bd) + (bc−ad)i) / (c^2+d^2)
Kompleksarvude hulk kuulub algebra põhitunnustele: see on kommutatiivne ja assotsiatiivne liitmise ja korrutamise suhtes, ning korrutamine on distributiivne liitmise suhtes. Kompleksarvud moodustavad välja (field) ning selle peamine eripära reaalarvudega võrreldes on see, et negatiivsetel arvudel on kujuteldav ruutjuur: puudub reaalne x, mille x^2 = -1, kuid kompleksarvude hulgas on i {\displaystyle i}, sest i^{2}=-1 .
Geomeetriline tõlgendus ja modul
Kompleksarve saab märkida koordinaattasandil punktina (a,b). See on kasulik, sest siis kehtivad geomeetrilised tõlgendused: kujuteldav telg on vertikaalne ja reaalne telg horisontaalne. Kompleksarvu absoluutväärtus ehk modul on
|z| = sqrt(a^2 + b^2), mis annab punktini (a,b) kauguse alguspunktist. Kompleksarvu konjugaat (komplekskaaslane) on z̄ = a − b i ja selle abil saab kirjutada |z|^2 = z·z̄ = a^2 + b^2.
Polaar- ja eksponentvorm
Kompleksarvu saab esitada ka polaar- või eksponentvormis. Kui r = |z| ja φ on argumendi ehk nurga väärtus, siis
z = r (cos φ + i sin φ). Sellel põhineb ka Euler'i valem, mille abil kasutatakse ekspontentsiaalvormi: z = r e^{iφ}. See vorm on eriti mugav korrutamisel ja jagamisel: arg(z1·z2) = arg z1 + arg z2 ja |z1·z2| = |z1|·|z2|.
Ajaloost ja tähistustest
Kompleksarvude idee tekkis osaliselt seoses selliste võrrandite ja ruutjuurte probleemidega, kus reaalsete arvude hulgas ei olnud lahendust (nt ruutjuur negatiivsest arvust). Varased tööd 16. sajandil tehti, näiteks Gerolamo Cardano ja Raffaele Bombelli poolt, kes kohtusid komplekssete väärtustega lahendades kuubikvõrrandeid. Hiljem standardiseeris ja populariseeris kujuteldava ühiku sümboli i\displaystyle \mathrm {i} 
kasutamist Leonhard Euler jt.
Mõnikord kasutatakse j {\displaystyle j}
i {\displaystyle i} asemel, eriti elektrotehnikas, sest elektrivoolu tähistatakse sageli tähega i ning selle konflikti vältimiseks eelistatakse j-tähistust.
Olulised märgitud tunnused
- Kompleksarvude hulk on tavaliselt tähistatud kujul C {\displaystyle \mathbb {C} }
. - Komplekssüsteem on algebrailiselt suletud: igal polünoomil astmega ≥1 üle komplekside on vähemalt üks kompleksjuur.
- Kompleksarvusid ei saa täielikult järjestada samamoodi nagu reaalarve (pole korraldatud keha), sest puudub üldine lineaarne järjestus, mis oleks kooskõlas liitmise ja korrutamisega.
Kokkuvõtlikult annavad kompleksarvud võimsa laienduse reaalarvudele, võimaldades lahendada ruutjuurte ja teiste operatsioonide probleeme ning pakkudes rikkalikku geomeetrit ja tugeva aritmeetika aluse paljudes matemaatika- ja insenerivaldkondades.
