Reaalarv matemaatikas: definitsioon, omadused ja näited

Reaalarv on ratsionaalne või irratsionaalne arv. Tavaliselt, kui inimesed ütlevad „arv“, tähendavad nad just reaalarvu. Reaalarvude ametlik sümbol on rasvane R või tahvliga rasvane R {\displaystyle \mathbb {R} }. $\mathbb {R}$ .

Mis on reaalarvud

Reaalarvud hõlmavad kõiki tavalisi arve, mida kohtame igapäevases matemaatikas ja mõõtmistes: positiivsed ja negatiivsed arvud, null, murdarvud ja ka sellised arvud nagu √2 või π, mis ei ole esitatavad lõpliku murduna. Reaalarve võib kujutada lõpmatult pikka joonlauda, millel iga punkt vastab ühele reaalarvule. Nulli vasakul on negatiivsed ja paremal positiivsed arvud; negatiivsed on nagu positiivsete „peegelpildid“, ainult et neil on miinusmärk.

Põhiomadused ja tehteid

Sulgumine tehete suhtes: reaalarvude kogum on suletud liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (nulliga jagamise piiranguga) suhtes.
Arvuatribuutid: liitmine ja korrutamine on kommutatiivsed ja assotsiatiivsed; olemas on neutraalid (0 liitmise jaoks, 1 korrutamise jaoks) ning iga arvul on vastav vastandarv (liitmise puhul) ja mittevõrdne nulli puhul vastasmultiplikatiivne.
Järjestus: reaalarvudel on loomulik järjestus: iga kahe reaalarvu a ja b korral kehtib täpselt üks suhtest a < b, a = b või a > b.
Ülemise ja alumise piirväärtuse omadus (kompleetsus): iga ülalpiiratud ülemise piiriga hulk reaalarve omab vähimat ülemist piirväärtust (supremum). See on oluline omadus, mis eristab reaalarve nt ratsionaalidest.

Tihedus ja lõpmatus

Reaalarve on lõpmatu hulk ja neil pole väikseimat ega suurimat elementi — ühelegi arvule saab leida suurema või väiksema arvu. Reaalarvude hulgas puuduvad „augud“: kui võtta ükskõik millised erinevad reaalarvud a ja b (kus a < b), siis vahemikus (a, b) leidub alati mõni c, mis jääb nende kahe vahele. Tegelikult leidub vahemikus alati nii ratsionaalarve kui ka irratsionaalarve.

Loendamatud ja loendatavad hulgad

Reaalarvud on loendamatud. See tähendab, et neid ei saa järjestada nii, et iga reaalarv ilmuks loetelus ükshaaval (st neid ei saa „loendada“ nagu täisarve). Iga ühejärgulise või lõpmatu järjestusega jääb reaalarvude hulgast alati mõni arv välja — seetõttu on reaalarvude hulk „suurem“ kui täisarvude või ratsionaalide hulk, mis on loendatavad.

Kompleksarvud ja teised supersetid

Mõned arvusüsteemid on reaalarvude sees: kõik ratsionaalarvud ja täisarvud kuuluvad reaalarvude hulka. On ka laiemad süsteemid, näiteks kompleksarvud; iga reaalarv võib vaadelda kui kompleksarvu imaginaarosa 0-ga, kuid mitte iga kompleksarv ei ole reaalarv.

Kümnendesitused ja näited

Ratsionaalarvud: neil on lõppev või perioodiline kümnendkujutus (näiteks 0,5 = 1/2 või 0,333... = 1/3). Näited: 2, −7, 1/2, 4.25.
Irratsionaalarvud: neil on lõpmatu, mitteperioodiline kümnendkujutus (näiteks √2 = 1.4142135... ja π = 3.14159...). Need ei ole esitatavad täisarvu jagatistena.
Näited: positiivsed arvud nagu 3.7; negatiivsed nagu −5; null; irratsionaalsed nagu √2 või π; ratsionaalsed nagu 7/4.

Intervallid ja märkused

Reaalarvude hulka kirjeldatakse sageli intervallidena: avatud intervall (a, b), suletud intervall [a, b] ja pool-avatud intervallid [a, b) või (a, b]. Intervallid jaotavad reaalarve, võimaldades täpselt kirjeldada hulki, millel on algus- või lõpp-piir.

Lühike kokkuvõte

Reaalarvud moodustavad aluse enamikule matemaatika ja füüsika valdkondadele: need on järjestatud, tihedad, lõpmatud ja kompleetsed. Reaalarvude hulka kuuluvad nii ratsionaalsed arvud kui ka irratsionaalsed ning nende kogumit tähistatakse tavaliselt sümboliga ℝ. Reaalarvude omadused — suletus tehete suhtes, järjestus, tihedus ja kompleetsus — teevad neist olulise konstruktsiooni nii algebras, analüüsis kui ka rakendustes.

Reaalarvude erinevad tüübid

Reaalarvud on erinevat tüüpi. Mõnikord ei räägita kõigist reaalarvudest korraga. Mõnikord räägitakse ainult erilistest, väiksematest hulkadest. Nendel hulkadel on erilised nimed. Need on järgmised:

Loomulikud numbrid: Need on reaalarvud, millel ei ole kümnendmärki ja mis on suuremad kui null.
Terved numbrid: Need on positiivsed reaalarvud, millel ei ole kümnendkohti ega ka nulli. Loomulikud arvud on samuti täisarvud.
Tervikud: Need on reaalarvud, millel ei ole kümnendkohti. Nende hulka kuuluvad nii positiivsed kui ka negatiivsed arvud. Tervikud on ka täisarvud.
Ratsionaalarvud: Need on reaalarvud, mida saab kirjutada täisarvude murdudena. Ka täisarvud on ratsionaalarvud.
Transtsendentaalarvu ei saa saada täisarvuliste komponentidega võrrandi lahendamise teel.
Irratsionaalsed arvud: Need on reaalarvud, mida ei saa kirjutada täisarvude osadena. Ka transtsendentsed arvud on irratsionaalsed.

Number 0 (null) on eriline. Mõnikord võetakse see vaadeldava alamhulga osaks, teinekord aga mitte. See on liitmise ja lahutamise puhul identne element. See tähendab, et nulli lisamine või lahutamine ei muuda algset arvu. Korrutamisel ja jagamisel on identne element 1.

Üks reaalarv, mis ei ole ratsionaalne, on 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ . See arv on irratsionaalne. Kui joonistatakse ruut, mille küljed on ühe ühiku pikkused, on selle vastasnurkade vahelise joone pikkus 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ .

Küsimused ja vastused

Küsimus: Mis on reaalarv?

V: Reaalarv on mis tahes ratsionaalne või irratsionaalne arv, mida saab väljendada kümnendmurru laiendamisega. See on kõige tavalisem arv, millele viidatakse, kui inimesed ütlevad "arv".

K: Milline sümbol tähistab reaalarvu?

V: Reaalarvude ametlik sümbol on rasvane R või tahvli rasvane R-rong {\displaystyle \mathbb {R} }. .

K: Mille poolest erinevad positiivsed ja negatiivsed arvud?

V: Positiivsed arvud on "nullist suuremad", negatiivsed arvud aga "nullist väiksemad" ja neile on lisatud miinusmärgid (-), et neid saaks märgistada positiivsetest arvudest erinevalt.

K: Kas reaalarvusid on rohkem kui täisarvusid?

V: Jah, reaalarvusid on lõpmatult palju, samas kui täisarvud on loendatavad. See tähendab, et kuigi mõlemat liiki arvusid on lõpmatult palju, on reaalarvusid siiski rohkem kui täisarvusid.

K: Kas kõik kompleksarvud on ka reaalarvud?

V: Ei, kõik reaalarvud on kompleksarvud, kuid mitte kõik kompleksarvud ei ole reaalarvud. Samamoodi on 3/7 ratsionaalarv, kuid mitte täisarv.

K: Kas kõiki reaalarvusid on võimalik järjestikku panna?

V: Ei, sest kõigi reaalarvude hulk on loendamatu, mis tähendab, et ükskõik kui pikk jada ka ei oleks, jääb alati vähemalt üks neist välja.