Jada (matemaatika): definitsioon, lõplikud ja lõpmatud jadad + näited

Jada (matemaatika): definitsioon, lõplikud ja lõpmatud jadad — selged reeglid, valemid ja praktilised näited, mis aitavad mõista järjestusi ja progressioone.

Jada (mõnikord kutsutud ka järjestus) on matemaatikas järjekorras olevate elementide loend, kus olulisel kohal on elementide omavaheline järjestus. Jada võib koosneda eri tüüpi objektidest (arvudest, vektoritest, funktsioonidest jms), kuid tavapäraselt räägitakse arvujadadest. Seda kasutatakse matemaatikas ja muudes erialades. Igale jadale vastab reegel, mis määrab, milline element asub igal kohal ehk mis on jada n-ndas kohas.

Mida tähendab, et jada on lõplik või lõpmatu?

On olemas kahte põhitüüpi jadad:

Lõplikud jadad — jadal on kindel arv elemente ja järel on lõpp. Näide: (1, 2, 3, 4, 5) on lõplik jada.
Lõpmatud jadad — jada jätkub lõputult, st elementide arv on lõpmatu. Näide: kõigi positiivsete paarisarvude jada (2, 4, 6, 8, …) jätkub lõputult ja teda ei saa üles kirjutada täielikult.

Jada kui funktsioon ja indeksid

Matemaatiliselt saab jada defineerida kui funktsiooni a: I → S, kus I on indeksite hulk (tavaliselt I = {1,2,3,…} või I = {0,1,2,…} või lõplik hulgaindeks) ja S on elementide hulk. Elementi, mis asub n-ndal kohal, märgitakse tavaliselt a_n (või a_n). Kui tead, mis on funktsioon, siis jada ongi funktsioon indeksite hulga peal.

Indekseerimine võib alata 1-st või 0-st — oluline on see, mida lepitakse kokku, sest näiteks (1, 2, 3) ja (0, 1, 2, 3) tähistavad erinevaid indekseeringuid sama elementide seeria korral.

Kuidas jadad üles kirjutada — otsene valem ja rekurss

Lõpliku jada saab lihtsalt kõik elemendid üles loetleda. Lõpmatu jada puhul kasutatakse tavaliselt kahte viisi tema määramiseks:

Otsene (eksplitsiitne) valem — annab iga n-nda liikme väljendina n-i kaudu. Näide: a_n = 2n tähendab, et n-ndaks liikmeks on arv 2×n. See valem ütleb, et jada on (2, 4, 6, 8, …). Tulemus on teada mistahes n kohta: a₁₀₀ = 2×100 = 200.
Rekursiivne määrang — määrab mõne algtingimuse (näiteks a₁, a₂) ja reegli, kuidas leida järgmist liiget olemasolevate liikmete põhjal. Näide: Fibonacci jadal on F₁=1, F₂=1 ja F_n=F_n−1+F_n−2 (n≥3).

Reegel peaks ütlema, kuidas saada asi n-ndasse kohta, kui n võib olla ükskõik milline sobiv indeks. Kui peate meeles, mis on reegel, siis mõistate, et jada määramine võib toimuda reegli abil. Mõnikord kasutatakse ka sulgusid ja eraldi indeksivahemikke, nt (a_n)_n=1^∞.

Tuntud näited ja tüübid

Aritmeetiline jada — igast liikmest järgmine erineb konstantsest erinevusest d: a_n = a₁ + (n−1)d. Näide: 2, 5, 8, 11, … on aritmeetiline jada d = 3.
Geomeetriline jada — liikmed saadakse eelmisest kordajaga r: a_n = a₁·rⁿ⁻¹. Näide: 3, 6, 12, 24, … on geomeetriline jada r = 2.
Konstantne jada — kõik liikmed on võrdsed, nt (5, 5, 5, …).
Rekursiivsed jadad — nt Fibonacci jada eespool kirjeldatuna.
Paarisarvude jada — a_n = 2n annab (2, 4, 6, …) ja näitab, kuidas lihtsa valemiga võib määrata lõpmatu jada.

Peamised omadused: monotoonsus, piirid ja piiramine

Monotoonsus — jada võib olla kasvav (a_n+1 ≥ a_n), kahanev (a_n+1 ≤ a_n) või mitte-monotoonne.
Piiratud jada — jada on ülem- ja alambiitelis piiratud, st kõik liikmed jäävad mingisse lõplikku vahemikku.
Piir (limiit) — kui liikmete väärtused lähenevad mõnele arvule L, siis öeldakse, et jada konvergeerub piirile L. Näide: a_n = 1/n konvergeerub 0-le. Konkreetselt, a_n = 2n ei konvergeeru lõplikule väärtusele (tema piir on ∞, räägitakse ka, et jada divergeerub).
Aljada (subsequence) — valides jada elemente teatud järjestuse alusel (nt iga teine element), saab uue jada, mida nimetatakse algjadast tuletatud aljadaks. Aljadade uurimine on oluline piiride ja käitumise analüüsis.

Miks järjestus ja järjekord loevad?

Jadas on järjestus oluline — sama elementide kogum erinevas järjekorras annab erinevad jadad. Näiteks (sinine, punane, kollane) ja (kollane, sinine, punane) on erinevad jadad, kuigi mõlemad sisaldavad samu elemente. Arvujadade puhul võib erinev järjestus muuta omadusi (nt liitumise, konvergentsi või teatud summade käitumise), eriti kui hakatakse uurima jadade summasid ehk seeriaid.

Lõpetuseks: praktilised märksõnad

Jada elemente tähistatakse tavaliselt a_n.
Indeks n kuulub indeksihulgale (nt N või {1,…,N}).
Jada kirjeldamiseks kasutatavad vahendid: eksplitsiitne valem, rekurss, tabel või loetelu (lõplike jadade puhul).
Olulised omadused: monotoonsus, piirid, piiramine, aljadad ja divergeerumine.

Näide, mida algselt mainiti: kui reegel ütleb, et n-ndas kohas olev asi on arv 2×n (2 korda n), siis on jada (2, 4, 6, …). Esimene arv on 2×1 = 2, teine 2×2 = 4 ja 100-ndat arvu saame leida arvutades 2×100 = 200. Selliste valemite abil saab määrata mistahes liiget lõpmatuseni jätkuvas jadas.

Järjestuste tüübid

Aritmeetiline progressioon (AP)

Termide ja sellele eelneva termini vahe on alati konstant.

Näide: {\displaystyle 4,9,14,14,19,24,29,34,\ldots } {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots } $4,9,14,19,24,29,34,\ldots$

9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5 jne.

nii et kui võtta esimene termin kui A ja konstantne vahe kui D, siis on aritmeetilise jada üldine valem T=a+(n-1)D, kus n on termide arv.

Geomeetrilised progressioonid (GP)

Termide ja sellele eelneva termini suhe on alati konstantne.

Näide: {\displaystyle 3,6,12,12,24,24,48,96,192,\ldots } {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots } $3,6,12,24,48,96,192,\ldots$

6 : 3 = 2, 12 : 6 = 2, 24 : 12 = 2, 48 : 24 = 2 jne.

üldine valem on T=ar^(n-1), kus a on esimene termin, r on suhe ja n on terminite arv.

Harmooniline kulgemine (HP)

Termi ja sellele eelneva termini pöördväärtuse vahe on konstant.

Näide: {\displaystyle 3,1.5,1,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots} {\displaystyle 3,1.5,1,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}}},{\tfrac {3}{7}}},\ldots } $3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots$

( 1 : 1.5 ) - ( 1 : 3 ) = 1 3 , ( 1 : 1 ) - ( 1 : 1.5 ) = 1 3 , ( 1 : 3 4 ) - ( 1 : 1 ) = 1 3 , {\displaystyle (1:1.5)-(1:3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,\,(1:1)-(1:1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,\,(1:{\tfrac {3}{4}})-(1:1)={\tfrac {1}{3}},} $(1:1.5)-(1:3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1:1)-(1:1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1:{\tfrac {3}{4}})-(1:1)={\tfrac {1}{3}},$ jne.

Seeria

Jada on jada kõigi tingimuste summa.

Aritmeetilise jada summa arvutamise üldine valem on järgmine

S=n/2 [2a=(n-1)d]

et geomeetriline jada on

S= a/(1-r), kui jada on lõpmatu, ja S= [a(1-r^n)]/(1-r), kui see on piiratud.

siin on a esimene termin , d on aritmeetilise jada ühine erinevus , r on suhe n geomeetriline jada ja n on termide arv.

Küsimused ja vastused

K: Mis on jada?

V: Jada on omavahel seotud sündmuste, liikumiste või esemete kogum, mis järgnevad üksteisele kindlas järjekorras.

K: Kuidas seda kasutatakse?

V: Seda kasutatakse matemaatikas ja teistes teadusharudes. Tavakasutuses tähendab see üksteisele järgnevate sündmuste seeriat.

K: Millised on kahte liiki järjestused?

V: Kahte liiki jadasid on lõplikud jadad, millel on lõpp, ja lõpmatud jadad, mis ei lõpe kunagi.

K: Kas te oskate tuua näite lõpmatu jada kohta?

V: Näide lõpmatu jada kohta on kõigi 0-st suuremate paarisarvude jada. See jada ei lõpe kunagi; see algab 2, 4, 6 jne.

K: Kuidas saab lõpmatu jada üles kirjutada?

V: Me saame lõpmatu jada üles kirjutada, kirjutades reegli, mille järgi võib leida asja ükskõik millises kohas. Reegel peaks ütlema, kuidas saada asi n-ndasse kohta, kus n võib olla ükskõik milline loomulik arv.

K: Mida tähendab (a_n) jada üleskirjutamisel?

V: (a_n) tähistab jada n-ndat terminit.