Kompleksarv: definitsioon, vorm a+bi, kujuteldav i ja põhiomadused

Kompleksarv on arv, mis koosneb kahest osast: reaalosast ja kujuteldavast osast. Tavapäraselt kirjutatakse kompleksarv kujul a + b i {\displaystyle a+bi} $a+bi$ , kus a on reaalarv (kompleksarvu reaalosa) ja b on reaalarv, millele on korrutatud kujuteldav ühik i {\displaystyle i} $i$ . Selle tähenduseks on, et i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ }. $i^{2}=i\times i=-1\$

Vorm ja tähistused

Iga kompleksarv z {\displaystyle z} $z$ võib olla esitatud kas kujul a+bi {\displaystyle a+bi} $a+bi$ või järjestatud paari kujul (a, b), kus a, b ∈ ℝ. Reaalosa ja kujuteldava osa tähistamiseks kasutatakse sageli

ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} $\Re (z)$ või Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
ja ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} $\Im (z)$ või Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}

Seega, kui z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , siis a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)} $a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)$ ja b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} $b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)$ . Iga reaalarv on eriline juhtum kompleksarvude hulgas: selle kujuteldav osa on null (ℑ(z)=0).

Põhioperatsioonid ja omadused

Kompleksarvudega kehtivad samad põhiaritmeetilised operatsioonid kui reaalarvudega: liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Näiteks, kui z1 = a+bi ja z2 = c+di, siis

liitmine: z1+z2 = (a+c) + (b+d)i
lahutamine: z1−z2 = (a−c) + (b−d)i
korrutamine: z1·z2 = (ac−bd) + (ad+bc)i
jagamine: z1 / z2 = ((a+bi)(c−di)) / (c^2+d^2) = ((ac+bd) + (bc−ad)i) / (c^2+d^2)

Kompleksarvude hulk kuulub algebra põhitunnustele: see on kommutatiivne ja assotsiatiivne liitmise ja korrutamise suhtes, ning korrutamine on distributiivne liitmise suhtes. Kompleksarvud moodustavad välja (field) ning selle peamine eripära reaalarvudega võrreldes on see, et negatiivsetel arvudel on kujuteldav ruutjuur: puudub reaalne x, mille x^2 = -1, kuid kompleksarvude hulgas on i {\displaystyle i} $i$ , sest i^{2}=-1 $i^{2}=-1$ .

Geomeetriline tõlgendus ja modul

Kompleksarve saab märkida koordinaattasandil punktina (a,b). See on kasulik, sest siis kehtivad geomeetrilised tõlgendused: kujuteldav telg on vertikaalne ja reaalne telg horisontaalne. Kompleksarvu absoluutväärtus ehk modul on

|z| = sqrt(a^2 + b^2), mis annab punktini (a,b) kauguse alguspunktist. Kompleksarvu konjugaat (komplekskaaslane) on z̄ = a − b i ja selle abil saab kirjutada |z|^2 = z·z̄ = a^2 + b^2.

Polaar- ja eksponentvorm

Kompleksarvu saab esitada ka polaar- või eksponentvormis. Kui r = |z| ja φ on argumendi ehk nurga väärtus, siis

z = r (cos φ + i sin φ). Sellel põhineb ka Euler'i valem, mille abil kasutatakse ekspontentsiaalvormi: z = r e^{iφ}. See vorm on eriti mugav korrutamisel ja jagamisel: arg(z1·z2) = arg z1 + arg z2 ja |z1·z2| = |z1|·|z2|.

Ajaloost ja tähistustest

Kompleksarvude idee tekkis osaliselt seoses selliste võrrandite ja ruutjuurte probleemidega, kus reaalsete arvude hulgas ei olnud lahendust (nt ruutjuur negatiivsest arvust). Varased tööd 16. sajandil tehti, näiteks Gerolamo Cardano ja Raffaele Bombelli poolt, kes kohtusid komplekssete väärtustega lahendades kuubikvõrrandeid. Hiljem standardiseeris ja populariseeris kujuteldava ühiku sümboli i\displaystyle \mathrm {i} $\mathrm {i}$ kasutamist Leonhard Euler jt.

Mõnikord kasutatakse j {\displaystyle j} $j$ i {\displaystyle i} $i$ asemel, eriti elektrotehnikas, sest elektrivoolu tähistatakse sageli tähega i ning selle konflikti vältimiseks eelistatakse j-tähistust.

Olulised märgitud tunnused

Kompleksarvude hulk on tavaliselt tähistatud kujul C {\displaystyle \mathbb {C} } $\mathbb {C}$ .
Komplekssüsteem on algebrailiselt suletud: igal polünoomil astmega ≥1 üle komplekside on vähemalt üks kompleksjuur.
Kompleksarvusid ei saa täielikult järjestada samamoodi nagu reaalarve (pole korraldatud keha), sest puudub üldine lineaarne järjestus, mis oleks kooskõlas liitmise ja korrutamisega.

Kokkuvõtlikult annavad kompleksarvud võimsa laienduse reaalarvudele, võimaldades lahendada ruutjuurte ja teiste operatsioonide probleeme ning pakkudes rikkalikku geomeetrit ja tugeva aritmeetika aluse paljudes matemaatika- ja insenerivaldkondades.

Operatsioonid kompleksarvudega

Liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine, kui jagaja ei ole null, ja eksponentimine (arvude suurendamine eksponentideks) on kõik võimalik kompleksarvudega. Kompleksarvudega on võimalik teha ka mõningaid muid arvutusi.

Kompleksarvude liitmise ja lahutamise reegel on üsna lihtne:

Olgu z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} $z=(a+bi),w=(c+di)$ , siis z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} $z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ , ja z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} $z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$ .

Korrutamine on veidi erinev:

z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } $z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

Teine märkimisväärne operatsioon kompleksarvude puhul on konjugatsioon. Komplekskonjugaat z ¯ {\displaystyle {\overline {z}} ${\overline {z}}$ on z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ a - b i {\displaystyle a-bi} $a-bi$ . See on üsna lihtne, kuid on arvutuste jaoks oluline, sest z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}} $z\times {\overline {z}}$ kuulub kõigi komplekssete z {\displaystyle z}} $z$ reaalarvude hulka:

z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} $z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}$ .

Me saame seda kasutada jagamise tegemiseks:

1 z = z ¯ z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$

w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } ${\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).$

Muud kompleksarvude kirjeldamise vormid

Kompleksarvud saab esitada nn kompleksitasandil. Kui teil on arv z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , siis võite minna reaaltelje punkti ja imaginaartelje punkti b ja joonistada vektori ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} $(0,0)$ kuni ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} $(a,b)$ . Selle vektori pikkuse saab arvutada, kasutades Pythagorase teoreemi ja positiivse reaaltelje ja selle vektori vahelist nurka, minnes vastupäeva. Vektori pikkust arvu z {\displaystyle z} $z$ nimetatakse selle mooduliks (kirjutatud kui | z | {\displaystyle |z|} $|z|$ ) ja nurka nimetatakse selle argumendiks ( arg z {\displaystyle \arg z} $\arg z$ ).

See viib kompleksarvude kirjeldamise trigonomeetrilisele vormile: siinuse ja kosinuse definitsioonide järgi kehtib kõigi z {\displaystyle z} $z$ jaoks, et

z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } $z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z).$

See on tihedalt seotud De Moivre'i valemiga.

On olemas veel üks vorm, mida nimetatakse eksponentsiaalseksvormiks.

Kompleksarvu saab visuaalselt kujutada kahe arvuna, mis moodustavad vektori Argandi diagrammil, mis kujutab kompleksitasandit.

Kokkuvõte

Kompleksarvude lisamisega matemaatikasse on iga komplekskoefitsientidega polünoomi juured kompleksarvud. Kompleksarvude edukas lisamine matemaatikasse aitas avada tee ka teistsuguste arvude loomiseks, mis võiksid lahendada ja aidata seletada paljusid erinevaid probleeme, näiteks: hüperkompleksarvud, sedenion, hüperreaalsed arvud, sürreaalsed arvud ja paljud teised. Vt arvude liigid.

Küsimused ja vastused

K: Mis on kompleksarv?

V: Kompleksarv on arv, mis koosneb kahest osast, millest esimene osa on reaalarv ja teine osa kujuteldav arv.

K: Mis on kõige tähtsam imaginaararv?

V: Kõige olulisem imaginaarv nimetatakse i, mis on defineeritud kui arv, mille ruutkeskmine väärtus on -1.

K: Kuidas kasutatakse kompleksarvude puhul aritmeetilisi funktsioone?

V: Aritmeetilisi funktsioone, nagu liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine, saab kasutada kompleksarvudega. Samuti järgivad nad kommutatiivseid, assotsiatiivseid ja distributiivseid omadusi nagu reaalarvudki.

K: Milline sümbol tähistab kompleksarvude hulka?

V: Kompleksarvude kogumit kujutatakse sageli sümboliga C.

K: Miks avastati kompleksarvud?

V: Kompleksarvud avastati, kui üritati lahendada spetsiaalseid võrrandeid, milles on eksponente, sest need tekitasid matemaatikutele reaalseid probleeme.

K: Kes kehtestas selle arvu tüübi jaoks i kirjutamise?

V: Tõenäoliselt oli see Leonhard Euler, kes võttis kasutusele i kirjutamise seda tüüpi arvude jaoks.

K: Kuidas saab kompleksarvu kirjutada korrastatud paarina?

V: Kompleksarvu saab kirjutada korrastatud paarina (a, b), kus nii a kui ka b on reaalarvud.