Teoreem on matemaatikas väide, mille õigsus on kindlaks tehtud loogilise ja täpselt formuleeritud tõestuse abil. Tõestused toetuvad tavaliselt loogikale ja juba tõestatud tulemustele; mõnikord vajatakse uusi abilausedena väiksemaid tulemusi, mida nimetatakse lemmadeks. Teoreem koosneb tavaliselt kahest osast: hüpoteesidest (eeldustest) ja järeldusest (väitest, mis hüpoteesidest järgneb). Teoreeme kasutatakse laialdaselt matemaatikas teooriate ehituskivina ning need eristuvad teaduslikest teooriatest selle poolest, et teoreemid põhinevad loogilisel ja deduktiivsel järjepidevusel, mitte ainult empiirilistel vaatlustel.

Tõestamise põhimõtted ja tehnikad

Tõestuse eesmärk on näidata, et järeldus järgneb hüpoteesidest rangelt loogilistel sammudel. Levinumad tõestusviisid on:

  • Otsetõestus — alustatakse eeldustest ja leitakse samm-sammult järeldus.
  • Tõesuse vastandiga ehk tõestus vastuolust (reductio ad absurdum) — eeldatakse vastupidist ja näidatakse, et see viib loogilisse vastuolusse.
  • Kontrapozitiivne tõestus — tõestatakse, et kui järeldus ei kehti, siis hüpotees ei saa kehtida.
  • Matemaatiline induktsioon — sageli kasutusel arvude ja reaalsete tasandite puhul, kus tõestatakse baasjuht ja induktsioonisamm.
  • Kontruktivne ja mittenkontruktivne tõestus — mõnikord näidatakse konkreetne näide (kontruktivne); teinekord piirdutakse olemasolu väitega ilma näidet andmata (mittekontruktivne).
  • Kombinatoorne, geomeetriline, analüütiline ja probabilistlik lähenemine — sõltuvalt valdkonnast kasutatakse spetsiifilisi meetodeid ja tehnikat.

Tõestused võivad olla lühikesed ja otsekohesed või pikad ja keerukad, kus kasutatakse teiste valdkondade tulemusi ja sügavaid ideid.

Teoreemi osad ja seotud mõisted

Pärast peamise teoreemi tõestamist ilmnevad tihti ka järgmised seotud mõisted:

  • Korollaar ehk järeldus — tulemus, mis järgneb teoreemist lihtsa täiendava argumendiga.
  • Propositsioon — tavaliselt väiksem või vähem tähtis väide kui teoreem, kuid siiski tõendatav.
  • Oletus ehk konjektuur — väide, mida peetakse tõenäoliseks, kuid mis pole veel tõestatud.
  • Aksioomid — ilmsed või valitud algväited, millest ehitatakse üles teoreemide tõestused.

Tüübid ja raskusaste: triviaalsest sügavateni

Mõned teoreemid on triviaalsed või otsesed järeldused teistest lausetest; teised on sügavad, nõudes pikki või väljaspool valdkonda liiguvad tõestusi. Sügavad teoreemid võivad paljastada ootamatuid seoseid matemaatika erinevate harude vahel.

Heaks näiteks lihtselt sõnastatavast, kuid äärmiselt sügavast tulemusest on Fermat' viimane teoreem, mille täielik tõestus nõudis arenduslikku teooriat algebralise geomeetria ja aritmeetika vallas. Paljud muud sügavad tulemused on leitud näiteks arvuteoorias ja kombinatoorikas.

Arvutiga abistatud tõestused ja formalisatsioon

Mõnel juhul on teoreemide tõestamiseks vajalikud ulatuslikud arvutuslikud kontrollid. Näideteks on nelja värvi teoreem ja Kepleri oletus, mille tõestused taanduvad suures mahus arvutitele tehtavatele juhtumiuuringutele. Alguses tekitas selline lähenemine vastuolulisi reaktsioone, kuna osa matemaatikuid pidas arvutiabi mitte-intuitiivseks või raskesti kontrollitavaks; viimastel aastatel on aga arvutiga abistatud tõestused üha enam aktsepteeritud, eriti kui neid toetavad formaalsed kontrollid ja korduv valideerimine.

Mõned matemaatikud, näiteks Doron Zeilberger, on väljendanud radikaalseid seisukohti arvutite rolli kohta tõestustes, väites, et paljud mittetriviaalsed tulemused taanduvad arvutuslikele kontrollidele. Paralleelselt kasvab huvi formaalsete tõestussüsteemide ja tõestusassistentide (nt Coq, Lean jt) vastu, mis võimaldavad üle viia matemaatilised argumendid rangelt formaalsesse, masinloetavasse kujusse.

Kuidas kirjutada ja lugeda tõestust

Hea tõestus on loogiliselt järjekindel, võimalikult selge ja võimalusel varustab lugejat intuitiivse selgitusega. Tõestust kirjutades tasub:

  • alustada selgelt hüpoteeside ja väite kirjeldusega;
  • struktureerida tõestus etappideks (näiteks jaotada alates abijäreldustest ehk lemma'dest);
  • anda vajalikud viited varem tõestatud tulemustele;
  • sõnastada keerukamad sammud intuitiivse kommentaariga, et aidata lugejal mõista strateegiat;
  • kontrollida servjuhtumeid ja eelduste kehtivust.

Teoreemide roll ja tähendus

Teoreemid moodustavad matemaatika skeleti: nad fikseerivad teadmised, annavad aluse edasiseks uurimiseks ja loovad vahendid uute probleemide lahendamiseks. Hästi formuleeritud ja tõestatud teoreemid aitavad ühtlasi selgeks teha, millistest eeldustest mingi tulemus sõltub, ning teevad võimalikuks matemaatilise teadmise kogunemise ja edasikandumise.

Lõpetuseks: teoreem ei ole ainult formaalne väide — see on ka idee, mis, kui seda õigesti tõestada ja tõlgendada, avab uksi uutele küsimustele, metoodikale ja vahel ka täiesti uutele teadmisteliikidele.