Matemaatikas tähendab sõna "jagamine" operatsiooni, mis on korrutamise vastand. Mõned jagamise sümbolid võivad olla kaldkriips, joon või jagamise märk ( ÷ {\displaystyle \div }{\displaystyle \div } ), nagu näiteks:

6 / 3 {\displaystyle 6/3\,} või {\displaystyle 6/3\,}6 3 {\displaystyle {\frac {6}{3}}} või {\displaystyle {\frac {6}{3}}}6 ÷ 3. {\displaystyle 6\div 3.} {\displaystyle 6\div 3.}

Iga neist kolmest tähendab "6 jagatud 3ga", mille vastus on 2. Esimene number on dividend (6) ja teine number on jagaja (3). Tulemus (või vastus) on kvootor (tavaliselt nimetatakse seda kvoodiks). Tervete arvude puhul nimetatakse mis tahes ülejäävat summat "jäägiks" (näiteks 14/4 annab 3, mille jääk on 2 — see on arvuna 3 + 2⁄4, sama mis 3 + 1⁄2 või 3,5).

Numbrid võivad olla väga suured, näiteks kahesaja puhul: 200/5 = 40 või 7 miljardi puhul: 7 000 000 000 / 1000 = 7 000 000 (võrdub 7 miljoniga).

Põhimõisted

  • Dividend — arv, mida jagatakse (näiteks 6 jagamisel 6 ÷ 3 on dividend 6).
  • Jagaja — arv, millega jagatakse (näiteks 3 jagamisel 6 ÷ 3 on jagaja 3).
  • Kvoot — jagamise tulemus (6 ÷ 3 = 2, siin on kvoot 2).
  • Jääk — osa dividendist, mis ei jagune täpselt jagajaga, kui töötame täisarvudega (näiteks 14 ÷ 4 → kvoot 3, jääk 2).

Täisarvuline jagamine ja Eukleidese jagamisalgebram

Täisarvude jagamisel kehtib Eukleidese jagamisalgoritmi kujutis: iga täisarv a ja mittenull täisarv b korral leiduvad üheselt määratud täisarvud q (kvoot) ja r (jääk), nii et

a = b·q + r, kus 0 ≤ r < |b|.

Näide: 14 = 4·3 + 2, seega 14 ÷ 4 = 3 jääk 2.

Jagamise omadused

  • Jagamine ei ole kommutatiivne: a ÷ b ≠ b ÷ a üldjuhul.
  • Jagamine ei ole assotsiatiivne: (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c) tavaliselt.
  • Jagamine on korrutamise pöördoperatsioon: a ÷ b = c tähendab a = b·c (kui b ≠ 0).
  • Kui korrutada nii dividend kui jagaja sama mitte-nulliga arvuga, jääb kvoot muutumata: (a·k) ÷ (b·k) = a ÷ b (k ≠ 0).

Jagamine nulliga

Jagamine nulliga on määratlemata: avaldist a ÷ 0 ei ole matemaatiliselt lubatud (kui ainult me ei käsitle seda laiendatud tähenduses, nt limitite kaudu). Nulliga jagamine ei anna tähendusrikast tulemust ega kvooti.

Jagamine murdude ja ujukomadega

  • Murdude jagamine: a/b ÷ c/d = (a/b)·(d/c) (kui c ≠ 0 ja d ≠ 0).
  • Ujukomadega jagamisel teisendatakse sageli jagamine korrutamiseks jagaja pöördarvuga või kasutatakse kalkulaatorit/ arvutit täpsuse säilitamiseks.
  • Murd või kümnendmurd on viis esitada täpne või ligikaudne tulemus, kui jagamine ei lõpe täisarvuga.

Negatiivsete arvude jagamine

Tähised ja reeglid sarnanevad korrutamisega: kahe sama märgiga arvu jagamisel on tulemus positiivne; erineva märgiga jagamisel on tulemus negatiivne. Jäägi definitsioon täisarvude korral tavaliselt eeldab, et jääk on mittnegatiivne (0 ≤ r < |b|).

Kuidas jagada pikas formaadis (näide)

Näiteks 47 ÷ 5:

  • 5 läheb 47-sse 9 korda (9·5 = 45).
  • 47 − 45 = 2 → jääk 2.
  • Tulemus: kvoot 9 ja jääk 2 ehk 47 ÷ 5 = 9 jääk 2 (või 9 + 2/5 = 9,4).

Kasutusvaldkonnad ja tähendus

Jagamine on põhitegevus igapäevaelus (nt jagamine võrdselt inimeste vahel), inseneriteadustes, arvutustes, proportsioonide ja suhete väljendamisel. Murdude, protsentide ja suhete mõistmine tugineb sageli jagamisele.

Kokkuvõte

  • Jagamine on korrutamise pöördtehe: a ÷ b = c ⇔ a = b·c (kui b ≠ 0).
  • Oluline on eristada dividendit, jagajat, kvooti ja jääki.
  • Täisarvude jagamisel rakendub Eukleidese jagamise põhimõte a = b·q + r, kus 0 ≤ r < |b|.
  • Jagamine nulliga on määratlemata — seda tuleb vältida.