Integraal: määratlus, liigid ja põhiteoreem diferentsiaalarvutuses

Arvutuses on integraal ruumala võrrandi graafiku all (mõnikord nimetatakse seda ka "kõvera all olevaks pindalaks"). Integraal on tuletise vastand ja on diferentsiaalarvutuse vastand. Tuletis on kõvera järskus (või "kalle") kui muutuse kiirus. Sõna "integraal" võib kasutada ka omadussõnana, mis tähendab "täisarvudega seotud".

Integreerimise sümbol on matemaatikas: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ kui kõrge täht "S". Seda sümbolit kasutas esmakordselt Gottfried Wilhelm Leibniz, kes kasutas seda stiliseeritud "ſ" kujul. (summa, ladina keeles summa), et tähendada võrrandiga hõlmatud pindala summat, näiteks y = f(x).

Integraalid ja tuletised on osa matemaatika harust, mida nimetatakse arvutamiseks. Nende kahe vaheline seos on väga oluline ja seda nimetatakse arvutusarvutuse põhiteoreemiks (Fundamental Theorem of Calculus). See teoreem ütleb, et integraali saab pöörata tuletisega, sarnaselt sellega, kuidas liitmist saab pöörata lahutamisega.

Integreerimine aitab, kui püütakse üksusi korrutada probleemile. Näiteks, kui probleem kiirusega, ( vahemaa aeg ) {\displaystyle \left({\frac {\text{kaugus}}{\text{aeg}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , vajab vastust ainult vahemaaga, on üks lahendus integreerida aja suhtes. See tähendab, et korrutades ajaga tühistatakse aeg ( vahemaa aeg ) × aeg {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . See toimub kiiruse graafiku väikeste lõikude liitmise teel. Viilud on laiuselt nullilähedased, kuid nende igavene liitmine muudab need tervikuks. Seda nimetatakse Riemanni summaks.

Nende viilude liitmine annab võrrandi, mille esimene võrrand on tuletis. Integraalid on justkui viis, kuidas käsitsi palju pisikesi asju kokku liita. See on nagu summeerimine, mis on 1 + 2 + 3 + 4.... liitmine. + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ kümnend- ja murdarvud vahepeal kokku liita.

Integreerimine on kasulik ka tahke aine ruumala leidmisel. Sellega saab igavesti kokku liita tahke keha kahemõõtmelisi (ilma laiuseta) viilusid, kuni on olemas laius. See tähendab, et objektil on nüüd kolm mõõdet: kaks algset mõõdet ja laius. See annab kirjeldatud kolmemõõtmelise objekti ruumala.

Määratlus ja kaks peamist liiki

Integraal on matemaatiline operatsioon, mis liidab kokku lõpmata palju väikeseid panuseid. Peamised liigid on:

Määratud integraal (definite integral) ∫_a^b f(x) dx — annab tulemuse numbrina ja esindab näiteks kõvera f(x) ja x-telje vahel a-st b-ni jäävat pindala (allolevaid alasid võidakse mõnikord võtta negatiivsetena, kui funktsioon on telje all).
Määramata integraal (indefinite integral) ∫ f(x) dx — esindab kõigi funktsiooni f antiderivaatide (tuletise vastandite) üldperet, tavaliselt kirjutatakse F(x) + C, kus C on konstants.

Põhiteoreem diferentsiaalarvutuses

Põhiteoreem (Fundamental Theorem of Calculus) on kahes osas:

Kui F(x) = ∫_a^x f(t) dt ja f on pidev, siis F'(x) = f(x). See seob määratud integraali ja tuletise: integraalilt võetakse tuletis ja saadakse algne funktsioon f.
Kui F on f antiderivaat, siis ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). See annab lihtsa viisi määratud integraali arvutamiseks, kui leida antiderivaat.

Riemanni summa ja integraali idee

Integraali arvutamise idee tugineb funktsiooni graafiku väikeste ristkülikukeste (või viilude) pindalade liitmisele, kus iga viilu laius on väga väike (piirnormis läheneb nullile). Need Riemanni summad annavad piirväärtuse, mida nimetatakse Riemanni integratsiooniks, kui piirväärtus eksisteerib. See on intiimne seos "mitte-lõplike" summade ja pindalade leidmise vahel.

Omadused ja reeglid

Lineaarsus: ∫(a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx.
Piiride jagamine: ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx.
Kui f(x) ≥ 0 kõigil x ∈ [a,b], siis ∫_a^b f(x) dx ≥ 0.
Antiderivaatude lisamine: kui F'(x) = f(x), siis kõik antiderivaadid on F(x) + C.

Levinud integraalimeetodid

Mõned tüüpilised meetodid funktsioonide integreerimiseks:

Otsene antiderivatsiooni leidmine — kui on teada, et tuletis on lihtne kujul (nt ∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C, n ≠ −1).
Asendusmeetod (u-substitution) — sobib, kui funktsiooni saab kirjutada koos sisemise muutujaga ja selle tuletisega.
Osade kaupa integreerimine (integration by parts) — põhineb tuletise ja integraali korrutise reeglil.
Trigonomeetrilised asendused ja identiteedid — kasutatakse trigonometriliste funktsioonide integreerimisel.
Numbrilised meetodid — kui analüütiline integraal puudub, kasutatakse näiteks trapetsmeetodit või Simpsonit, mis lähenevad täpsele väärtusele läbi Riemanni-sarnaste summade.

Lihtsad näited

Kui kiirus v(t) = 3t meetrites sekundis ja soovime leida läbitud vahemaa ajavahemikus t = 0 kuni t = 2 s, siis:
vahemaa = ∫_0^2 3t dt = [ (3/2) t^2 ]_0^2 = (3/2)·4 = 6 (meetrit).
Antiderivaatide näide: ∫ cos x dx = sin x + C.

Rakendused

Integraale kasutatakse laialdaselt:

pindalade ja ruumalade arvutamiseks (nt pindala kõvera all, tahkete kehad ruumala kaudu pöörlemisel), nagu artiklis eespool mainitud ruumala ja kolmemõõtmelise objekti puhul;
füüsikas töö (work) arvutamisel, kui jõud ei ole konstantne: W = ∫ F(x) dx;
keskmise väärtuse ja tõenäosuse tiheduse funktsioonide puhul (ooteväärtus, jaotusfunktsioonid);
inseneriteaduses vooluhulkade, elektriväljade ja materjalide omaduste modelleerimisel;
numbrilistes simulatsioonides ja andmetöötluses, kus integreeritakse mõõtmeid või hinnatakse kõveraid.

Kokkuvõte

Integraal on võimas matemaatiline vahend väikeste panuste liitmiseks ja seda kasutatakse pindalade, ruumalade, töö ja paljude teiste suuruste leidmiseks. Integraalide ja tuletiste vahelise sideme selgitab arvutusarvutuse põhiteoreem, mis teeb konkreetsete väärtuste leidmise tihti palju lihtsamaks. Praktikas kasutatakse nii analüütilisi kui ka numbrilisi meetodeid sõltuvalt funktsioonide keerukusest.

Mis on integraal (animatsioon)

Integreerimine seisneb pinna s leidmises, arvestades a, b ja y = f(x). Ülaltoodud graafiliselt esitatud integraali valem a-st b-ni on:
Valem: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Integreerimismeetodid

Antiderivaat

Arvutuse põhiteoreemi kohaselt on integraal antiderivaat.

Kui me võtame funktsiooni 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ näiteks ja diferentseerime seda, siis võime öelda, et 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ integraal on x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ . Me ütleme integraal, mitte integraal, sest funktsiooni antiderivaat ei ole unikaalne. Näiteks x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ diferentseerub ka 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Sellepärast tuleb antiderivaadi võtmisel lisada konstant C. Seda nimetatakse määramata integraaliks. Seda seetõttu, et funktsiooni tuletise leidmisel on konstandid võrdsed 0-ga, nagu funktsioonis

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Pange tähele 0: me ei saa seda leida, kui meil on ainult tuletis, nii et integraal on

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$

Lihtsad võrrandid

Sellist lihtsat võrrandit nagu y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ saab integreerida x suhtes, kasutades järgmist tehnikat. Integreerimiseks liidetakse 1 võimsusele, millele x on tõstetud, ja seejärel jagatakse x selle uue võimsuse väärtusega. Seega järgib normaalvõrrandi integreerimine järgmist reeglit: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Lõpus olev d x {\displaystyle dx} $dx$ näitab, et me integreerime x suhtes, st kui x muutub. Seda võib vaadelda kui diferentseerimise pöördväärtust. Integreerimisel lisandub aga konstant C. Seda nimetatakse integratsioonikonstandiks. See on vajalik, sest täisarvu diferentseerimine annab tulemuseks nulli, mistõttu nulli integreerimine (mida saab panna mis tahes integraatori lõppu) annab täisarvu C. Selle täisarvu väärtus leitakse antud tingimuste abil.

Rohkem kui ühe terminiga võrrandid integreeritakse lihtsalt iga üksiku termini integreerimise teel:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integratsioon, mis hõlmab e ja ln

Integreerimiseks e ja naturaallogaritmi abil on olemas teatud reeglid. Kõige olulisem on, et e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ on integraal iseendast (koos integratsioonikonstandi lisamisega): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Loomulik logaritm, ln, on kasulik, kui integreeritakse võrrandeid, milles on 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Neid ei saa integreerida ülaltoodud valemiga (liita üks potentsile, jagada potentsile), sest üks potentsile lisamine annab 0 ja jagamine 0-ga ei ole võimalik. Selle asemel on integraal 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x + C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

Üldisemas vormis: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C}} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Kaks vertikaalset tulpa tähistavad absoluutväärtust; f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) märki (positiivne või negatiivne) ei võeta arvesse. Seda seetõttu, et negatiivsete arvude loomulikul logaritmil puudub väärtus.

Omadused

Funktsioonide summa

Funktsioonide summa integraal on iga funktsiooni integraali summa, st,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Selle tõestamine on lihtne: Integraali definitsioon on summade piirväärtus. Seega

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Pange tähele, et mõlemal integraalil on samad piirid.

Integratsiooni konstandid

Kui konstant on integraalis koos funktsiooniga, võib konstandi välja võtta. Veelgi enam, kui konstant c ei ole koos funktsiooniga, on selle väärtus c * x. See tähendab,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ ja

Seda saab teha ainult konstandiga.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Tõendamiseks kasutatakse jällegi integraali definitsiooni.

Muud

Kui punktid a, b ja c on järjekorras (st üksteise järel x-teljel), siis f(x) integraal punktist a punkti b pluss f(x) integraal punktist b punkti c on võrdne integraaliga punktist a punkti c. See tähendab,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ kui nad on järjekorras. (See kehtib ka siis, kui a, b, c ei ole järjekorras, kui defineerime ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .).

∫ a a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . See tuleneb arvutuste fundamentaalsest teoreemist (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx}} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Jällegi, järgides FTC-d: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Küsimused ja vastused

K: Mis on integraal?

V: Integraal on ruumala võrrandi graafiku all, mida tuntakse ka kui "pindala kõvera all". See on tuletise pöördväärtus ja osa matemaatika harust, mida nimetatakse kalkulatsiooniks.

K: Milline on integratsiooni sümbol?

V: Integreerimise sümbol matemaatikas näeb välja nagu kõrge täht "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

K: Kuidas on integraalid seotud tuletistega?

V: Integraalid ja tuletised on seotud arvutuse põhiteoreemiaga, mis ütleb, et integraali saab tuletisega ümber pöörata, sarnaselt sellega, kuidas liitmist saab ümber pöörata lahutamisega.

K: Millal võiks kasutada integratsiooni?

V: Integreerimist võib kasutada, kui püütakse korrutada ühikuid mingis probleemis või kui leitakse tahke keha ruumala. See aitab kahe mõõtme viilud kokku liita, kuni tekib laius, mis annab objektile kolm mõõdet ja selle ruumala.

K: Kuidas on integratsioon sarnane summeerimisega?

V: Integreerimine sarnaneb summeerimisega selle poolest, et see liidab palju pisikesi asju kokku, kuid integratsiooni puhul tuleb lisada ka kõik kümnend- ja murdarvud.

K: Mida tähendab Riemanni summa?

V: Riemanni summa tähendab kiiruse graafiku väikeste lõikude liitmist kokku, kuni need annavad kokku ühe terve võrrandi.