Algebralahendus: määratlus, põhimeetodid ja Abel-Ruffini teoreem

Algebralahendus on algebraline avaldis, mis annab algebralise võrrandi lahendi(või lahendite) väljendatuna tundmatute koefitsientide ja lõplikult äralugedes lubatud aritmeetiliste ja juurte toimingute abil. Traditsiooniliselt mõeldakse algebralahendiga lahendit, mida saab moodustada ainult liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ning juurtõstmise (näiteks ruutjuur, kuupjuur jms) kombinatsioonidena. See tähendab, et lahend avaldub finiitsetes sammudes koos elementaarsete algebraoperatsioonidega ja juurefunktsioonidega.

Kõige tuntum ja lihtsam näide on üldise kvadraatilise võrrandi lahendamine. Selle puhul saab lahendi avaldada sulgudes ja ruutjuure abil:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},} $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},$

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,} $ax^{2}+bx+c=0\,$

(kus a ≠ 0).

Põhimeetodid algebralahendite leidmiseks

Otseanalüüs ja faktoreerimine — kui polünoom jagub lihtsamate polünoomidega (lineaarsete või kvadratiliste teguritega), saab selle lahendid leida jagades probleemiks madalama astme võrrandeid.
Ratsionaalsete nullide teoreem ja kontroll — võimalike ratsionaalsete juurte loendamine ja kontrollimine lihtsustab faktorite leidmist.
Asendused ja transformatsioonid — näiteks Tschirnhaus'i transformatsioonid, et vähendada kuup- või kvartaalse võrrandi kujule, mida saab lahendada tuntud valemitega.
Cardano ja Ferrari valemid — kuubi- ja kvartaalse võrrandi täpsed algebralised valemid (Cardano kuubi jaoks ja Ferrari kvartaalse jaoks), kuigi need valemid võivad olla väga keerulised ja sisaldada ruut- ning kuupjuurte keerukaid kombinatsioone.
Numbrilised meetodid — Newtoni meetod, bisektsioon ja muud itereerivad algoritmid annavad lähendused, kui täpset algebralahendit ei ole või see on ebapraktiline.
Arvuti- ja sümboolarvutus — arvutialgebra süsteemid oskavad automaatselt faktoriseerida ja leida keerukaid sümboolseid väljendeid.

Abel–Ruffini teoreem ja selle tähendus

Kuubilise ja kvartaalse võrrandi puhul on olemas keerulisemad, kuid siiski algebralised lahendivalemid. Kuid 19. sajandil näitasid Paolo Ruffini (osaürituslikult) ja hiljem täpsemalt Niels Henrik Abel, et üldise astmega n-astmelist polünoomvõrrandit ei saa väljendada lõpliku kompositsioonina ainult liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja juurte abil, kui n ≥ 5. Seda väidet tuntakse Abel–Ruffini teoreemina.

Oluline täpsustus: teoreem ütleb, et üldise (st parameetrite vabas) astmega ≥5 polünoomi lahendit ei ole võimalik väljendada radikaalide abil universaalselt. See ei välista, et mõningad konkreetset astet 5 või suuremad polünoomid võivad siiski olla algebralise lahendiga — see sõltub polünoomi algebrailisest struktuurist.

Miks mõningaid kõrgema astme võrrandeid siiski saab lahendada?

Galois'i teooria annab täpse tingimuse: polünoomi lahendite väljendatavus radikaalide kaudu sõltub selle Galois' grupi struktuurist. Kui Galois' grupp on lahendatav (solvable), siis polünoomi juured on väljendatavad radikaalide abil; kui mitte, siis algebralist lahendit radikaalidega ei ole.

Seega leidub astmega ≥5 polünoome, mille Galois' grupp on lahendatav — need on algebralised (näiteks paljud binomiaalvõrrandid ja mõned spetsiaalselt konstrueeritud kvintilised näited). Samas enamik juhuslikke kvintilisi polünoome ei oma seda omadust ja on seetõttu radikaalidega lahendamatud.

Erandid ja lihtsamad juhtumid

Lihtsad binomiaalvõrrandid, nagu x 10 = a {\displaystyle x^{10}=a} $x^{10}=a$ , annavad otse algebralise lahendi x = a 1 / 10 . {\displaystyle x=a^{1/10}. } $x=a^{1/10}.$
Cyclotomilised ülesanded (juurte moodustamine juurte ühiste omaduste alusel) ja teatud sümmeetrilised polünoomid võivad samuti anda radikaalseid lahendeid.
Mõned kvintilised võrrandid on teisendatavad kujule, mille lahendamiseks on tuntud erivõtted (näiteks Bring–Jerrardi vorm ja lahendused elliptfunktsioonide abil), kuid need meetodid ei ole väljendatavad üksnes elementaarsete juurte kaudu kõigi juhtude jaoks.

Praktilised soovitused

Alustage alati lihtsamatest sammudest: kontrollige võimalikku faktoreerimist, ratsionaalsete juurte tõenäosust ja teostage asendusi, mis vähendavad astet.
Kasuta Cardano ja Ferrari valemeid ainult siis, kui see annab selgelt arusaadava väljendi; tihti on praktilisem või selgem kasutada numbrilisi meetodeid.
Kui tegemist on konkreetse astmega ≥5 võrrandiga ja eesmärgiks on teada, kas algebraline lahendus üldse eksisteerib, viitab Galois' teooria otsus sellele vastusele; arvutiprogrammid saavad leida Galois' grupi ja öelda, kas see on lahendatav.

Kokkuvõte: algebralahendus tähendab lahendi väljendamist ainult elementaarsete aritmeetiliste operatsioonide ja juurte abil. Kvadratilised, kuubilised ja kvartaalsed üldvalemid eksisteerivad, kuid Abel–Ruffini teoreem näitab, et üldist radikaalset lahendit ei ole olemas astmete ≥5 jaoks. Samas konkreetsetel juhtudel — sõltuvalt polünoomi sisemisest struktuurist — võivad algebralised lahendused siiski eksisteerida.

Küsimused ja vastused

K: Mis on algebralahendus?

V: Algebralahendus on algebraline avaldis, mis on algebralise võrrandi lahendus muutujate koefitsientide abil. Seda saab leida liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja juurte (ruutjuured, kuupjuured jne) ekstraheerimise abil.

K: Mis on tuntud näide algebralise lahenduse kohta?

V: Kõige tuntum näide on üldise kvadraatilise võrrandi lahendus.

K: Kas kõrgema astme võrrandite lahendamine on keerulisem?

V: Jah, on olemas üldiste kuubiliste võrrandite ja kvartaalsete võrrandite keerulisem lahendus.

K: Kas igal polünoomi võrrandil on algebraline lahendus?

V: Ei, vastavalt Abel-Ruffini teoreemile väidab, et üldisel kvintiline võrrand ei oma algebralist lahendust. See tähendab, et üldist n-astmelist polünoomi võrrandit, mille puhul n ≥ 5, ei saa lahendada ainult algebra abil.

Küsimus: Kas on tingimusi, mille korral saame kõrgema astme võrranditele algebralise lahenduse?

V: Jah, teatud tingimustel saame algebralise lahenduse; näiteks võrrandit x^10 = a saab lahendada kujul x = a^(1/10).

K: Kuidas lahendada kvadraatilist võrrandit?

V: Kvadraatilise võrrandi lahendamiseks tuleb kasutada liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist, samuti tuleb sellest eraldada ruutjuured või muud tüüpi juured.