Distributiivsus (jaotus): definitsioon, omadused ja näited

Jaotus on algebrast pärit mõiste: see ütleb, kuidas binaarseid operatsioone tuleb käsitleda. Kõige lihtsam juhtum on arvude liitmine ja korrutamine. Näiteks aritmeetikas:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), kuid 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

Esimese võrrandi vasakul poolel korrutab 2 1 ja 3 summa; paremal poolel korrutab ta 1 ja 3 eraldi, mille produktid liidetakse seejärel. Kuna need annavad sama lõppvastuse (8), siis öeldakse, et 2ga korrutamine jagab üle 1 ja 3 liitmise. Kuna ülaltoodud 2, 1 ja 3 asemele oleks võinud panna mis tahes reaalarvud ja saada ikkagi tõese võrrandi, siis ütleme, et reaalarvude korrutamine jaotub reaalarvude liitmise üle.

Formaalne definitsioon

Jaotuvus kahe binaarse operaatori suhtes kirjeldatakse tavaliselt nii. Olgu S mingi hulk ja operatsioonid + ja · (või ∘) hulgal S. Siis · jaotub + üle, kui iga a, b, c ∈ S korral kehtib

a · (b + c) = (a · b) + (a · c) (see on vasakpoolne jaotuvus).

Kui lisaks kehtib ka

(b + c) · a = (b · a) + (c · a), siis öeldakse, et · jaotub + mõlemalt poolt (või operatsioon on nii vasak- kui ka parempoolne jaotuv).

Näited

Reaalarvud: korrutamine jaotub liitmise üle: a(b + c) = ab + ac.
Maatriksid: ruutmaatriksite korrutamine jaotub maatriksite liitmise üle: A(B + C) = AB + AC ning (B + C)A = BA + CA.
Vektorruumid ja lineaaroperatorid: skalaarkorrutamine jaotub vektorite liitmise üle: λ(u + v) = λu + λv. Lineaarsed pärlid (lineaarsed transformatsioonid) on samuti liidetavad ja kompositsioon jaotub liitmise üle, kui tegemist on lineaarsusega.
Hulgateooria: lõike (∩) ja ühinemise (∪) vahel on jaotuvus: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ning A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Boolsed algebraid: AND ja OR jagunevad teineteise üle (mõlemad suunad kehtivad), mis on olulised loogika ja digitaalsete vooluahelate aluseks.

Mittekäivad juhtumid (vastunäited)

Jagamine: tavaliselt ei jaotu jagamine liitmise üle: 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).
Vähendamine (lahutamine): lahutamine ei jaotu liitmise üle. Näide: 2 − (1 + 3) = −2, aga (2 − 1) + (2 − 3) = 0.
Eksponentide puhul: üldiselt a^(b+c) ≠ a^b + a^c (välja arvatud erijuhtudel), seega astendamine ei jaotu liitmise üle.

Olulised omadused ja järeldused

Vasak- ja parempoolne jaotuvus: mõnikord kehtib jaotuvus ainult ühest suunast; näiteks mõnes struktuuris võib olla vaid vasakpoolne jaotuvus. Kui mõlemad pooled kehtivad, siis on tegemist täieliku (mõnikord lihtsalt "jaotuva") operaatoriga.
Tühielemendi mõju: kui hulgal on null-element 0 ja · jaotub + üle, siis tuleb tavaliselt järeldada a · 0 = 0 ja 0 · a = 0 (see eeldab, et liitmisel on vastupidine element või kasutatakse ringi struktuuri). Näiteks ringides saadakse a·0 = a·(0+0) = a·0 + a·0 ⇒ a·0 = 0.
Faktoritõlgendus: jaotus võimaldab tehteid "arendada" (nt (a+b)·c = a·c + b·c) ja ka tehtud liikmete järgi tegutseda (faktor välja tõsta): a·b + a·c = a·(b+c).
Struktuuriteoreemid: paljud algebraatilised struktuurid (nt ringid, väljad, algebrad, keha) nõuavad või kasutavad jaotuvust sisemise loogika õigeks toimimiseks.

Kiired tõestuselemendid

Reaalarvude korrutamise ja liitmise jaotuvuse lihtne tõestus tugineb distributiivsuse aritmeetilisele definitsioonile ja tavapärastele numbrilistele omadustele — seda õpetatakse algõppes ja kinnitatakse reaalarvude algebraliste aksioomidega.

Maatriksite puhul võib näidata komponentide kaupa: kui A, B ja C on sobiva mõõtmega maatriksid, siis (A(B+C))_{ij} = Σ_k A_{ik}(B+C)_{kj} = Σ_k A_{ik}(B_{kj}+C_{kj}) = Σ_k (A_{ik}B_{kj} + A_{ik}C_{kj}) = (AB)_{ij} + (AC)_{ij}.

Märkused ja rakendused

Jaotuvus on igapäevases arvutamises tähtis lihtsustamaks avaldisi ja lahendades võrrandeid (näiteks faktoreerimine ja lahtiarendamine).
Arvutiteaduses ja loogikas kasutatakse distributiivsuse seadusi väljendite ümberkorrastamiseks ja optimeerimiseks (nt päringute optimeerimine andmebaasides, loogika optimeerimine digitaalsetes vooluringides).
Kui töötad mingis konkreetses struktuuris (nt rühm, ring, väli, eesliides), tasub kontrollida, kas jaotuvus on selle struktuuri osa — see määrab, milliseid teisendusi võid ohutult teha.

Kokkuvõttes on jaotus üks algebralise manipulatsiooni põhiseadusi: see ütleb, kuidas üks operatsioon "laieneb" üle teise ja võimaldab avaldisi lihtsustada, ümber korraldada ja analüüsida paljudes matemaatika- ja rakendusvaldkondades.

Määratlus

Kui on antud hulk $S$ ja kaks binaarset operaatorit ∗ ja + $S$ peal, siis ütleme, et operatsioon:

∗ on vasakpoolselt jaotatav üle +, kui $S-i$ mis tahes elemendid $x, y$ ja $z$ on antud $,$

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ on parempoolselt jaotatav üle +, kui $S-i$ mis tahes elemendid $x, y$ ja $z$ on antud $,$

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ ja

∗ on distributiivne üle +, kui see on vasak- ja parempoolne distributiivne. Pange tähele, et kui ∗ on kommutatiivne, on kolm eespool esitatud tingimust loogiliselt samaväärsed.

Applcations

Jaotusväärtust saab rakendada ka:

Reaalarvud
Kompleksarvud
Maatriksid (kohaldatakse erieeskirju)
Vektorid (kohaldatakse erieeskirju)
Komplektid
Propositsiooniline loogika

Küsimused ja vastused

K: Mis on jaotus algebras?

V: Jaotus on mõiste algebras, mis kirjeldab, kuidas käideldakse binaarsete operatsioonide, näiteks liitmise ja korrutamise puhul.

K: Kas te oskate tuua näite jaotuse kohta aritmeetikas?

V: Jah, näide jaotuse kohta aritmeetikas on 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), kus vasakul poolel korrutab 2 1 ja 3 summa, paremal poolel korrutab 2 1 ja 3 eraldi, kusjuures produktid liidetakse pärast seda kokku.

K: Miks on jaotuse mõiste algebras oluline?

V: Jaotuse mõiste on algebras oluline, sest see aitab võrrandeid lihtsustada ja lihtsustab nende lahendamist.

K: Kas korrutamine jaotub kõigi reaalarvude liitmise üle?

V: Jah, reaalarvude korrutamine jaguneb reaalarvude liitmise üle, mis tähendab, et aritmeetikas kasutatava jaotuse näites kasutatud võrrandi väärtuste asemele võib panna mis tahes reaalarvud ja saada ikkagi õige võrrandi.

Küsimus: Kas liitmine on igal juhul jagatav üle korrutamise?

V: Ei, liitmine ei ole igal juhul jagatav võrreldes korrutamisega; see kehtib ainult teatavate arvude, näiteks reaalarvude puhul.

K: Kas te oskate tuua näite, kus jaotus ei kehti?

V: Jah, vastu näide, kus jaotus ei kehti, on 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). Sel juhul ei ole vasakpoolne võrrand võrdne parempoolse võrrandiga, sest jagamine ei jaotu liitmise üle.

K: Kuidas jaotamine kehtib binaarsete operatsioonide puhul?

V: Algebra jaotamine kehtib konkreetselt binaarsete operatsioonide, näiteks liitmise ja korrutamise puhul, kus kirjeldatakse, kuidas operatsioone tuleb teostada, kui operante on rohkem kui üks.