Antidiferentseerimine

Antidiferentseerimine (nimetatakse ka määramata integratsiooniks) on asi, mida tehakse matemaatikas. See on diferentseerimise vastand.

Antiderivaatide abil saab üldjoontes teada suuruse kohta. Antidiferentseerimine tehakse selliste asjade nagu võrrandid. Antidiferentseerimine annab teile asja, mida nimetatakse antiderivaatideks. Antiderivaat on teist liiki võrrand. Antidiferentseerimine on nagu integratsioon, kuid ilma piiranguteta. Seepärast nimetatakse seda ka indefiniitseks.

Antiderivaat kirjutatakse järgmiselt: ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} {\displaystyle \int x\ dx}

Lihtne integreerimine

Integreerida a x n {\displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}

  • Lisa 1 potentsile n {\displaystyle n} n, nii et a x n {\displaystyle ax^{n}}{\displaystyle ax^{n}}on nüüd a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}} {\displaystyle ax^{n+1}}
  • Jagame selle kõik uue võimsusega, nii et nüüd on see a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Lisa konstant c {\displaystyle c}{\displaystyle c} , nii et see on nüüd a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Seda võib näidata järgmiselt:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Kui on palju x {\displaystyle x}x termineid, integreerige iga osa eraldi:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(See toimib ainult siis, kui osad lisatakse või võetakse ära.)

Näited

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}+c} {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}} {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Murdude ja juurte muutmine potentsile muudab selle lihtsamaks:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c} {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Sulguri integreerimine ("ahelareegel")

Kui soovite integreerida sulgudes nagu ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} {\displaystyle (2x+4)^{3}}, tuleb seda teha teistmoodi. Seda nimetatakse ahelareegliks. See on nagu lihtne integreerimine. See toimib ainult siis, kui sulgudes olev x {\displaystyle x} xon 1 potenssiga (see on lineaarne), näiteks x {\displaystyle x} xvõi 5 x {\displaystyle 5x}. {\displaystyle 5x}(mitte x 5 {\displaystyle x^{5}} {\displaystyle x^{5}}või x - 7 {\displaystyle x^{-7}} ){\displaystyle x^{-7}}.

Et ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Lisa 1 potentsile 3 {\displaystyle 3}{\displaystyle 3} , nii et see on nüüd ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}} {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Jagage see kõik uue võimsusega, et saada ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Jagame selle kõik sulguri tuletisega ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}et saada ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Lisa konstant c {\displaystyle c}{\displaystyle c}, et saada 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}} {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Näited

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

Seotud leheküljed

Küsimused ja vastused

K: Mis on antidiferentseerimine?


V: Antidiferentseerimine (mida nimetatakse ka määramata integratsiooniks) on teatud funktsiooni leidmise protsess arvutuses. See on diferentseerimise vastand ja hõlmab funktsiooni töötlemist, et anda teine funktsioon (või funktsioonide klass), mida nimetatakse antiderivaadiks.

K: Kuidas seda esitatakse?


V: Üksikute tähtedena esitatuna on antiderivaadid sageli suurtähtedega, näiteks F ja G. Üldiselt kirjutatakse antiderivaat kujul ∫f(x) dx.

K: Mida tähendab antidiferentseerimine?


V: Antidiferentseerimine hõlmab funktsiooni töötlemist, et saada teine funktsioon (või funktsioonide klass), mida nimetatakse antiderivaatiks.

K: Mille poolest erineb see integratsioonist?


V: Antidiferentseerimine erineb integratsioonist selle poolest, et see ei hõlma piirväärtusi - seetõttu nimetatakse seda ka määramata integratsiooniks.

K: Millised on mõned näited, kuidas antidiferentseerimist saab väljendada?


V: Näiteid antidiferentseerimise väljendamiseks on näiteks F ja G, kui neid esitatakse üksikute tähtedena, või ∫f(x) dx, kui neid kirjutatakse üldises vormis.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3