Paralleelne postulaat
Geomeetrias on paralleelipostulaat üks eukleidilise geomeetria aksioomidest. Mõnikord nimetatakse seda ka Eukleidese viiendaks postulaadiks, sest see on Eukleidese elementide viies postulaat.
Postulaat ütleb, et:
Kui lõikate sirgjoonest kaks joont ja nende kahe sisemise nurga summa on väiksem kui 180°, siis kohtuvad need kaks joont lõpuks, kui neid piisavalt pikaks venitada.
Geomeetria valdkonda, mis järgib kõiki Eukleidese aksioomi, nimetatakse Eukleidese geomeetriaks. Geomeetriat, mis ei järgi kõiki Eukleidese aksioomi, nimetatakse mitte-eukleidiliseks geomeetriaks.
Kui sisemiste nurkade α (alfa) ja β (beeta) summa on väiksem kui 180°, lõikuvad need kaks sirget kuskil, kui mõlemad on pikendatud lõpmatuseni.
Ajalugu
Mõned matemaatikud arvasid, et Eukleidese viies postulaat oli palju pikem ja keerulisem kui ülejäänud neli postulaati. Paljud neist arvasid, et seda saab tõestada teiste lihtsamate aksioomide põhjal. Mõned matemaatikud teatasid, et nad on selle lause tõestanud lihtsamate postulaatide põhjal, kuid kõik nad osutusid ekslikuks.
Playfairi aksioom
Teine uuem lause, mida tuntakse Playfairi aksioomina, on sarnane Eukleidese viienda postulaadiga. See ütleb, et:
Arvestades sirget ja punkti, mis ei asu sellel sirgel, saab läbi selle punkti tõmmata ainult ühe sirge, mis ei kohtuks teise sirgega.
Tegelikult leidsid matemaatikud, et see aksioom ei ole mitte ainult sarnane Eukleidese viienda postulaadiga, vaid sellel on täpselt samad tagajärjed. Matemaatiliselt nimetatakse neid kahte lauset "ekvivalentseteks" lauseteks. Tänapäeval kasutavad matemaatikud Playfairi aksioomi sagedamini kui Eukleidese algset paralleelpostulaati.
Mitte-eukleidiline geomeetria
Lõpuks püüdsid mõned matemaatikud ehitada uusi geomeetriat ilma aksioomi kasutamata. Üks mitte-eukleidilise geomeetria liik on nn elliptiline geomeetria. Elliptilises geomeetrias on paralleelipostulaat asendatud aksioomiga, mis ütleb, et:
Kui on antud sirge ja punkt, mis ei asu sellel sirgel, siis ei saa läbi selle punkti joonistada sirget, mis ei ristu lõpuks teise sirgega.
Matemaatikud leidsid, et kui nad asendasid Eukleidese viienda postulaadi selle aksioomiga, suutsid nad siiski tõestada paljusid teisi Eukleidese teoreeme. Üks võimalus kujutleda elliptilist geomeetriat on mõelda maakera pinnale. Gloobusel näivad geograafilised jooned olevat ekvaatoril paralleelsed, kuid kõik need kohtuvad poolustel. sajandi lõpus näidati, et elliptiline geomeetria on järjepidev. See tõestas, et Eukleidese viies postulaat ei ole sõltumatu teistest postulaatidest. Pärast seda lõpetasid matemaatikud enamasti katsed tõestada viiendat postulaati teiste nelja postulaadi põhjal. Selle asemel hakkasid paljud matemaatikud uurima teisi geomeetriaid, mis ei järgi Eukleidese viiendat postulaati.
Teine aksioom, millega matemaatikud mõnikord asendavad Eukleidese viienda aksioomi, ütleb, et:
Kui on antud sirge ja punkt, mis ei asu sellel sirgel, siis saab läbi selle punkti joonistada vähemalt kaks sirget, mis ei ristu lõpuks teise sirgega.
Seda nimetatakse hüperbooliliseks geomeetriaks.
Teine geomeetria lihtsalt eemaldab Eukleidese viienda postulaadi ja ei asenda seda millegi muuga. Seda nimetatakse neutraalseks geomeetriaks või absoluutseks geomeetriaks.
