Binaarne operatsioon: definitsioon, omadused ja näited matemaatikas

Binaarne operatsioon: selge definitsioon, põhiomadused ja praktilised näited matemaatikas (liit, korrutamine, maatriksid, funktsioonide kompositsioon) õppimiseks.

Matemaatikas on binaarne operatsioon määratud reegel või teisendus, mida sageli tähistatakse sümboliga * ja mis kombineerib kogumi kahe elemendi paari, andes tulemuseks sama kogumi elemendi. Formaalselt öeldes on binaarne operatsioon * määratud hulga S korral kujul * : S × S → S, mis tähendab, et iga paari (a, b) jaoks hulgast S määratakse üheselt kindel element a * b samuti hulgast S. Oluline on, et tulemuseks oleks jälle sama hulk (see omadus nimetatakse sulgemiseks).

Definitsioon ja tähistus

Kui S on mingi hulk ja * on binaarne operatsioon selle hulga peal, siis kirjutatakse sageli a * b või lihtsalt ab, olenevalt konventatsioonist. Näiteks, kui S = {naturaalarvud} ja * = liitmine, siis iga kahe naturaalarvu a ja b summa a * b = a + b on samuti naturaalarv — operatsioon on sulge.

Põhiomadused

• Sulgemisomadus: a, b ∈ S → a * b ∈ S.
• Assotsiatiivsus: (a * b) * c = a * (b * c) kõigi a, b, c ∈ S korral. Näiteks liitmine ja korrutamine on assotsiatiivsed.
• Kommutatiivsus: a * b = b * a kõigi a, b korral. Liitmine ja korrutamine reaalarvude puhul on kommutatiivsed, kuid funktsioonide kompositsioon seda tavaliselt ei ole.
• Neutraalelement (identiteet): selline e ∈ S, et e * a = a * e = a iga a ∈ S korral. Näideteks 0 liitmises ja 1 korrutamises.
• Inverselemendid: mõne operatsiooni puhul leidub iga a ∈ S jaoks element a⁻¹, nii et a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e (näiteks reaalarvude puhul jagamisel on iga mitte‑null arvu käänarv).
• Idempotentsus: a * a = a (kehtib näiteks hulgateoorias lõikumise ja liidu jaoks mõningates kontekstides).
• Distributiivsus: üks operatsioon võib jaotuda üle teise: a * (b + c) = (a * b) + (a * c). Näiteks korrutamine jaguneb liitmise üle reaalarvude puhul.

Näited

Lihtsad aritmeetilised näited: kui võtame paariks naturaalarvu ja võtame * = liitmine, siis nende summa on jälle naturaalarv ning on binaarse operatsiooni tulemus. Teine näide on korrutamine: 2 ja 3 korrutamisel saame 6, mis on jälle naturaalarv.

Muud näited:

• Maatriksite vaheline summa (liitmine) — kahe sama mõõtmega maatriksi liitmine annab uue sama mõõtmega maatriksi ja on sulge.
• Funktsioonide kompositsioon — kui f ja g on funktsioonid ühest hulgast teise nii, et koostamine on defineeritud, siis f ∘ g on samuti funktsioon; kompositsioon on assotsiatiivne, aga tavaliselt mitte kommutatiivne.
• Kogumite liit ja lõikumine — kahe alamhulga liit (ühend) ja lõikumine on binaarsed operatsioonid võimsuste hulgal ja mõlemad on idempotentsed: A ∪ A = A, A ∩ A = A.
• Loogikas AND (ja) ja OR (või) operatsioonid B = {T, F} hulga peal — need on binaarsed ning moodustavad Booli algebra.
• Mõned operatsioonid ei ole sulged: näiteks naturaalarvude puhul lahutamine või jagamine ei pruugi anda alati naturaalarvu (nt 3 − 5 või 1 ÷ 2).

Algebraatilised struktuurid, mis kasutavad binaarseid operatsioone

• Magma: hulk koos ühe binaarse operatsiooniga (puuduvad täiendavad nõuded peale sulgemise).
• Semigrupi: magma, mille operatsioon on assotsiatiivne.
• Monoid: semigrupp, millel on neutraalelement.
• Rühm: monoid, kus iga elementil on invers.
• Rõngas ja väli: struktuurid, kus on kaks binaarset operatsiooni (nt liitmine ja korrutamine), mis rahuldavad täiendavaid akseeme nagu distributiivsus.

Kokkuvõte

Binaarne operatsioon on fundamentaalne mõiste matemaatikas: see on reegel, mis kombineerib kahe elemendi ja tagastab uue elemendi samast hulgast. Tema omadused (assotsiatiivsus, kommutatiivsus, neutraalelement, inversid, distributiivsus jpt) määravad, milliseid täiendavaid struktuure ja teoreeme saab sellel alusel üles ehitada. Paljud tuttavad tegevused — liitmine, korrutamine, maatriksite liit, funktsioonide kompositsioon ning hulgateooria operatsioonid — on kõik binaarsed operatsioonid, igaühel oma eripära ja rakendused.

Küsimused ja vastused

K: Mis on binaarne operatsioon?

K: Kuidas tähistatakse matemaatikas binaarset operatsiooni?

K: Mis on näide binaarsest operatsioonist naturaalarvudega?

K: Mis on binaarsete operatsioonide kohaldamise tulemus paarile naturaalarvudele?

K: Kas binaaroperatsioone saab rakendada ka teiste matemaatiliste objektide suhtes peale arvude?

K: Millised on mõned näited binaarsetest operatsioonidest hulkade peal?

K: Millises kogumis saab teha kahte erinevat binaarset operatsiooni?

Otsing