Imaginaarühik i: definitsioon, omadused ja näited

Imaginaarühik i: definitsioon, omadused ja näited — selge ülevaade i (=√−1), selle algebra, reeglid ja praktilised näited kompleksarvude rakendustes.

Autor: Leandro Alegsa

Matemaatikas on kujuteldavad ühikud ehk i arvud, mida saab esitada võrrandites, kuid mis viitavad väärtustele, mida füüsiliselt ei saa reaalses elus eksisteerida. Kujutlusühiku matemaatiline definitsioon on i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}, millel on omadus i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1}{\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} .

Põhjus, miks i loodi, oli vastata polünoomi võrrandile x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} {\displaystyle x^{2}+1=0}, millel tavaliselt ei ole lahendust, sest x 2 {\displaystyle x^{2}}{\displaystyle x^{2}} väärtus peaks olema võrdne -1. Kuigi ülesanne on lahendatav, ei saaks ruutjuurt -1 reaalses elus kujutada ühegi füüsikalise objektiga.

Põhijooned ja omadused

  • Definitsioon: i on arv, mille ruut on -1, s.t. i2 = −1.
  • Kahepoolne olemus: -1-l on kaks ruutjuurt: i ja −i. Seega kui i on üks ruutjuur, siis −i on teine.
  • Powersiklus: i võimsused kordavad iga 4 astme järel:
    • i0 = 1
    • i1 = i
    • i2 = −1
    • i3 = −i
    • i4 = 1 (ja tsükkel kordub)
    Üldine reegel: in = in mod 4.
  • Kompleksarvud: i abil saab moodustada kompleksarve kujul a + b i, kus a ja b on reaalarvud. Kompleksarvude hulka tähistatakse tavaliselt C.
  • Konjugaat ja absoluutväärtus: kui z = a + b i, siis z̄ = a − b i (konjugaat) ning |z| = sqrt(a2 + b2) (absoluutväärtus ehk moodul).

Tehteid kompleksarvudega

  • Lisana: (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i.
  • Korrutis: (a + b i)(c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc) i. Näide: (1 + 2i)(3 − i) = (1·3 − 2·(−1)) + (1·(−1) + 2·3)i = (3 + 2) + (−1 + 6)i = 5 + 5i.
  • Jagamine: 1/(a + b i) = (a − b i)/(a2 + b2). Seda kasutatakse, et eemaldada nimetajast i.

Geomeetriline ja eksponentsiaalne esitus

  • Kompleksplaan: arv a + b i esitatakse koordinaadina (a, b) komplekstasandil: x-telg on reaalarvud, y-telg imaginäärarvud. i vastab punktile (0, 1).
  • Polaar- ja eksponentsiaalne vorm: iga mitte-null kompleksarv z saab kirjutada kujul r(cos θ + i sin θ) või r eiθ, kus r = |z| ja θ on argument (nähtav nurk x-teljega). Euler'i valem: eiθ = cos θ + i sin θ.

Lahendid kvadratuurvõrranditele ja näited

  • Võrrand x2 + 1 = 0 lahendub kujul x = ±i — see oli üks peamisi motivaatoriid i defineerimiseks.
  • Näide 1: lahenda z2 = −4. Vastus: z = ±2i.
  • Näide 2: leidke pöördarv 1/(2 + 3i). Lahendus: (2 − 3i)/(22 + 32) = (2 − 3i)/13.

Rakendused ja tähendus

  • Tehnika ja inseneriteadus: elektri- ja elektroonikateoorias kasutatakse kompleksarve faasi- ja amplituudanalüüsiks (nt vahelduvvoolu ahelates).
  • Signaalitöötlus: Fourier' teisendus ja spektraalanalüüs toetuvad kompleksarvudele.
  • Füüsika ja kvantmehaanika: lainefunktsioonide ja faaside kirjeldamiseks kasutatakse sageli kompleksfunktsioone.
  • Matemaatika: komplexarvude hulk C on reaalarvude R laiendus, mis teeb polünoomidest „täidetud” (C on algebraline sulg), st igal mitte-konstandil polünoomil on komplekslahend.

Lõppsõnana: kuigi nimi "kujuteldav" võib viidata millelegi "mitteolevusele", on i matemaatikas täielikult kehtiv ja praktiline mõiste. See võimaldab kirjeldada ning lahendada ülesandeid, mis ilma komplekste arvudeta jääksid lahendamata või palju keerukamaks.

i ruutjuur

Mõnikord arvatakse, et i ruutjuure näitamiseks tuleb luua veel üks arv, kuid seda ei ole vaja. i ruutjuurt saab kirjutada järgmiselt: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}.
Seda saab näidata järgmiselt:

( ± 2 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\} } {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ }

= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ }

= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ } {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ } {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ }

= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad (i^{2}=-1)\ } {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ }

= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle =\frac {1}{2}}(2i)\ } {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ }

= i {\displaystyle =i\ } {\displaystyle =i\ }



Võimendid i

i jõud järgivad ettearvatavat mustrit:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} {\displaystyle i^{-3}=i}

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} {\displaystyle i^{-2}=-1}

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} {\displaystyle i^{-1}=-i}

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} {\displaystyle i^{0}=1}

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} {\displaystyle i^{1}=i}

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} {\displaystyle i^{2}=-1}

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} {\displaystyle i^{3}=-i}

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} {\displaystyle i^{4}=1}

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} {\displaystyle i^{5}=i}

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} {\displaystyle i^{6}=-1}

Seda saab näidata järgmise skeemi abil, kus n on suvaline täisarv:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} {\displaystyle i^{4n}=1}

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} {\displaystyle i^{4n+1}=i}

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} {\displaystyle i^{4n+2}=-1}

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} {\displaystyle i^{4n+3}=-i}

Seotud leheküljed

Küsimused ja vastused

Küsimus: Mis on kujuteldav ühik?


V: Imaginaarühik on arvväärtus, mis eksisteerib ainult väljaspool reaalarvu ja mida kasutatakse algebras.

K: Kuidas me kasutame kujuteldavat ühikut?


V: Me korrutame kujuteldava ühiku reaalarvuga, et luua kujuteldav arv.

K: Milleks kasutatakse kujuteldavaid arvusid?


V: Imaginaarvu saab kasutada paljude matemaatiliste probleemide lahendamiseks.

K: Kas me saame kujutada kujuteldavat arvu reaalarvu objektidega?


V: Ei, me ei saa kujutada kujuteldavat arvu reaalsete objektidega.

K: Kust pärineb kujuteldav arv?


V: Kujutlusühik pärineb matemaatikast ja algebrast.

K: Kas kujuteldav ühik on osa reaalarvudest?


V: Ei, see eksisteerib väljaspool reaalarvude valdkonda.

K: Kuidas arvutatakse kujuteldavat arvu? V: Imaginaarvu arvutatakse, kui reaalarv korrutatakse imaginaarühikuga.


Otsige
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3