Matemaatikas on kujuteldavad ühikud ehk i arvud, mida saab esitada võrrandites, kuid mis viitavad väärtustele, mida füüsiliselt ei saa reaalses elus eksisteerida. Kujutlusühiku matemaatiline definitsioon on i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}, millel on omadus i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1}{\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} .

Põhjus, miks i loodi, oli vastata polünoomi võrrandile x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} {\displaystyle x^{2}+1=0}, millel tavaliselt ei ole lahendust, sest x 2 {\displaystyle x^{2}}{\displaystyle x^{2}} väärtus peaks olema võrdne -1. Kuigi ülesanne on lahendatav, ei saaks ruutjuurt -1 reaalses elus kujutada ühegi füüsikalise objektiga.

Põhijooned ja omadused

  • Definitsioon: i on arv, mille ruut on -1, s.t. i2 = −1.
  • Kahepoolne olemus: -1-l on kaks ruutjuurt: i ja −i. Seega kui i on üks ruutjuur, siis −i on teine.
  • Powersiklus: i võimsused kordavad iga 4 astme järel:
    • i0 = 1
    • i1 = i
    • i2 = −1
    • i3 = −i
    • i4 = 1 (ja tsükkel kordub)
    Üldine reegel: in = in mod 4.
  • Kompleksarvud: i abil saab moodustada kompleksarve kujul a + b i, kus a ja b on reaalarvud. Kompleksarvude hulka tähistatakse tavaliselt C.
  • Konjugaat ja absoluutväärtus: kui z = a + b i, siis z̄ = a − b i (konjugaat) ning |z| = sqrt(a2 + b2) (absoluutväärtus ehk moodul).

Tehteid kompleksarvudega

  • Lisana: (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i.
  • Korrutis: (a + b i)(c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc) i. Näide: (1 + 2i)(3 − i) = (1·3 − 2·(−1)) + (1·(−1) + 2·3)i = (3 + 2) + (−1 + 6)i = 5 + 5i.
  • Jagamine: 1/(a + b i) = (a − b i)/(a2 + b2). Seda kasutatakse, et eemaldada nimetajast i.

Geomeetriline ja eksponentsiaalne esitus

  • Kompleksplaan: arv a + b i esitatakse koordinaadina (a, b) komplekstasandil: x-telg on reaalarvud, y-telg imaginäärarvud. i vastab punktile (0, 1).
  • Polaar- ja eksponentsiaalne vorm: iga mitte-null kompleksarv z saab kirjutada kujul r(cos θ + i sin θ) või r eiθ, kus r = |z| ja θ on argument (nähtav nurk x-teljega). Euler'i valem: eiθ = cos θ + i sin θ.

Lahendid kvadratuurvõrranditele ja näited

  • Võrrand x2 + 1 = 0 lahendub kujul x = ±i — see oli üks peamisi motivaatoriid i defineerimiseks.
  • Näide 1: lahenda z2 = −4. Vastus: z = ±2i.
  • Näide 2: leidke pöördarv 1/(2 + 3i). Lahendus: (2 − 3i)/(22 + 32) = (2 − 3i)/13.

Rakendused ja tähendus

  • Tehnika ja inseneriteadus: elektri- ja elektroonikateoorias kasutatakse kompleksarve faasi- ja amplituudanalüüsiks (nt vahelduvvoolu ahelates).
  • Signaalitöötlus: Fourier' teisendus ja spektraalanalüüs toetuvad kompleksarvudele.
  • Füüsika ja kvantmehaanika: lainefunktsioonide ja faaside kirjeldamiseks kasutatakse sageli kompleksfunktsioone.
  • Matemaatika: komplexarvude hulk C on reaalarvude R laiendus, mis teeb polünoomidest „täidetud” (C on algebraline sulg), st igal mitte-konstandil polünoomil on komplekslahend.

Lõppsõnana: kuigi nimi "kujuteldav" võib viidata millelegi "mitteolevusele", on i matemaatikas täielikult kehtiv ja praktiline mõiste. See võimaldab kirjeldada ning lahendada ülesandeid, mis ilma komplekste arvudeta jääksid lahendamata või palju keerukamaks.