Eukleidiline geomeetria: definitsioon, aksioomid ja ajalugu
Eukleidiline geomeetria: selge definitsioon, põhiaksioomid ja ajalooline ülevaade Eukleidese "Elementidest" kuni mitte-eukleidilise geomeetria avastuseni.
Eukleidiline geomeetria on matemaatika süsteem, mis käsitleb punkte, sirgeid, tasandeid, nurki ja kujundeid ning nende omavahelisi suhteid. Selle süstemaatilise esituse autoriks peetakse tavaliselt Eukleidest, kes koondas ja järjestas olemasolevat teadmist oma õpikusse "Elemendid" (u 300 eKr). Kuigi osa sisust tuli varasematest allikatest, on Eukleidese töö oluline selle poolest, et ta kasutas järjekindlat aksioomidele ja loogilisele järeldamisele põhinevat meetodit: esmalt esitatakse lihtsad reeglid (aksioomid ja postulaadid) ja siis tuletatakse neist teoreeme.
Mis on eukleidiline geomeetria?
Eukleidiline geomeetria on aksioomide põhine geomeetria, kus teatud väited võetakse alguses tõena (ilma tõestuseta) ja teised väited tõestatakse neist. Tulemused kehtivad tavaliselt tasandil (kõige lihtsam juhtum) või kolmemõõtmelises ruumis ning neid saab üldistada ka kõrgematesse mõõtmetesse. Paljud kooli- ja inseneriarvutused tuginevad just eukleidilisele geomeetriale.
Aksioomid ja peamised postulaadid
Eukleides alustas mõnest lihtsast väitest, mida ta pidas enesestmõistetavaks. Neid võib grupeerida postulaatideks (spetsiifilised geomeetrilised väited) ja üldisemateks arusaamadeks, mida vahel nimetatakse ka common notions. Olulisemad Eukleidese postulaadid on sageli kokku võetud järgmiselt:
- Sirge kahe punkti vahel: läbi iga kahe punkti saab tõmmata sirge.
- Sirge pikendamine: finiitne sirglõik on võimalik lõpmatuseni pikendada.
- Ring: ringi keskpunkti ja raadiuse abil saab ringi joonistada.
- Kõik täisnurgad võrdsed: kõik täisnurgad on võrdsed üksteisega.
- Paralleelipostulaat: kui sirge langeb kahele sirgele nii, et samal pool tekkivate sisemiste nurkade summa on väiksem kui kaks täisnurka, siis pikendades need sirged lõikuvad sellel poolel; seda tuntakse ka keerukama sõnastusega Eukleidese viienda postulaadina.
Paralleelipostulaat on olnud ajalooliselt ainus Eukleidese postulaat, mille sisu peeti vähem intuitiivseks ja mille iseseisvust teistest postulaatidest hakati küsitlema. Hiljem leiti sellest vastuväidetud, aga loogiliselt järjepidevaid alternatiive.
Peamised teoreemid ja omadused
Eukleidilises geomeetrias kehtivad mitmed tuntud tulemused, näiteks:
- Kolmnurga nurkade summa tasandil on 180 kraadi.
- Pythagorase teoreem õigel kolmnurgal.
- Sarnasus- ja kongruentsusreeglid kujundite võrdlemiseks.
Neid teoreeme kasutatakse igapäevases geomeetrias, arhitektuuris, inseneriteaduses ja paljudes rakendustes. Kui paralleelipostulaati muudetakse, muutuvad ka mitmed neist tulemustest (nt kolmnurga nurkade summa ei ole enam 180° mitte-eukleidilises geomeetrias).
Ajalugu ja mitte-eukleidiline geomeetria
Kuigi Eukleides oli üks tähtsamaid varajasi autoriteete, ei olnud ta sajaprotsendiliselt "esimene" geomeetriat õpetaja – palju teadmisi pärines varemast Babülooni, Egiptuse ja Kreeka traditsioonist. Tema Elemendid jäi keskseteks käsikirjadeks sajandeid.
19. sajandil hakati põhjalikumalt uurima, kas paralleelipostulaat on teistest aksioomidest tuletatav. Selle tulemusena tekkisid uued geomeetriavormid, mida nimetatakse mitte-eukleidiliseks geomeetriaks. Selle arendamisel olid võtmeisikuteks Carl Friedrich Gauss, János Bolyai ja Nikolai Ivanovitš Lobatševski. Nad näitasid, et saab üles ehitada loogiliselt järjepidevaid geomeetriast selliseid süsteeme, kus paralleelipostulaati ei kehtesta tavaline eukleidiline vorm — näiteks hüperboolne ja sfääriline geomeetria.
19. sajandi lõpuks-andkusel töötasid matemaatikud (nt Eugenio Beltrami, Felix Klein, Henri Poincaré) välja mudelid, mis näitasid, et mitte-eukleidilised süsteemid on vähemalt sama järjepidevad kui eukleidiline geomeetria, kui eukleidiline aritmeetika ja loogika on järjepidevad. See muutis arusaamist aksioomide iseseisvusest ja matemaatilise tõestuse olemusest.
Kaasaegne vaade ja rakendused
Tänapäeval nähakse eukleidilist geomeetriat kui ühte geomeetria erijuhtu: see vastab tasandile või ruumile, millel on nullkõverus (lihtsustatult öeldes "lame" ruum). Matemaatikas ja füüsikas kasutatakse ka mitte-eukleidilisi geomeetriaid — näiteks üldrelatiivsuse teoorias kirjeldab Albert Einsteini füüsika ruumi-aja kõverust, kus eukleidiline geomeetria enam ei kehti.
Eukleidiline geomeetria on igapäevatööriist arhitektuuris, inseneriteaduses, arvutigraafikas ja navigatsioonis. Lisaks loodi selle põhjal analüütiline ehk karteesiuse geomeetria, kus geomeetrilisi probleeme lahendatakse algebra abil, mis tugevdab sidet geomeetria ja teiste matemaatikaosade vahel.
Kokkuvõte: Eukleidiline geomeetria on ajalooliselt ja praktiliselt oluline aksioomiline süsteem, mille selged postulaadid annavad aluse paljudele teoremidele. 19. sajandi avastused laiendasid geomeetria mõistet, näidates, et paralleelipostulaat ei ole ainuõige — sellest järgnes rikkalikud uued geomeetrilised maailmad ja sügavam arusaam matemaatilise süsteemi loogikast.
Aksioomid
Eukleidese eeldused on järgmised. Need on aksioomid ja neid ei ole vaja tõestada.
- Mis tahes kaks punkti saab ühendada sirgjoonega.
- Iga sirgjoonelõiku saab pikendada (pikendada) lõpmatuseni, nii et sellest saab sirgjoon.
- Sirgjoonelõigu abil on võimalik joonistada ring, nii et lõigu üks otspunkt on ringi keskpunkt ja teine otspunkt asub ringil. Sirglõigust saab ringjoone raadius.
- Kõik täisnurgad on kongruentsed
- Paralleelne postulaat. Kui kaks sirget lõikavad kolmandat nii, et ühe külje sisemiste nurkade summa on väiksem kui kaks täisnurka, siis peavad need kaks sirget paratamatult lõikuma sellel küljel, kui neid piisavalt kaugele venitada.
Status
Eukleidiline geomeetria on esimese järjekorra teooria. Selle abil saab teha ja tõestada selliseid väiteid nagu Kõigi kolmnurkade... jaoks. Väited nagu Kõigi kolmnurkade kogumi jaoks... jäävad teooria reguleerimisalast välja.
Küsimused ja vastused
K: Mis on eukleidiline geomeetria?
V: Eukleidiline geomeetria on matemaatika süsteem, mida kirjeldas esimesena Eukleidese õpikus "Elemendid". See koosneb mõnest aksioomist, mis on aluseks hilisematele töödele, ja nende aksioomide põhjal saab tõestada teisi teoreeme.
K: Kes kirjutas "Elemendid"?
V: Eukleidese teos "Elemendid" oli esimene süstemaatiline käsitlus geomeetriast, nagu seda tol ajal tunti.
K: Millised on mõned näited mitte-eukleidilise geomeetria kohta?
V: Mitte-eukleidilist geomeetriat töötasid 19. sajandil välja Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai ja Nikolai Ivanovitš Lobatševski. Need ei kasuta sageli paralleelpostulaati, vaid tuginevad pigem teistele neljale aksioomile.
K: Mida arutavad elemendid?
V: "Elements" käsitleb geomeetriat, nagu seda tol ajal tunti, ja pakub selle süstemaatilist käsitlust.
K: Mitu aksioomi on Eukleidese geomeetrias?
V: Eukleidese geomeetrial on mõned aksioomid, mis on aluseks hilisemale tööle.
K: Kes töötas välja mitte-eukleidilise geomeetria?
V: Mitte-eukleidilise geomeetria töötasid 19. sajandil välja Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai ja Nikolai Ivanovitš Lobatševski.
K: Kas mitte-eukleidiline geomeetria kasutab kõiki viit aksioomi või ainult nelja?
V: Mitte-eukleidiline geomeetria ei kasuta sageli paralleelipostulaati, vaid tugineb vaid neljale viiest aksioomist.
Otsige