Kujuteldav arv (i) ja kompleksarvud — mõiste, omadused ja rakendused

Saa teada kujuteldava ühiku i ja kompleksarvude mõiste, omadused ja rakendused — intuitiivsed selgitused, näited ja matemaatilised praktilised kasutused.

Kujuteldavad arvud (imaginaararvud) on arvud, mida saadakse reaalarvu ja kujuteldava ühiku i ühendamisel. Definitsioon: i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} . See tähendab, et i on selline number, mille ruut on -1. Kuna reaalarvude hulgas ei ole ühtegi arvu, mille ruut annaks negatiivse arvu, loodi kujuteldav ühik i uue arvitüübi kirjeldamiseks.

Mõtlemine ja geomeetriline tõlgendus

Üks lihtne viis kujuteldavaid arve seletada on kasutada suunalisi näiteid: kui reaalarv näitab liikumist ida/lääne suunas, siis kujuteldav komponent näitab liikumist põhja/lõuna suunas. Näited:

• "mine -1 miili ida poole" on sama mis "mine 1 miili lääne poole" (reaalosa muutus).
• "mine i miili ida poole" võib kujutleda kui "mine 1 miili põhja poole" (kujundite teisendus: reaalteljest risti nihkumine).
• "mine 1 + i miili" tähendab "1 miil ida ja 1 miil põhja".

Geomeetriliselt esitatakse kujuteldav ühik i tavaliselt kompleksitasandil (Argand'i või Gaussi tasand) vertikaalse koordinaadina: reaaltelg horisontaalselt, kujuteldav telg vertikaalselt. Sellisel kujul on kompleksarvade liit vektorite liit ja korrutamine vastab skaleerimisele ja pööramisele tasandil.

Reeglid ja omadused

• Põhivõrrand: i² = −1.
• Järelikult: i³ = −i, i⁴ = 1 ja tsükkel kordub.
• Korrutamisel kehtib distributiivsus ja kommutatiivsus samamoodi nagu reaalsetel arvudel; ainult, et i² asendab −1.
• Võrrandi x² + 1 = 0 lahendused on x = ±i (see näitab, et ruutjuur negatiivsest arvust on kujuteldav).

Kompleksarvud

Kujuteldavad arvud võivad olla osa suuremast arvuklassist, mida nimetatakse kompleksarvudeks. Iga kompleksarv kirjutatakse kujul a + bi, kus a on reaalarv (reaalosa) ja b on reaalarv (kujutaosa kordaja).

Põhitegevused:

• Liitmine: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
• Korrutamine: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i (siin kasutatakse i² = −1).
• Konjugaat: kompleksarvu a + bi konjugaat on a − bi; selle abil saab teostada jagamist.
• Modul (pikkus): |a + bi| = sqrt(a² + b²).
• Jagamine: (a + bi)/(c + di) = ((a + bi)(c − di))/(c² + d²), st korrutatakse nimetaja konjugaadiga.

Näide korrutamisest: (2 + 3i)(1 − 4i) = 2·1 − 2·4i + 3i·1 − 3i·4i = 2 − 8i + 3i − 12i² = 2 − 5i + 12 = 14 − 5i.

Polaarkuju ja Euler

Kompleksarvu saab esitada ka polaarkujul: a + bi = r(cos θ + i sin θ) = r e^iθ, kus r = |a + bi| ja θ on argumendi ehk faasi nurk. Euler'i valem e^iθ = cos θ + i sin θ seob trigonometria ja eksponentid ning on väga kasulik kõrgemates rakendustes (nt signaalitöötlus).

Olulised matemaatilised tulemused ja rakendused

• Kompleksarvude hulk (tähistus ℂ) moodustab väli: saab liita, korrutada, jagada (välja arvatud jagamine nulliga) ja kompleksomite seadused kehtivad. Kompleksarvude hulga tähtsaim omadus on see, et see on algebraalselt lõplik ehk Fundamentaalne algebra ütleb, et iga mittetühi polünoom reaalarvude või kompleksarvudega kordaja ühikuga omab kompleksarvude hulgas juurt.
• Rakendused tehnikas ja teaduses: elektriinsenerid kasutavad i (tihti sümbolina j, et vältida segadust voolu tähisega) vahelduvvoolu ja ahelate analüüsis; kvantfüüsikas ja kõrgeenergiafüüsikas esinevad kompleksarvud väga sageli; signaalitöötluses, juhtimissüsteemides, optikas, helmestiku võrrandites jpm on kompleksarvud hädavajalikud. Säilitage see link samas vormis: füüsikavaldkondades, näiteks kvantfüüsikas.
• Kompleksarvud võimaldavad lahendada võrrandeid, mis reaalarvude hulgas lahendust ei oma, ning lihtsustavad erinevate matemaatiliste probleemide käsitlemist (nt integraalide ja diferentsiaalvõrrandite lahendamine).

Lühike ajalooline ja mõttekas perspektiiv

Ajaloos avanes vajadus uute arvude järele järk-järgult: algul lisati null ja negatiivsed arvud, hiljem murdarvud, seejärel irratsionaalsed arvud ning lõpuks kujuteldavad ning kompleksarvud. Kuigi nimi imaginaarne võib tunduda eksitav, on i ja sellele rajanevad kompleksarvud matemaatiliselt sama "reaalsed" ja kasulikud kui teistegi tüüpi arvud; nad laiendavad meie võimet kirjeldada maailma ja lahendada võrrandeid.

Kokkuvõte

Kujuteldav ühik i on matemaatiline leiutis, millel on definitsioon i² = −1. Kujuteldavad arvud moodustavad koos reaalsete arvudega kompleksarvude hulga, kus iga arv on kujul a + bi. Kompleksarvude õppimine annab võimsa tööriista nii teoreetilises matemaatikas kui ka mitmesugustes rakendustes inseneriteaduses ja füüsikas.

Küsimused ja vastused

K: Mis on kujuteldav arv?

K: Mille poolest erinevad imaginaararvud negatiivsetest reaalarvudest?

Küsimus: Mida tähendab, kui ütleme "mine ida poole -i miili"?

K: Kuidas liidetakse kaks kujuteldavat arvu?

K: Mis on kompleksarvud?

K: Millistes valdkondades kasutavad matemaatikud kujuteldava ühiku mõistet?

Otsing