Jagamine nulliga: miks see on määramata ja kuidas seda mõista

Miks jagamine nulliga on määramata? Sammu‑sammuline selgitus 0/0, lõpmatus ja matemaatilised põhimõtted — lihtne, visuaalne juhend nulliga jagamise mõistmiseks.

Autor: Leandro Alegsa

07-10-2025 19:41

Matemaatikas ei saa arvu jagada nulliga. Vaadake:

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

Kui B = 0, siis C = 0. See on tõsi. Aga:

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

(kus B=0, nii et me lihtsalt jagame nulliga)

Mis on sama mis:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Probleem on selles, et A {\displaystyle A} $A$ võib olla ükskõik milline arv. See toimiks, kui A {\displaystyle A} $A$ oleks 1 või kui see oleks 1,000,000,000. 0/0 nimetatakse sel põhjusel "määramata kujuliseks", sest tal ei ole ühtki väärtust. Arvud, mille vorm A/0, kus A {\displaystyle A} $A$ ei ole 0, on "määramata" või "määramata". Seda seetõttu, et iga katse neid defineerida annab tulemuseks lõpmatuse väärtuse, mis on iseenesest määramata. Tavaliselt, kui kaks arvu on võrdsed, siis on nad omavahel võrdsed. See ei ole nii, kui asi, millega mõlemad on võrdsed, on 0/0. See tähendab, et tavalised matemaatikareeglid ei toimi, kui arv jagatakse nulliga.

Miks jagamine nulliga ei ole lubatud?

Jagamine on korrutamise pöördtehe. Aritmeetikas A / B tähendab „milline arv X korrutatuna B-ga annab A?” Kui B = 0, siis iga X korrutatuna 0 annab 0. Seega võrdlemine A = X·0 annab:

kui A ≠ 0, pole võimalik leida X, mis rahuldaks X·0 = A — seega A/0 ei ole määratud (seda nimetatakse tavaliselt undefined);
kui A = 0, siis X võib olla ükskõik milline arv — siin tekib palju võimalikke lahendeid, seega ei ole X ainulaadne ning kujund 0/0 on erandlikult „määramata” (indeterminate).

Mida tähendab „undefined” ja „määramata” (indeterminate)?

Nonzero/0 (näiteks 1/0 või −3/0) on reaalsetes arvudes määratlemata. Paljudes kontekstides öeldakse, et see „läheb lõpmatusse”, sest näiteks piirväärtused lim_{x→0+} 1/x = +∞ ja lim_{x→0−} 1/x = −∞. Kuid ±∞ ei ole reaalne arv ja käituvad teisiti kui tavalised arvud — seega ei saa seda pidada reaalsete arvude täieõiguslikuks väärtuseks.

0/0 on indeterminate (määramata kujul), sest see ei anna ainsat võimalikku tulemust. Näiteks võrdsusest X·0 = 0 võib X olla 0, 1, −5 või ükskõik milline muu arv. Seetõttu ei saa 0/0-le määrata üht konkreetset väärtust ilma täiendava kontekstita (näiteks piirväärtuste abil).

Kus 0/0 ja A/0 ikkagi ilmuvad ja kuidas neid käsitletakse?

Analüüsis (kalkuluses) kohtame sageli „määramata kujundeid” nagu 0/0 või ∞/∞; neid hinnatakse piiride abil. Näiteks mõnikord lim_{x→a} f(x)/g(x) annab mõistliku lõpliku tulemuse, isegi kui nii f(a) kui g(a) on 0 — sellisel juhul tuleb funktsioonide käitumist a lähedal analüüsida (nt L’Hôpitali reegli abil).
Teine lähenemine on laiendada arvude hulka: laiendatud reaalarvudes lisatakse +∞ ja −∞, kuid seda laiendust tuleb kasutada ettevaatlikult, sest paljud tavapärased reeglid ei kehti (nt ∞ − ∞ on määramata).
Projektiv reaalliin (kus +∞ ja −∞ ühendatakse ühe „lõpmatusega”) on veel üks abstraktne mudel, kuid ka seal ei ole jagamine nulliga reeglina võimalik ilma lisamääratluseta.

Lihtsad näited

1/0 — ei ole määratud reaalarvuna. Vaadates funktsiooni f(x)=1/x, kui x→0+ siis f(x)→+∞; kui x→0− siis f(x)→−∞. Piirväärtused erinevad, seega ühest „lõpmusest” ei saa rääkida.
0/0 — näiteks piirväärtus lim_{x→0} (x/x) = 1, kuigi x/x on otse x=0 juures 0/0. Siin tuleb vaadata, kuidas murd läheneb nullile, mitte hinnata 0/0 ilma kontekstita.

Peamised punktid lühidalt

Jagamine nulliga reaalarvude hulgas ei ole lubatud.
Kui jagaja on 0 ja lugeja erinev 0, siis avaldis on määratlemata (sageli öeldakse „läheb lõpmatusse”, kuid see ei ole reaalne väärtus).
Kui ka lugeja on 0 (0/0), siis avaldis on indeterminate — tal ei ole ühtainust väärtust ilma täiendava kontekstita (näiteks piiranalüüsita).
Kui kohtate 0/0 või A/0 matemaatilises probleemis, otsige piirväärtust või teisendage avaldis sobiva manipuleerimise (faktoriseerimine, L’Hôpital) abil, et leida tähenduslik tulemus.

Nulliga jagamisel põhinev ebaõige tõestus

Nulliga jagamise erijuhtu on võimalik maskeerida algebralise argumendiga. See võib viia kehtetute tõestusteni, näiteks 1=2, nagu järgnevalt:

Järgmiste eeldustega:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\\\0\times 2&=0.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Järgmised asjaolud peavad olema tõesed:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Jagamine nulliga annab:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}{0}}\times 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Lihtsustage:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Eksitus on eeldus, et jagamine 0-ga on seaduslik operatsioon, mille puhul 0/0 = 1.

Enamik inimesi tunnistaks ilmselt ülaltoodud "tõestuse" ebaõigeks, kuid sama argumenti saab esitada viisil, mis muudab vea märkamise raskemaks. Näiteks kui 1 kirjutatakse x-ks, siis võib 0 olla peidetud x-x taha ja 2 x+x taha. Eespool nimetatud tõestust saab siis esitada järgmiselt:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

seega:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Jagades x - x annab:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

ja jagades x-ga saadakse:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Ülaltoodud "tõestus" on vale, sest see jagab nulliga, kui see jagab x-x-ga, sest iga arv miinus ise on null.

Calculus

Arvutuses tulevad eespool nimetatud "määramata vormid" ka otsese asendamise tulemusena piirväärtuste hindamisel.

Jagamine nulliga arvutites

Kui arvutiprogramm üritab täisarvu nulliga jagada, avastab operatsioonisüsteem selle tavaliselt ja peatab programmi. Tavaliselt trükib ta "veateate" või annab programmeerijale nõu, kuidas programmi parandada^[]. Jagamine nulliga on arvutiprogrammeerimisel tavaline viga. Ujukomaarvude (kümnendarvude) jagamine nulliga annab tavaliselt kas lõpmatuse või spetsiaalse NaN (not a number) väärtuse, sõltuvalt sellest, mida nulliga jagatakse.

Jagamine nulliga geomeetrias

Geomeetrias 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ See lõpmatus (projektsiooniline lõpmatus) ei ole ei positiivne ega negatiivne arv, samamoodi nagu null ei ole positiivne ega negatiivne arv

Küsimused ja vastused

K: Mis on arvu nulliga jagamise tulemus?

V: Kui jagada arv nulliga, saadakse "määramata" või "määramata kujul", mis tähendab, et arvul ei ole ühtki väärtust.

K: Mida tähendab 0/0?

V: 0/0 on "määramata kujul", sest tal ei ole ühtki väärtust.

K: Mis juhtub, kui kaks arvu on võrdsed, kuid see asi on 0/0?

V: Tavalised matemaatikareeglid ei toimi, kui arv jagatakse nulliga, seega ei oleks need kaks arvu omavahel võrdsed.

K: Kas vastab tõele, et iga katse defineerida arvu kujul A/0 annab tulemuseks lõpmatuse väärtuse?

V: Jah, iga katse defineerida arv kujul A/0 (kus A ei ole 0) annab tulemuseks lõpmatuse väärtuse, mis on iseenesest määratlemata.

K: Kuidas saame kindlaks teha, kas kaks arvu on omavahel võrdsed?

V: Me saame kindlaks teha, kas kaks arvu on üksteisega võrdsed, vaadates, kas nad on mõlemad võrdsed. Tavaliselt see toimib, kuid see ei kehti, kui mõlemad arvud on võrdsed 0/0.

K: Kas on olemas erand, kui me ei saa arvu nulliga jagada? V: Jah, matemaatikas ei ole võimalik arvu nulliga jagada.

Otsige