Teoreem
Teoreem on tõestatud idee matemaatikas. Teoreemide tõestamisel kasutatakse loogikat ja teisi juba tõestatud teoreeme. Teoreem, mida keegi peab tõestama, et ta saaks tõestada teist teoreemi, nimetatakse lemma. Teoreemid koosnevad kahest osast, on hüpoteesid ja järeldused.
Teoreemid kasutavad deduktsiooni, erinevalt teooriatest, mis on empiirilised.
Mõned teoreemid on triviaalsed, need tulenevad otseselt lausetest. Teisi teoreeme nimetatakse "sügavaks", nende tõestamine on pikk ja keeruline. Mõnikord hõlmavad sellised tõestused teisi matemaatika valdkondi või näitavad seoseid erinevate valdkondade vahel. Teoreem võib olla lihtne esitada ja ometi sügav. Suurepärane näide on Fermat' viimane teoreem, ja on palju muid näiteid lihtsate, kuid sügavate teoreemide kohta muu hulgas arvuteoorias ja kombinatoorikas.
On ka teisi teoreeme, mille tõestus on küll teada, kuid mida ei ole lihtne üles kirjutada. Parimad näited on nelja värvi teoreem ja Kepleri oletus. Mõlema teoreemi tõesus on teada ainult siis, kui need taandatakse arvutuslikule otsingule, mida seejärel kontrollitakse arvutiprogrammiga. Alguses ei nõustunud paljud matemaatikud sellise tõestamise vormiga, kuid viimastel aastatel on see muutunud laialdasemalt aktsepteeritavaks. Matemaatik Doron Zeilberger on isegi nii kaugele läinud, et on väitnud, et need on tõenäoliselt ainsad mittetriviaalsed tulemused, mida matemaatikud on kunagi tõestanud. Paljud matemaatilised teoreemid saab taandada lihtsamatele arvutustele, sealhulgas polünoomiidentiteedid, trigonomeetrilised identiteedid ja hüpergeomeetrilised identiteedid.
Pythagorase teoreemil on vähemalt 370 teadaolevat tõestust.
Raamatud
- Heath, Sir Thomas Little (1897), The works of Archimedes, Dover, välja otsitud 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). Mees, kes armastas ainult numbreid: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. Hyperion, New York.
- Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. External link in
|title=(help)CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Küsimused ja vastused
K: Mis on teismis?
V: Teoreem on mõte, mille tõesust on matemaatikas tõestatud, kasutades loogikat ja teisi juba tõestatud teoreeme.
K: Mis on lema?
V: Lemma on väike teoreem, mida tuleb tõestada, et tõestada suurt teoreemi.
K: Kuidas koostatakse teoreemid?
V: Teoreemid koosnevad kahest osast - hüpoteesidest ja järeldustest - ja kasutavad pigem deduktsiooni kui empiirilisi teooriaid.
K: Kas kõiki teoreeme on raske tõestada?
V: Ei, mõned teoreemid on triviaalsed, sest need tulenevad otseselt propositsioonidest, samas kui teised nõuavad pikki ja keerulisi tõestusi, mis hõlmavad teisi matemaatika valdkondi või näitavad seoseid erinevate valdkondade vahel.
K: Kas teoreem võib olla lihtne, kuid samas sügav?
V: Jah, näiteks võib tuua Fermat' viimase teoreemi, mis on lihtne, kuid mille tõestamine on pikk ja keeruline.
K: Kas on olemas teoreemid, mille tõestus on küll teada, kuid mida ei saa lihtsalt kirja panna?
V: Jah, näiteks on nelja värvi teoreem ja Kepleri oletus, mida saab kontrollida ainult arvutiprogrammide abil.
K: Kas matemaatilisi teoreeme saab mõnikord taandada lihtsamatele arvutustele?
V: Jah, matemaatilisi teoreeme saab mõnikord taandada lihtsamatele arvutustele, näiteks polünoomiidentiteetidele, trigonomeetrilistele identiteetidele või hüpergeomeetrilistele identiteetidele.
