Kompleksarv
Kompleksarv on arv, kuid erineb tavalistest arvudest mitmeti. Kompleksarv moodustub kahe arvu ühendamisel. Esimene osa on reaalarv. Kompleksarvu teine osa on kujuteldav arv. Kõige tähtsam imaginaarv on i {\displaystyle i}
, mis on defineeritud kui arv, mis on -1, kui seda ruutkordistada ("ruutkordistada" tähendab "korrutada iseendaga"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ }. 
. Kõik teised kujuteldavad arvud on i {\displaystyle i} korrutatud reaalarvuga, samamoodi nagu kõiki reaalarvusid võib mõelda kui 1 korrutatuna mõne teise arvuga. Kompleksarvudega saab kasutada selliseid aritmeetilisi funktsioone nagu liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Samuti järgivad nad kommutatiivseid, assotsiatiivseid ja distributiivseid omadusi, nagu reaalarvudki.
Kompleksarvud avastati, kui üritati lahendada spetsiaalseid võrrandeid, milles on eksponente. Need hakkasid matemaatikutele tõelisi probleeme tekitama. Võrdluseks, kasutades negatiivseid numbreid, on võimalik leida x võrrandis a + x = b {\displaystyle a+x=b}
kõigi reaalväärtuste a ja b jaoks, kuid kui x jaoks on lubatud ainult positiivsed arvud, on mõnikord võimatu leida positiivset x-i, nagu võrrandis 3 + x = 1.
Eksponentsuse puhul tuleb ületada üks raskus. Ei ole olemas ühtegi reaalset arvu, mille ruutkordaja oleks -1. Teisisõnu, -1 (või mis tahes muu negatiivne arv) ei oma reaalset ruutjuurt. Näiteks ei ole ühtegi reaalarvu x {\displaystyle x}
, mis lahendaks ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. Selle probleemi lahendamiseks võtsid matemaatikud kasutusele sümboli i ja nimetasid seda kujuteldavaks arvuks. See on kujuteldav arv, mis annab -1, kui see ruutu arvutada.
Esimesed matemaatikud, kes selle peale mõtlesid, olid tõenäoliselt Gerolamo Cardano ja Raffaele Bombelli. Nad elasid 16. sajandil. Tõenäoliselt oli Leonhard Euler see, kes võttis kasutusele i\displaystyle \mathrm {i} kirjutamise. } selle arvu jaoks. 
Kõik kompleksarvud saab kirjutada kujul a + b i {\displaystyle a+bi} 
(või a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), kus a nimetatakse arvu reaalosaks ja b imaginaarseks osaks. Kirjutame ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
või Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
kompleksarvu z reaalosa {\displaystyle z}
. Seega, kui z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, siis kirjutame a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
. Samamoodi kirjutame ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} 
või Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
kompleksarvu z {\displaystyle z} kujuteldava osa jaoks ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
, sama z puhul. Iga reaalarv on ka kompleksarv; see on kompleksarv z, mille ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Kompleksarvu võib kirjutada ka kui järjestatud paari (a, b). Nii a kui ka b on reaalarvud. Iga reaalarvu saab lihtsalt kirjutada kui a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} 
või kui paari (a, 0).
Mõnikord kirjutatakse j {\displaystyle j}
asemel i {\displaystyle i} . Elektrotehnikas tähendab i {\displaystyle i} elektrivoolu. Kirjutamine i {\displaystyle i} võib tekitada palju probleeme, sest mõned arvud elektrotehnikas on keerulised arvud.
Kõigi kompleksarvude hulk kirjutatakse tavaliselt kujul C {\displaystyle \mathbb {C} } 
.
Operatsioonid kompleksarvudega
Liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine, kui jagaja ei ole null, ja eksponentimine (arvude suurendamine eksponentideks) on kõik võimalik kompleksarvudega. Kompleksarvudega on võimalik teha ka mõningaid muid arvutusi.
Kompleksarvude liitmise ja lahutamise reegel on üsna lihtne:
Olgu z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
, siis z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, ja z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
Korrutamine on veidi erinev:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
Teine märkimisväärne operatsioon kompleksarvude puhul on konjugatsioon. Komplekskonjugaat z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}
on z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} a - b i {\displaystyle a-bi}
. See on üsna lihtne, kuid on arvutuste jaoks oluline, sest z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}}
kuulub kõigi komplekssete z {\displaystyle z}} reaalarvude hulka:
z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} 
.
Me saame seda kasutada jagamise tegemiseks:
1 z = z ¯ z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
Muud kompleksarvude kirjeldamise vormid
Kompleksarvud saab esitada nn kompleksitasandil. Kui teil on arv z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , siis võite minna reaaltelje punkti ja imaginaartelje punkti b ja joonistada vektori ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 
kuni ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
. Selle vektori pikkuse saab arvutada, kasutades Pythagorase teoreemi ja positiivse reaaltelje ja selle vektori vahelist nurka, minnes vastupäeva. Vektori pikkust arvu z {\displaystyle z} nimetatakse selle mooduliks (kirjutatud kui | z | {\displaystyle |z|}
) ja nurka nimetatakse selle argumendiks ( arg z {\displaystyle \arg z}
).
See viib kompleksarvude kirjeldamise trigonomeetrilisele vormile: siinuse ja kosinuse definitsioonide järgi kehtib kõigi z {\displaystyle z} jaoks, et
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
See on tihedalt seotud De Moivre'i valemiga.
On olemas veel üks vorm, mida nimetatakse eksponentsiaalseksvormiks.
Kompleksarvu saab visuaalselt kujutada kahe arvuna, mis moodustavad vektori Argandi diagrammil, mis kujutab kompleksitasandit.
Kokkuvõte
Kompleksarvude lisamisega matemaatikasse on iga komplekskoefitsientidega polünoomi juured kompleksarvud. Kompleksarvude edukas lisamine matemaatikasse aitas avada tee ka teistsuguste arvude loomiseks, mis võiksid lahendada ja aidata seletada paljusid erinevaid probleeme, näiteks: hüperkompleksarvud, sedenion, hüperreaalsed arvud, sürreaalsed arvud ja paljud teised. Vt arvude liigid.
Küsimused ja vastused
K: Mis on kompleksarv?
V: Kompleksarv on arv, mis koosneb kahest osast, millest esimene osa on reaalarv ja teine osa kujuteldav arv.
K: Mis on kõige tähtsam imaginaararv?
V: Kõige olulisem imaginaarv nimetatakse i, mis on defineeritud kui arv, mille ruutkeskmine väärtus on -1.
K: Kuidas kasutatakse kompleksarvude puhul aritmeetilisi funktsioone?
V: Aritmeetilisi funktsioone, nagu liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine, saab kasutada kompleksarvudega. Samuti järgivad nad kommutatiivseid, assotsiatiivseid ja distributiivseid omadusi nagu reaalarvudki.
K: Milline sümbol tähistab kompleksarvude hulka?
V: Kompleksarvude kogumit kujutatakse sageli sümboliga C.
K: Miks avastati kompleksarvud?
V: Kompleksarvud avastati, kui üritati lahendada spetsiaalseid võrrandeid, milles on eksponente, sest need tekitasid matemaatikutele reaalseid probleeme.
K: Kes kehtestas selle arvu tüübi jaoks i kirjutamise?
V: Tõenäoliselt oli see Leonhard Euler, kes võttis kasutusele i kirjutamise seda tüüpi arvude jaoks.
K: Kuidas saab kompleksarvu kirjutada korrastatud paarina?
V: Kompleksarvu saab kirjutada korrastatud paarina (a, b), kus nii a kui ka b on reaalarvud.
