Imaginaarühik

Matemaatikas on kujuteldavad ühikud ehk i arvud, mida saab esitada võrrandites, kuid mis viitavad väärtustele, mida füüsiliselt ei saa reaalses elus eksisteerida. Kujutlusühiku matemaatiline definitsioon on i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} $i={\sqrt {-1}}$ , millel on omadus i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ .

Põhjus, miks i loodi, oli vastata polünoomi võrrandile x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , millel tavaliselt ei ole lahendust, sest x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ väärtus peaks olema võrdne -1. Kuigi ülesanne on lahendatav, ei saaks ruutjuurt -1 reaalses elus kujutada ühegi füüsikalise objektiga.

i ruutjuur

Mõnikord arvatakse, et i ruutjuure näitamiseks tuleb luua veel üks arv, kuid seda ei ole vaja. i ruutjuurt saab kirjutada järgmiselt: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
Seda saab näidata järgmiselt:

( ± 2 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\} } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ } {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle =\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Võimendid i

i jõud järgivad ettearvatavat mustrit:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

Seda saab näidata järgmise skeemi abil, kus n on suvaline täisarv:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

Seotud leheküljed

Kompleksarv
Kujuteldav arv
Reaalarv
Euleri identiteet

Küsimused ja vastused

Küsimus: Mis on kujuteldav ühik?

V: Imaginaarühik on arvväärtus, mis eksisteerib ainult väljaspool reaalarvu ja mida kasutatakse algebras.

K: Kuidas me kasutame kujuteldavat ühikut?

V: Me korrutame kujuteldava ühiku reaalarvuga, et luua kujuteldav arv.

K: Milleks kasutatakse kujuteldavaid arvusid?

V: Imaginaarvu saab kasutada paljude matemaatiliste probleemide lahendamiseks.

K: Kas me saame kujutada kujuteldavat arvu reaalarvu objektidega?

V: Ei, me ei saa kujutada kujuteldavat arvu reaalsete objektidega.

K: Kust pärineb kujuteldav arv?

V: Kujutlusühik pärineb matemaatikast ja algebrast.

K: Kas kujuteldav ühik on osa reaalarvudest?

V: Ei, see eksisteerib väljaspool reaalarvude valdkonda.

K: Kuidas arvutatakse kujuteldavat arvu? V: Imaginaarvu arvutatakse, kui reaalarv korrutatakse imaginaarühikuga.