AlegsaOnline.com

Määramata integraal (antidiferentseerimine): definitsioon ja näited

Määramata integraal (antidiferentseerimine): selge definitsioon, samm-sammult näited ja võtmevalemid — intuitiivne juhend ∫ ja antiderivaadid algajale.

Autor: Leandro Alegsa

10-09-2025

Antidiferentseerimine (nimetatakse ka määramata integratsiooniks) on matemaatikas protsess, mille eesmärk on leida selline funktsioon, mille tuletis on antud funktsioon. See on matemaatikas diferentseerimise vastand: kui diferentseerimisel teisendatakse funktsioonist F selle tuletiseks F′, siis antidiferentseerimisel püütakse antud funktsioonist f leida F, mille diferentseerimise tulemus on f.

Kui f(x) on antud, siis antidiferentseerimine annab antiderivaatide ehk antiderivaatide hulga — kõik need funktsioonid F, mille tuletis võrdub f-iga. Sellepärast lisatakse lõppu konstant C (nn integraalikonstant). Kirjeldusena kasutatakse sümbolit:

∫ f(x) dx = F(x) + C, kus F′(x) = f(x) ja C on suvaline konstant.

Antidiferentseerimise abil saab üldjoontes teada funktsiooni suuruse ja käitumise kohta ning lahendada erinevaid võrrandeid ja modelleerimisülesandeid. Antiderivaat on teist tüüpi tööriist sarnane tavapärastele võrranditele — see on funktsioon, mis kokkuvõtlikult kirjeldab algset protsessi. Antidiferentseerimine on seotud ka laiema mõistega integratsioon; määramata integraal on integratsioon ilma ühiseks piiride vahemikuks määratud väärtusteta (seepärast nimetatakse seda ka indefiniitseks).

Antiderivaat kirjutatakse järgmiselt: ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} $\int x\ dx$

Põhireeglid

Lineaarsus: ∫(a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx, kus a ja b on konstandid.
Võimureegel (power rule): ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, kui n ≠ −1.
Erand n = −1: ∫ x^(−1) dx = ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.
Konstandi integreerimine: ∫ k dx = kx + C, kus k on konstant.
Eksponentsiaal- ja trigonomeetrilised vormid: ∫ e^x dx = e^x + C; ∫ cos x dx = sin x + C; ∫ sin x dx = −cos x + C.

Lihtsad näited

∫ 3x^2 dx = 3 · (x^3/3) + C = x^3 + C.
∫ (2x + 5) dx = ∫ 2x dx + ∫ 5 dx = x^2 + 5x + C.
∫ (1/x) dx = ln|x| + C.
∫ e^{x} dx = e^{x} + C.
∫ cos x dx = sin x + C.

Näited, kus kasutatakse asendust ja osaline integraal

Asendusmeetod: ∫ 2x e^{x^2} dx. Võtame u = x^2 ⇒ du = 2x dx, seega integral on ∫ e^u du = e^u + C = e^{x^2} + C.
Osaline integreerimine: kasulik korrutiste puhul, nt ∫ x e^x dx. Siit saab F = x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C = e^x(x−1) + C.

Seos määratud integraaliga

Määramata integraal (antiderivaat) on tihedalt seotud määratud integraaliga läbi kalkuluse põhiteoreemi. Kui F on f antiderivaat, siis määratud integraal a kuni b f(x) dx = F(b) − F(a). See seos võimaldab arvutada pindalasid, kumuleeritud koguseid ja muid kvantitatiivseid suurusi, kasutades antiderivaatide leidmist.

Antidiferentseerimise oskused hõlmavad reeglite tundmist, sobiva meetodi (asendus, osaline integreerimine jpm) valimist ja integraalide kontrollimist tuletise abil: kui tuletis(F) = f, siis F + C on korrektne antiderivaat.

Lihtne integreerimine

Integreerida a x n {\displaystyle ax^{n}} $ax^{n}$

Lisa 1 potentsile n {\displaystyle n} , nii et a x n {\displaystyle ax^{n}} $ax^{n}$ on nüüd a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}} $ax^{n+1}$
Jagame selle kõik uue võimsusega, nii et nüüd on see a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}} ${\frac {ax^{n+1}}{n+1}}$
Lisa konstant c {\displaystyle c} $c$ , nii et see on nüüd a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}} ${\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c$

Seda võib näidata järgmiselt:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} $\int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c$

Kui on palju x {\displaystyle x} termineid, integreerige iga osa eraldi:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} $\int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c$

(See toimib ainult siis, kui osad lisatakse või võetakse ära.)

Näited

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} $\int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c$

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}+c} $\int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c$

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}} $\int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c$

Murdude ja juurte muutmine potentsile muudab selle lihtsamaks:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} $\int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c$

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c} $\int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c$

Sulguri integreerimine ("ahelareegel")

Kui soovite integreerida sulgudes nagu ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} $(2x+4)^{3}$ , tuleb seda teha teistmoodi. Seda nimetatakse ahelareegliks. See on nagu lihtne integreerimine. See toimib ainult siis, kui sulgudes olev x {\displaystyle x} on 1 potenssiga (see on lineaarne), näiteks x {\displaystyle x} või 5 x {\displaystyle 5x}. $5x$ (mitte x 5 {\displaystyle x^{5}} $x^{5}$ või x - 7 {\displaystyle x^{-7}} ) $x^{-7}$ .

Et ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} $\int (2x+4)^{3}\ dx$

Lisa 1 potentsile 3 {\displaystyle 3} $3$ , nii et see on nüüd ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}} $(2x+4)^{4}$
Jagage see kõik uue võimsusega, et saada ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}} ${\frac {(2x+4)^{4}}{4}}$
Jagame selle kõik sulguri tuletisega ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} $\left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)$ et saada ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}} ${\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}$
Lisa konstant c {\displaystyle c} $c$ , et saada 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}} ${\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c$

Näited

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} $\int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)$

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} $\int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)$

Seotud leheküljed

Küsimused ja vastused

K: Mis on antidiferentseerimine?

V: Antidiferentseerimine (mida nimetatakse ka määramata integratsiooniks) on teatud funktsiooni leidmise protsess arvutuses. See on diferentseerimise vastand ja hõlmab funktsiooni töötlemist, et anda teine funktsioon (või funktsioonide klass), mida nimetatakse antiderivaadiks.

K: Kuidas seda esitatakse?

V: Üksikute tähtedena esitatuna on antiderivaadid sageli suurtähtedega, näiteks F ja G. Üldiselt kirjutatakse antiderivaat kujul ∫f(x) dx.

K: Mida tähendab antidiferentseerimine?

V: Antidiferentseerimine hõlmab funktsiooni töötlemist, et saada teine funktsioon (või funktsioonide klass), mida nimetatakse antiderivaatiks.

K: Mille poolest erineb see integratsioonist?

V: Antidiferentseerimine erineb integratsioonist selle poolest, et see ei hõlma piirväärtusi - seetõttu nimetatakse seda ka määramata integratsiooniks.

K: Millised on mõned näited, kuidas antidiferentseerimist saab väljendada?

V: Näiteid antidiferentseerimise väljendamiseks on näiteks F ja G, kui neid esitatakse üksikute tähtedena, või ∫f(x) dx, kui neid kirjutatakse üldises vormis.

Määramata integraal (antidiferentseerimine): definitsioon ja näited

Põhireeglid

Lihtsad näited

Näited, kus kasutatakse asendust ja osaline integraal

Seos määratud integraaliga

Lihtne integreerimine

Näited

Sulguri integreerimine (&quot;ahelareegel&quot;)

Näited

Seotud leheküljed

Küsimused ja vastused

K: Mis on antidiferentseerimine?

K: Kuidas seda esitatakse?

K: Mida tähendab antidiferentseerimine?

K: Mille poolest erineb see integratsioonist?

K: Millised on mõned näited, kuidas antidiferentseerimist saab väljendada?

Sulguri integreerimine ("ahelareegel")