Maatriks – definitsioon, omadused ja rakendused lineaaralgebras

Matemaatikas on maatriks (mitmuses: maatriksid) ridadesse ja veergudesse paigutatud numbrite ristkülik. Rida on iga horisontaalne joon vasakult paremale ning veerg kulgeb ülevalt alla (vertikaalselt). Vasakpoolne ülemine lahter on tavaliselt indekseeritud reas 1, veerus 1 (vt joonis paremal). Maatriksit tähistatakse tavaliselt suurtähega (näiteks A), ning selle elemente alamindeksitega aij, kus i on rea indeks ja j veeru indeks.

Põhimõisted ja vormid

Maatriksil on dimensioon ehk suurus m × n, kus m on ridade ja n veergude arv. Erijuhtud:

Rida (1 × n) — ühemõõtmeline maatriks, mis koosneb ühest reast.
Veerg (m × 1) — ühemõõtmeline maatriks, mis koosneb ühest veerust.
Ruutmaatriks (n × n) — sama arvu ridade ja veergudega; ainult ruutmaatriksitel on pöördmaatriks ja determinant.
Higher-order (nt 3D-) maatriksid — mõnes kontekstis räägitakse ka kõrgema dimensionaalsuse tensoritest; tavapärases lineaaralgebras piirdutakse kahe mõõtmega.

Peamised operatsioonid

Maatriksitega on defineeritud mitmeid operatsioone, mille reeglid erinevad skalaaride reeglitest:

Liitmine ja lahutamine: võimalik ainult sama suurusega maatriksite vahel; elementhaaval liitmine: (A + B)ij = Aij + Bij.
Skalaarkorrutis: maatriksi iga elementi korrutatakse skalaariga c: (cA)ij = c·Aij.
Korrutamine: kahte maatriksit A (m × n) ja B (n × p) saab korrutada, tulemuseks on maatriks C (m × p), kus Cij = Σk Aik·Bkj. Seega päris alati A·B ei ole defineeritud ja sageli ei kehti A·B = B·A. Näide: A ⋅ B $A\cdot B$ ei pruugi olla võrdne B ⋅ A $B\cdot A$ , mis erineb skalaaride omavahelisest korrutamisest.
Transponeerimine: maatriksi A transponeeritud A^T saadakse, kui read ja veerud vahetada: (A^T)ij = Aji.

Olulised omadused

Assotsiatiivsus korrutamisel: (AB)C = A(BC), kui kõik korrutised on defineeritud.
Distribuutivsus: A(B + C) = AB + AC ja (A + B)C = AC + BC.
Mittesümmeetrilisus ehk mittekommutatiivsus: üldiselt AB ≠ BA.
Null- ja ühikmaatriks: nullmaatriks 0 koosneb ainult nullidest; ühikmaatriks I (ruutmaatriks) rahuldab IA = AI = A.
Rea- ja veeruaste ehk rank (matrika rank) näitab, mitu lineaarselt sõltumatut rida (või veergu) maatriksil on; rank ≤ min(m,n).

Erimatriksid

Diagonaalmaatriks: kõik mittediagonaalsed elemendid on null; kui kõik diagonaalil olevad elemendid on ühesuurused, nimetatakse seda skalaarmatriksiks.
Sümeetriline maatriks: A^T = A (kehtib ruutmaatriksite puhul).
Skew-sümeetriline (antisümeetriline): A^T = −A.
Ortonormaalne maatriks: ruutmaatriks Q, mille korral Q^T Q = I (ja Q^−1 = Q^T) — kasutatakse paljudes teisendustes.

Determinant ja pöördmatrix

Ruutmaatriksi A determinant det(A) on skalaarkuju, mida kasutatakse mitmes probleemi lahenduses (nt süsteemide lahendamisel ja pöördmatrixi olemasolu kontrollimisel). Ruutmaatriksil A on pöördmaatriks A^−1 ainult siis, kui det(A) ≠ 0 ning A A^−1 = A^−1 A = I. Pöördmaatriksi leidmise meetodid sisaldavad näiteks Gaussi elimineerimist ja adjunktmatriksi (klassikaline leidmine väiksemate maatriksite determinantide kaudu) kasutamist.

Maatriksite rakendused

Maatrikse kasutatakse laialdaselt loodus- ja täppisteadustes ning tehnoloogias. Näited:

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine: Ax = b, kus A on koefitsiendimaatriks, x tundmatute vektor ja b vabaliikmete vektor.
Kompuutergraafika: pöörded, skalad ja translatsioonid esitatakse transformatsioonimaatriksite abil; ühetaoliste teisenduste kombineerimine saavutatakse maatriksite korrutamisega.
Füüsika ja inseneriteadus: tensori- ja transformatsioonide kirjeldamiseks, näiteks staatika ja dünaamika, optika ja kvantmehaanika valemites.
Statistika ja andmeteadus: andmete transformatsioon, regressioonianalüüs ja kovariantsimaatriksid.
Masinõpe: kaalude ja aktivatsioonide lineaarsete kombinatsioonide esitus, lineaaralgebra on sügavate võrguoperatsioonide alus.
Arvutiteadus: graafiteooria (naabrusmaatriksid), pildi- ja signaalitöötlus ning algoritmid, kus kasutatakse suurtel maatriksitel põhinevat optimeerimist ja dekompositsioone (nt SVD).

Täiustused ja õppetunnid

Lineaaralgebra (mõnikord nimetatud lineaaralgebraks) on enamikus ülikoolides varajane õppeaine ja omab palju rakendusi, sealhulgas arvutiteaduses. Maatriksite reeglid — näiteks see, et maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne — on olulised mõistmaks, kuidas suuremahulised lineaarsete süsteemide teisendused toimivad. Kokkuvõttes on maatriks tugev ja universaalne tööriist nii teoorias kui rakendustes.

Maatriksi konkreetsetele kirjetele viidatakse sageli, kasutades allmärkide paare, mis tähistavad numbreid igas reas ja veerus.

Mõisted ja märked

Maatriksi horisontaalseid jooni nimetatakse ridadeks ja vertikaalseid jooni veergudeks. Maatriksit, millel on m rida ja n veergu, nimetatakse m × n maatriksiksiks (või m × n maatriksiksiks) ning m ja n on selle mõõtmed.

Kohtasid maatriksis, kus numbrid on, nimetatakse kirjeteks. Maatriksi A kirjet, mis asub rea number i ja veeru number j, nimetatakse A i,j kirjeks. Seda kirjutatakse kui A[i,j] või _ai,j.

Kirjutame A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}} $A:=(a_{ij})_{m\times n}$ , et defineerida m × n maatriks A, mille iga maatriksi kirjet nimetatakse _ai,j kõigi 1 ≤ i ≤ m ja 1 ≤ j ≤ n jaoks.

Näide

Maatriks

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\\1&2&7\\\4&9&2\\\6&1&5\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}$

on 4×3 maatriks. Sellel maatriksil on m=4 rida ja n=3 veergu.

Element A[2,3] või a2_,3 on 7.

Operatsioonid

Lisandumine

Kahe maatriksi summa on maatriks, mille (i,j)-ndas kirje on võrdne kahe maatriksi (i,j)-ndate kirjete summaga:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

Mõlemal maatriksil on samad mõõtmed. Siin kehtib A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} $A+B=B+A$ .

Kahe maatriksi korrutamine

Kahe maatriksi korrutamine on veidi keerulisem:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ] ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrix}}$

Nii ka Numbers:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\\1&4\\\\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\\5&0\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}$

kahte maatriksit saab omavahel korrutada, isegi kui neil on erinevad mõõtmed, kui esimese maatriksi veergude arv on võrdne teise maatriksi ridade arvuga.
korrutamise tulemus, mida nimetatakse produktiks, on teine maatriks, millel on sama arv ridu kui esimesel maatriksil ja sama arv veerge kui teisel maatriksil.
maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, mis tähendab üldiselt, et A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A} $A\cdot B\neq B\cdot A$
maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, mis tähendab, et ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)} $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$

Erilised maatriksid

On mõned maatriksid, mis on erilised.

Ruutmaatriks

Ruutmaatriksil on ridade ja veergude arv võrdne, seega m=n.

Ruutmaatriksi näide on

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\\0&9&1\\\-7&6&8\\\\\end{bmatrix}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\\\-7&6&8\\\\\end{bmatrix}} ${\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\\-7&6&8\\\end{bmatrix}}$

Sellel maatriksil on 3 rida ja 3 veergu: m=n=3.

Identiteet

Igal maatriksi ruudu mõõtmete hulgal on eriline vaste, mida nimetatakse "identiteedimaatriksiksiksiks". Identiteedimaatriksis on ainult nullid, välja arvatud põhidiagonaalil, kus on kõik nullid. Näiteks:

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\\0&1&0\\0&0&1\\\\\end{bmatrix}} ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

on identne maatriks. Iga ruudu mõõtmete kogumi jaoks on täpselt üks identsusmaatriks. Identiteedimaatriks on eriline, sest mis tahes maatriksi korrutamisel identiteedimaatriksiga on tulemuseks alati algne maatriks ilma muutusteta.

Inversne maatriks

Inversmaatriks on maatriks, mis teise maatriksiga korrutamisel on võrdne identsusmaatriksiga. Näiteks:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\\6&7\\\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\\-6&7\\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\\0&1\\\\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\\-6&7\\\\\end{bmatrix}} on [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\\6&7\\\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}$ pöördväärtus.} ${\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}$ .

2x2-maatriksi pöördvõrrandi valem [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}} on:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\\-z&x\end{bmatrix}}} $\left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}$

Kus d e t {\displaystyle det} $det$ on maatriksi determinant. 2x2 maatriksi puhul on determinant võrdne:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}} ${xv-yz}$

Ühe veeru maatriks

Maatriksit, millel on palju ridu, kuid ainult üks veerg, nimetatakse veeruvektoriks.

Determinandid

Determinant võtab ruutmaatriksi ja arvutab lihtsa arvu, skalaari. Et mõista, mida see arv tähendab, võtke maatriksi iga veerg ja joonistage see vektorina. Nende vektorite poolt joonistatud parallelogrammil on pindala, mis on determinant. Kõigi 2x2-maatriksite puhul on valem väga lihtne: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc} $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc$

3x3-maatriksite puhul on valem keerulisem: det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})} $\det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})$

Suuremate maatriksite determinantide jaoks ei ole lihtsaid valemeid ja paljud arvutiprogrammeerijad uurivad, kuidas panna arvutid kiiresti leidma suuri determinante.

Determinantide omadused

On kolm reeglit, mida kõik määrajad järgivad. Need on järgmised:

Identiteedimaatriksi determinant on 1
Kui maatriksi kaks rida või kaks veergu vahetatakse, siis korrutatakse determinant -1-ga. Matemaatikud nimetavad seda vahelduvaks.
Kui kõik ühes reas või veerus olevad arvud korrutatakse teise arvuga n, siis korrutatakse determinant n-ga. Samuti, kui maatriksil M on veerg v, mis on kahe veeru maatriksi v 1 {\displaystyle v_{1}} $v_{1}$ ja v 2 {\displaystyle v_{2}} summa. $v_{2}$ , siis on M determinant M determinantide summa, kui v 1 {\displaystyle v_{1}} $v_{1}$ on v asemel ja M, kui v 2 {\displaystyle v_{2}} $v_{2}$ on v asemel. Neid kahte tingimust nimetatakse multilineaarsuseks.

Vt ka

Lineaaralgebra
Numbriline lineaaralgebra

Ametiasutuste kontroll

GND: 4037968-1
LCCN: sh85082210

Küsimused ja vastused

K: Mis on maatriks?

V: Maatriks on ridadesse ja veergudesse paigutatud numbrite ristkülik. Rid on igaüks vasakult paremale (horisontaalsed) read ja veerud kulgevad ülevalt alla (vertikaalselt).

K: Kuidas kujutatakse maatriksid?

V: Maatriksid esitatakse sageli suurte ladina tähtedega, näiteks A, B ja C.

K: Mis juhtub, kui korrutada kaks maatriksit omavahel?

V: Toode AB ei anna alati sama tulemust kui BA, mis erineb tavaliste arvude korrutamisest.

K: Kas maatriksil võib olla rohkem kui kaks mõõdet?

V: Jah, maatriksil võib olla rohkem kui 2 mõõdet, näiteks 3D-maatriks. See võib olla ka ühemõõtmeline, nagu üks rida või veerg.

K: Kus kasutatakse maatriksid?

V: Maatriksid on kasutusel paljudes loodus- ja arvutiteadustes, inseneriteaduses, füüsikas, majanduses ja statistikas.

K: Millal õpetatakse ülikoolides kursusi maatriksite kohta?

V: Ülikoolides õpetatakse tavaliselt kursusi maatriksitest (tavaliselt nimetatakse neid lineaaralgebraks) juba väga varakult - mõnikord isegi esimesel õppeaastal.

K: Kas maatriksite liitmine või lahutamine on võimalik?

V: Jah - maatriksite liitmise ja lahutamise jaoks on olemas reeglid, kuid need reeglid erinevad tavaliste arvude reeglitest.