Jagamine nulliga

Matemaatikas ei saa arvu jagada nulliga. Vaadake:

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

Kui B = 0, siis C = 0. See on tõsi. Aga:

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

(kus B=0, nii et me lihtsalt jagame nulliga)

Mis on sama mis:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Probleem on selles, et A {\displaystyle A} $A$ võib olla ükskõik milline arv. See toimiks, kui A {\displaystyle A} $A$ oleks 1 või kui see oleks 1,000,000,000. 0/0 nimetatakse sel põhjusel "määramata kujuliseks", sest tal ei ole ühtki väärtust. Arvud, mille vorm A/0, kus A {\displaystyle A} $A$ ei ole 0, on "määramata" või "määramata". Seda seetõttu, et iga katse neid defineerida annab tulemuseks lõpmatuse väärtuse, mis on iseenesest määramata. Tavaliselt, kui kaks arvu on võrdsed, siis on nad omavahel võrdsed. See ei ole nii, kui asi, millega mõlemad on võrdsed, on 0/0. See tähendab, et tavalised matemaatikareeglid ei toimi, kui arv jagatakse nulliga.

Nulliga jagamisel põhinev ebaõige tõestus

Nulliga jagamise erijuhtu on võimalik maskeerida algebralise argumendiga. See võib viia kehtetute tõestusteni, näiteks 1=2, nagu järgnevalt:

Järgmiste eeldustega:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\\\0\times 2&=0.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Järgmised asjaolud peavad olema tõesed:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Jagamine nulliga annab:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}{0}}\times 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Lihtsustage:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Eksitus on eeldus, et jagamine 0-ga on seaduslik operatsioon, mille puhul 0/0 = 1.

Enamik inimesi tunnistaks ilmselt ülaltoodud "tõestuse" ebaõigeks, kuid sama argumenti saab esitada viisil, mis muudab vea märkamise raskemaks. Näiteks kui 1 kirjutatakse x-ks, siis võib 0 olla peidetud x-x taha ja 2 x+x taha. Eespool nimetatud tõestust saab siis esitada järgmiselt:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

seega:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Jagades x - x annab:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

ja jagades x-ga saadakse:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Ülaltoodud "tõestus" on vale, sest see jagab nulliga, kui see jagab x-x-ga, sest iga arv miinus ise on null.

Calculus

Arvutuses tulevad eespool nimetatud "määramata vormid" ka otsese asendamise tulemusena piirväärtuste hindamisel.

Jagamine nulliga arvutites

Kui arvutiprogramm üritab täisarvu nulliga jagada, avastab operatsioonisüsteem selle tavaliselt ja peatab programmi. Tavaliselt trükib ta "veateate" või annab programmeerijale nõu, kuidas programmi parandada^[]. Jagamine nulliga on arvutiprogrammeerimisel tavaline viga. Ujukomaarvude (kümnendarvude) jagamine nulliga annab tavaliselt kas lõpmatuse või spetsiaalse NaN (not a number) väärtuse, sõltuvalt sellest, mida nulliga jagatakse.

Jagamine nulliga geomeetrias

Geomeetrias 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ See lõpmatus (projektsiooniline lõpmatus) ei ole ei positiivne ega negatiivne arv, samamoodi nagu null ei ole positiivne ega negatiivne arv

Küsimused ja vastused

K: Mis on arvu nulliga jagamise tulemus?

V: Kui jagada arv nulliga, saadakse "määramata" või "määramata kujul", mis tähendab, et arvul ei ole ühtki väärtust.

K: Mida tähendab 0/0?

V: 0/0 on "määramata kujul", sest tal ei ole ühtki väärtust.

K: Mis juhtub, kui kaks arvu on võrdsed, kuid see asi on 0/0?

V: Tavalised matemaatikareeglid ei toimi, kui arv jagatakse nulliga, seega ei oleks need kaks arvu omavahel võrdsed.

K: Kas vastab tõele, et iga katse defineerida arvu kujul A/0 annab tulemuseks lõpmatuse väärtuse?

V: Jah, iga katse defineerida arv kujul A/0 (kus A ei ole 0) annab tulemuseks lõpmatuse väärtuse, mis on iseenesest määratlemata.

K: Kuidas saame kindlaks teha, kas kaks arvu on omavahel võrdsed?

V: Me saame kindlaks teha, kas kaks arvu on üksteisega võrdsed, vaadates, kas nad on mõlemad võrdsed. Tavaliselt see toimib, kuid see ei kehti, kui mõlemad arvud on võrdsed 0/0.

K: Kas on olemas erand, kui me ei saa arvu nulliga jagada? V: Jah, matemaatikas ei ole võimalik arvu nulliga jagada.