Maatriks – definitsioon, omadused ja rakendused lineaaralgebras

Maatriksi horisontaalseid jooni nimetatakse ridadeks ja vertikaalseid jooni veergudeks. Maatriksit, millel on m rida ja n veergu, nimetatakse m × n maatriksiksiks (või m × n maatriksiksiks) ning m ja n on selle mõõtmed.

Kohtasid maatriksis, kus numbrid on, nimetatakse kirjeteks. Maatriksi A kirjet, mis asub rea number i ja veeru number j, nimetatakse A i,j kirjeks. Seda kirjutatakse kui A[i,j] või _ai,j.

Kirjutame A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}, et defineerida m × n maatriks A, mille iga maatriksi kirjet nimetatakse _ai,j kõigi 1 ≤ i ≤ m ja 1 ≤ j ≤ n jaoks.

Näide

Maatriks

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\\1&2&7\\\4&9&2\\\6&1&5\end{bmatrix}}}

on 4×3 maatriks. Sellel maatriksil on m=4 rida ja n=3 veergu.

Element A[2,3] või a2_,3 on 7.

Lisandumine

Kahe maatriksi summa on maatriks, mille (i,j)-ndas kirje on võrdne kahe maatriksi (i,j)-ndate kirjete summaga:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Mõlemal maatriksil on samad mõõtmed. Siin kehtib A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A}.

Kahe maatriksi korrutamine

Kahe maatriksi korrutamine on veidi keerulisem:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ] ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\\end{bmatrix}}}

Nii ka Numbers:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\\1&4\\\\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\\5&0\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• kahte maatriksit saab omavahel korrutada, isegi kui neil on erinevad mõõtmed, kui esimese maatriksi veergude arv on võrdne teise maatriksi ridade arvuga.
• korrutamise tulemus, mida nimetatakse produktiks, on teine maatriks, millel on sama arv ridu kui esimesel maatriksil ja sama arv veerge kui teisel maatriksil.
• maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, mis tähendab üldiselt, et A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}
• maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, mis tähendab, et ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

On mõned maatriksid, mis on erilised.

Ruutmaatriks

Ruutmaatriksil on ridade ja veergude arv võrdne, seega m=n.

Ruutmaatriksi näide on

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\\0&9&1\\\-7&6&8\\\\\end{bmatrix}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\\\-7&6&8\\\\\end{bmatrix}}

Sellel maatriksil on 3 rida ja 3 veergu: m=n=3.

Identiteet

Igal maatriksi ruudu mõõtmete hulgal on eriline vaste, mida nimetatakse "identiteedimaatriksiksiksiks". Identiteedimaatriksis on ainult nullid, välja arvatud põhidiagonaalil, kus on kõik nullid. Näiteks:

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\\0&1&0\\0&0&1\\\\\end{bmatrix}}

on identne maatriks. Iga ruudu mõõtmete kogumi jaoks on täpselt üks identsusmaatriks. Identiteedimaatriks on eriline, sest mis tahes maatriksi korrutamisel identiteedimaatriksiga on tulemuseks alati algne maatriks ilma muutusteta.

Inversne maatriks

Inversmaatriks on maatriks, mis teise maatriksiga korrutamisel on võrdne identsusmaatriksiga. Näiteks:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\\6&7\\\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\\-6&7\\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\\0&1\\\\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\\-6&7\\\\\end{bmatrix}} on [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\\6&7\\\\\end{bmatrix}}} pöördväärtus.} .

2x2-maatriksi pöördvõrrandi valem [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}} on:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\\-z&x\end{bmatrix}}}

Kus d e t {\displaystyle det} on maatriksi determinant. 2x2 maatriksi puhul on determinant võrdne:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Ühe veeru maatriks

Maatriksit, millel on palju ridu, kuid ainult üks veerg, nimetatakse veeruvektoriks.

Determinant võtab ruutmaatriksi ja arvutab lihtsa arvu, skalaari. Et mõista, mida see arv tähendab, võtke maatriksi iga veerg ja joonistage see vektorina. Nende vektorite poolt joonistatud parallelogrammil on pindala, mis on determinant. Kõigi 2x2-maatriksite puhul on valem väga lihtne: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

3x3-maatriksite puhul on valem keerulisem: det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Suuremate maatriksite determinantide jaoks ei ole lihtsaid valemeid ja paljud arvutiprogrammeerijad uurivad, kuidas panna arvutid kiiresti leidma suuri determinante.

Determinantide omadused

On kolm reeglit, mida kõik määrajad järgivad. Need on järgmised:

• Identiteedimaatriksi determinant on 1
• Kui maatriksi kaks rida või kaks veergu vahetatakse, siis korrutatakse determinant -1-ga. Matemaatikud nimetavad seda vahelduvaks.
• Kui kõik ühes reas või veerus olevad arvud korrutatakse teise arvuga n, siis korrutatakse determinant n-ga. Samuti, kui maatriksil M on veerg v, mis on kahe veeru maatriksi v 1 {\displaystyle v_{1}} ja v 2 {\displaystyle v_{2}} summa. , siis on M determinant M determinantide summa, kui v 1 {\displaystyle v_{1}} on v asemel ja M, kui v 2 {\displaystyle v_{2}} on v asemel. Neid kahte tingimust nimetatakse multilineaarsuseks.

• Lineaaralgebra
• Numbriline lineaaralgebra