Fermat' viimane teoreem: definitsioon, ajalugu ja tõestus

Fermat' viimane teoreem on väga kuulus idee matemaatikas. See ütleb, et:

Kui n on täisarv, mis on suurem kui 2 (näiteks 3, 4, 5, 6.....), siis on võrrandiks

x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}}

ei ole lahendusi, kui x, y ja z on naturaalarvud (positiivsed täisarvud (täisarvud), välja arvatud 0 või "loendavad arvud", näiteks 1, 2, 3....). See tähendab, et ei ole ühtegi naturaalarvu x, y ja z, mille puhul see võrrand oleks tõene (st mõlema poole väärtused ei saa kunagi olla samad, kui x, y, z on naturaalarvud ja n on täisarv, mis on suurem kui 2).

Pierre de Fermat kirjutas sellest 1637. aastal oma raamatu "Arithmetica" sees. Ta ütles: "Mul on selle teoreemi tõestus, kuid sellel marginal ei ole piisavalt ruumi". Siiski ei leitud 357 aasta jooksul ühtegi õiget tõestust. Lõplikult tõestati see 1995. aastal. Matemaatikud kõikjal arvavad, et Fermatil tegelikult ei olnud selle teoreemi kohta head tõestust.

Mida teoreem täpselt tähendab

Lihtsustatult: võrrand xⁿ + yⁿ = zⁿ ei oma positiivsete täisarvude x, y, z lahendusi, kui eksponent n on terve arv suurem kui 2. See ei võta arvesse nulli ega negatiivseid arve — teoreem käsitleb just positiivseid naturaalarve.

Lihtne erand: n = 2

Kui n = 2, siis võrrand x² + y² = z² on tuntud Pythagorase teoreemi seose kaudu ja tal on lõputult palju lahendeid (Pythagorased kolmikud), näiteks 3² + 4² = 5². Fermat' viimane teoreem ütleb, et midagi sarnast ei juhtu, kui eksponent on 3 või suurem.

Ajalugu ja olulised verstapostid

• 1637 — Pierre de Fermat teeb kuulsa märkuse raamatus Arithmetica, väites, et tal on "lõplik tõestus", kuid see ei mahu marginaali.
• 18. sajand — mitmed matemaatikud tõestavad teoreemi erijuhtude jaoks: näiteks Leonhard Euler tõestas juhtumi n = 3, Fermat ise oli teadlik ja kasutas juhtumi n = 4 tõestust, mis võimaldas üldist vähendust (igat suuremat eksponenti saab mõnikord ümber viia p-eksponendi puhul p = algarv; Fermat kasutas selliseid reduktsioone ja lõputut descenti n = 4 puhul).
• 19. sajand — Ernst Kummer arendas välja ideaalarvude teooria ja tõestas teoreemi paljudele algarvudele nimega regulaarsete algarvude puhul.
• 20. sajandi lõpp — 1980ndatel tuli kaasa uus lähenemine: Gerhard Frey märkas, et kui eksisteeriks lahendus x^p + y^p = z^p (p algarv), siis sellest võiks konstrueerida teatud elliptse kõvera (Frey curve), mille omadused tundusid vastuolus planeeritud teooriatega.
• 1986 — Ken Ribet tõestas, et Frey objekti ja Taniyama–Shimura (modulaarsuse) seose korral järgneb Fermat' teoreemi kehtivus: st kui Taniyama–Shimura kinnitatuks semistabiilsete elliptsete kõverate kohta, siis Fermat' viimane teoreem oleks tõene.
• 1994–1995 — Andrew Wiles (koos Richard Taylori täiendustega) tõestas semistabiilsete elliptsete kõverate modulaarsuse erijuhtumi, mis andis lõpuks Fermat' viimase teoreemi tõestuse. Esialgne avaldus (1993) sisaldas viga, mille Wiles koos Tayloriga parandas ja lõplikud tööd avaldati 1995. aastal.
• 2001 ja edasi — täielik modulaarsuse (Taniyama–Shimura–Weili) teoreem kõigi Q peal olevate elliptiliste kõverate kohta sai lõpuks kinnituse mitme autori tööna (nt Breuil, Conrad, Diamond, Taylor), kinnitades teemat veelgi laiemalt.

Lühike ja lihtsustatud tõestuse skeem (mitte tehniline)

• Eeldus: oletame, et on olemas positiivsed täisarvud x, y, z ja algarv p > 2, mis rahuldavad x^p + y^p = z^p.
• Konstrueritakse Frey nimeline elliptne kõver, millel on erilised aritmeetilised omadused, mis tundusid olevat "vähevenduvad" modulaarsuse väidete suhtes.
• Ribet näitab, et kui Frey kõver oleks modulaarne, siis see viiks vastuoluni kontrollitavate aritmeetiliste invariantsidega — sellest järeldub, et teatud juhtudel peab Frey kõver olema mittenmodulaarne.
• Wiles tõestas, et kõik semistabiilsed elliptsed kõverad üle Q on modulaarsed. See tähendab, et Frey kõver peab ikkagi olema modulaarne — tekib vastuolu ja eeldus lahenduse olemasolust peab olema väär. Seega lahendust ei saa olla.

Oluline märkus Fermat'i väite kohta

Enamik ajaloolasi ja matemaatikuid usub, et Fermat'il ei olnud üldist korrektset tõestust kogu teoreemi kohta — ta oli tõenäoliselt leidnud õige argumendi ainult juhtumi n = 4 jaoks ja uskus valesti, et sarnane idee töötab kõigi n-de puhul. Ka tema märkus marginaalis oli väga napp ega andnud üldist skeemi.

Mille poolest see teoreem on tähtis?

• See oli üks kuulsamaid ja püsivamaid avatud probleeme matemaatikas ning on motiveerinud sajandeid pingutusi ja uusi arenguid algebra ja numberteooria alal.
• Frey–Ribet–Wiles’i teekond sidus rangelt näiliselt eri valdkonnad: diofantika võrrandid, elliptsed kõverad ja modulaarsed vormid, mille tulemusena tekkisid uued meetodid ja teooriad, mis on tänaseks määrava tähtsusega aritmeetilises geomeetrias ja mooduliarituse uurimises.

Kokkuvõte

Fermat' viimane teoreem väidab, et võrrandil xⁿ + yⁿ = zⁿ pole positiivseid täisarvulisi lahendeid, kui n > 2. Kuigi Fermat väitis olevat leidnud tõestuse juba 17. sajandil, õnnestus täielik ja rangelt kontrollitud tõestus alles 1994–1995, kui Andrew Wiles koos kaasautoritega tõestas vajaliku modulaarsuse erijuhtumi ning nii suleti üks matemaatikaajaloo pikemaid avatud juhtumeid.