Imaginaararv
Kujutlusarvud on arvud, mis saadakse reaalarvu ja kujuteldava ühiku i ühendamisel, kus i on defineeritud järgmiselt: i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
. Nad on defineeritud negatiivsetest reaalarvudest eraldi, sest nad on positiivse reaalarvu asemel negatiivse reaalarvu ruutjuur. Reaalarvude puhul ei ole see võimalik, sest ei ole ühtegi reaalarvu, mis korrutaks endaga, et saada negatiivne arv (nt 3*3 = 9 ja -3*-3 = 9).
Üks võimalus neist mõelda on öelda, et kujuteldavad arvud on negatiivsete arvude jaoks sama, mis negatiivsed arvud on positiivsete jaoks. Kui ma ütlen "mine -1 miili ida poole", on see sama, kui ma oleksin öelnud "mine 1 miili lääne poole". Kui ma ütlen "mine i miili võrra ida poole", tähendab see sama, kui ma oleksin öelnud "mine 1 miili võrra põhja poole". Kui ma ütlen "mine ida poole -i miili võrra", tähendab see sama, kui ma oleksin öelnud "mine lõuna poole 1 miili võrra".
Ka lisamine on lihtne. Kui ma ütlen "mine ida poole 1 + i miili", tähendab see sama, kui ma oleksin öelnud "mine ida poole ühe miili ja põhja poole ühe miili".
Kahe kujuteldava arvu korrutamine on paljuski nagu positiivse arvu korrutamine negatiivse arvuga. Kui ma ütlen "mine 2*-3 miili ida poole", siis tähendab see "pöörake kogu tee ümber (nii, et nüüd olete lääne poole) ja minge 2*3 = 6 miili". Kujuteldavad arvud toimivad samamoodi, ainult et te võite pöörata osaliselt. Kui ma ütlen "mine 2*3i miili ida poole", siis tähendab see sama, kui ma oleksin öelnud "pöörake, kuni olete põhja poole, ja siis minge 2*3 = 6 miili".
5 - 9 lahutamine oli varem võimatu, kuni leiutati negatiivsed arvud. Pärast seda oli negatiivse arvu ruutjuure võtmine võimatu, kuni leiutati kujuteldavad arvud. 9 ruutjuur on 3, kuid -9 ruutjuur ei ole -3. See on nii, sest -3 x -3 = +9, mitte -9. Pikka aega tundus, et -9 ruutjuurele ei ole vastust.
Seepärast leiutasid matemaatikud kujuteldava arvu i ja ütlesid, et see on ruutjuur -1-st. Ruutjuur -1-st ei ole reaalarv, nii et see määratlus loob uut tüüpi arvu, nagu murdude abil luuakse arvud nagu 2/3, mis ei ole loendavad arvud nagu 4 või 10, ja negatiivsed arvud võimaldavad meil kasutada arvusid, mis on väiksemad kui 0. Mõnikord tundub matemaatikutele üsna mugav kasutada arvu, mis on nii ebatavaline, kuid nimi imaginaarne ei tohiks teid petta, sest i on sama kehtiv arv kui 3 või 145,379.
Paljud teaduse ja tehnika harud on leidnud sellele arvule kasutust. Mõnikord vajavad elektriinsenerid i-d, et mõista, kuidas elektriahelat projekteerimisel töötab (elektriinsenerid kasutavad i asemel j-d, et vältida segadust voolu sümboliga). Teatud füüsikavaldkondades, näiteks kvantfüüsikas ja kõrge energiafüüsikas, kasutatakse i sama sageli kui mis tahes muud tavalist arvu. Paljusid võrrandeid maailmas ei saa lihtsalt lahendada ilma i-ta.
Kujutlusarvud võivad olla segatud meile tuttavamate arvudega. Näiteks reaalarvu, näiteks 2, saab lisada kujuteldavale arvule, näiteks 3i, et saada 2+3i. Selliseid segatud arve nimetatakse kompleksarvudeks.
Küsimused ja vastused
K: Mis on kujuteldav arv?
V: Imaginaarv on reaalarvu ja kujuteldava ühiku, mida nimetatakse i, kombinatsioon, kus i on defineeritud kui i^2=-1.
K: Mille poolest erinevad imaginaararvud negatiivsetest reaalarvudest?
V: Imaginaarvud on negatiivsetest reaalarvudest eraldi defineeritud selle poolest, et nad on negatiivse reaalarvu ruutjuur (positiivse reaalarvu asemel). Reaalarvude puhul ei ole see võimalik, sest ei ole ühtegi reaalarvu, mis korrutaks endaga, et saada negatiivne arv.
Küsimus: Mida tähendab, kui ütleme "mine ida poole -i miili"?
V: Kui me ütleme "mine ida poole -i miili võrra", tähendab see sama, kui me oleksime öelnud "mine lõuna poole 1 miili võrra".
K: Kuidas liidetakse kaks kujuteldavat arvu?
V: Kahe kujuteldava arvu liitmiseks võib öelda "mine ida poole ühe miili võrra ja põhja poole ühe miili võrra". Kahe kujuteldava arvu korrutamine sarnaneb positiivse arvu korrutamisele negatiivse arvuga.
K: Mis on kompleksarvud?
V: Kompleksarvud on segatud arvud, mis koosnevad nii reaal- kui ka kujuteldavast komponendist, näiteks 2+3i. Nad tekivad, kui liita kokku reaal- ja imaginaarkomponent.
K: Millistes valdkondades kasutavad matemaatikud kujuteldava ühiku mõistet?
V: Matemaatikud kasutavad kujuteldava ühiku mõistet paljudes teaduse ja tehnika valdkondades, näiteks elektrotehnikas, kvantfüüsikas, kõrge energiafüüsikas jne. Seda kasutatakse ka võrrandites, mida ei saa ilma selleta lahendada.
