Geomeetrias on paralleelipostulaat üks eukleidilise geomeetria aksioomidest. Seda nimetatakse sageli ka Eukleidese viiendaks postulaadiks, sest see on Eukleidese elementide viies postulaat. Postulaat on geomeetria alusväide, mida ei tuleta teistest aksioomidest, kuid millel on suuri tagajärgi geomeetriliste konstruktsioonide ja tõestuste jaoks.

Postulaat ütleb, et:

Kui lõikate sirgjoonest kaks joont ja nende kahe sisemise nurga summa on väiksem kui 180°, siis kohtuvad need kaks joont lõpuks, kui neid piisavalt pikaks venitada.

Mis sellest järeldub?

Paralleelipostulaadi olemasolu Eukleidese geomeetrias võimaldab tuletada mitmeid tuntud omadusi ja tunnuseid. Olulisimad järeldused:

  • Üksnes üks paralleel: Läbi punkti, mis ei asu antud sirgjoonel, läbib täpselt üks sirgjoon, mis on selle antud sirgjoonega paralleelne. See kuulus ekvivalentne kuju on tuntud ka kui Playfair' aksiom.
  • Ristuvad ja vastassuunalised sisemised nurgad: Kui kaks sirget on paralleelsed, siis lõikaja tekitatud vastassuunalised sisemised nurgad on võrdsed; vastupidi, võrdsed sisemised nurgad näitavad paralleelsust.
  • Kolmnurga nurkade summa: Eukleidese geomeetrias on kolmnurga sisemiste nurkade summa täpselt 180° (π radianit). Seda saab tuletada paralleelipostulaadist, tõmmates kolmnurga ühe tipu läbi paralleelse rea küljele ja kasutades ristsed ning alternatiivsed nurgad.

Vormid ja ekvivalentsus

Paralleelipostulaadist on mitmeid ekvivalente ja alternatiivseid vormistusi, mis kõik on Eukleidese aksioomide süsteemis omavahel võrdsed. Näited:

  • Playfair' aksiom: "Antud joonest väljaspool olevast punktist läbib selle joonega paralleelne joon täpselt üks joon."
  • Nurga-summa-vorm: Kui kolmnurga küljele tõmmatud rida tekitab vastavad abinurgad, siis nende omaduste põhjal saab tuletada paralleelsuse ja tagasipöörduda algpostulaadi juurde.

Mitteeukleidilised geomeetriad

Kui paralleelipostulaati ei eeldada või kui seda asendatakse teistsuguse lausega, tekivad muud geomeetria tüübid:

  • Hüperboolne (Lobachevski) geomeetria: Läbi antud punkti joone suhtes läheb lõpmata palju jooni, mis ei lõiku antud joonega — st ühtegi "ainult ühte paralleelset" ei ole.
  • Elliptiline (sfääriline) geomeetria: Paralleelseid jooni ei eksisteeri — kõik suure ringi suurjooned lõikuvad.

Need mitteeukleidilised geomeetriad näitasid 19. sajandil, et paralleelipostulaadi asendumine erineva postulaadiga viib loogiliselt järjepidevatesse, kuid Eukleidese omadustest erinevatesse geomeetriatesse.

Ajalooline märkus

Eucliduse ajast alates on matemaatikud püüdnud viiendat postulaati teiste aksioomidest tuletada, kuna see tundus vähem ilmne kui teised. Püüdlused (nt Saccheri, Lambert) viisid lõpuks 19. sajandi avastusteni, et selle postulaadi asendamine teisega annab järjepidevad, kuid Eukleidest erinevad geomeetriad. Sellest kujunes oluline samm matemaatilise mõtlemise ja abstraktsuse arengus.

Kasutus ja tähendus

Paralleelipostulaat on praktiliselt kõigi tavapäraste eukleideliku geomeetria tulemuste alus — ehitustöödes, arhitektuuris, karteerimises ja paljudes inseneri- ning füüsikarakendustes, kus ruum ja tavalised tasapinnalised mõõtmised järgivad Eukleidese reegleid. Mõiste mõistmine aitab eristada, millises geomeetrilises mudelis mingi väide kehtib ning millal tuleb arvestada mitteeukleidiliste omadustega.