Algebraline võrrand määratlus tüübid lahendused ja näited

Matemaatikas on algebraline võrrand (tuntud ka kui polünoomi võrrand) üldiselt võrrand, mis lähtub polünoomidest antud valdkonna kohal. Üldine vorm ühe- või mitmemuutujalise võrrandi korral on P = Q, kus P ja Q on polünoomid üle vastava välja ja neil on üks (ühe muutuja) või rohkem kui üks (mitme muutuja) muutuja.

P = Q {\displaystyle P=Q}

Näiteks

y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}}

on algebraline võrrand ratsionaalarvude üle. Kui kirjeldada või lahendada võrrandit, tuleb alati täpsustada, millises arvukogumis otsitakse lahendeid (täisarvud, ratsionaalarvud, reaalarvud, kompleksarvud jne).

Tüübid ja aste

Algebralisi võrrandeid liigitatakse nende suurima muutuja astme järgi:

• Lineaarvõrrand – aste 1, kujul ax + b = 0; lahenduseks üks otsene avaldis.
• Kvadraatvõrrand – aste 2, kujul ax^2 + bx + c = 0; lahendamiseks kasutatakse tihti faktoreerimist või kvadratuurivalemit.
• Kõrgemate astmete polünoomid – astmed 3, 4, 5 jne; astme järgi muutub lahendamise keerukus.

Mittemuutujalised võrrandid (st polünoomid mitme muutuja) võivad moodustada süsteeme, mille lahendamiseks kasutatakse ekvivalente meetodeid nagu asendamine või elimineerimine.

Ekvivalentsus ja teisendused

Kahte võrrandit nimetatakse ekvivalentseks, kui neil on sama hulk lahendusi. See tähendab, et teise võrrandi kõik lahendused peavad olema ka esimese lahendused ja vastupidi. Näiteks

võrrand P = Q {\displaystyle P=Q} on samaväärne võrrandiga P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}.

Kui algebraline võrrand on üle ratsionaalarvude, saab selle sageli teisendada samaväärseks võrrandiks, kus kõik koefitsiendid on täisarvud. Näiteks eelneva võrrandi puhul võib korrutada kõiki liikmeid sobiva ühisteguri (näiteks 42-ga), mis annab täisarvukoefitsientidega kujundi:

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}

Lahendused ja juured

Võrrandi lahenditeks nimetatakse muutuja väärtusi, mille puhul võrrand on tõene. Algebraliste võrrandite puhul kasutatakse sageli ka mõistet juured (roots). Oluline on märkida:

• Multiplicity ehk juure kordus – kui x = r on juur ja polünoom jagub (x−r)^k'ga, siis r on k-kordne juur.
• Fundamental theorem of algebra: iga mittetühi komplekspolünoom astmega n ≥ 1 omab täpselt n kompleksjuurt, arvestades kordusi.

Võrrandi lahendamisel tuleb alati määrata, millises kogumis lahendusi otsitakse. Näiteks kui võrrand esitatakse ratsionaalarvude kontekstis, võivad huvipakkuvad lahendid olla täisarvud – siis räägitakse diofantsetest võrranditest. Lahendusi võidakse otsida ka reaalarvude või kompleksarvude hulgast.

Lahendamise meetodid

Võimalikud meetodid sõltuvad astmest ja võrrandi tüübist. Peamised lähenemised ühe muutuja puhul:

• Faktoreerimine – kirjutada polünoom produktideks ja kasutada nullide omadust (abiks võib olla ühistegur või kvadrati lõpetamine).
• Kvadratuurivalem kvadratuurvõrrandile ax^2+bx+c=0.
• Ratsionaalsete juurte teoreem aitab leida võimalikke ratsionaalseid irreducible juurte kandidaate kõrgemate astmete puhul.
• Sünteetiline jagamine ja Polünoomi jagamine aitavad vähendada astet, kui üks juur on teada.
• Cubic ja quartic lahendused – Cardano ja Ferrari meetodid võimaldavad lahendada 3. ja 4. astme võrrandeid radikaalsete avaldistega.
• Numeerilised meetodid – Newton–Raphson, sekantmeetod ja muud iteratiivsed meetodid annavad lähendused eriti keerukate või mittemõõdetud juhtumite korral.
• Mitmemuutujalised süsteemid – asendamine, elimineerimine, determinantmeetodid, ja arvutamisel Groebner'i baasid süstemaatiliseks lahendamiseks.

Diofantne ja erijuhtumid

Diofantsete võrrandite puhul otsitakse täisarvulisi või ratsionaalseid lahendeid; need probleemid võivad olla väga rasked ja sageli nõuavad ranged teoreetilised tööriistad (nt aritmeetika, moodulid, algebraic number theory). Samuti on oluline eristada lahendeid reaalarvude ja kompleksarvude hulgas — mõnel juhul on reaaljuureid vähe või üldse mitte, kuid kompleksjuured eksisteerivad alati (Fundamental theorem of algebra).

Näited

Lihtne näide kvadratuurvõrrandist ja selle positiivne lahend:

x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}}

Positiivne lahend on

x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

Ajalooline ülevaade

Võrrandite lahendamise ajalugu ulatub antiikajani: näiteks vanad egiptlased tundsid kvadratuurvõrrandite lahendamist. Renessansi ajal andsid märkimisväärse panuse Gerolamo Cardano (3. astme lahendused) ja Lodovico Ferrari (4. astme). 1824. aastal tõestas Niels Henrik Abel, et üldist 5. astme ja kõrgemat polünoomi ei saa üldjuhul lahendada radikaalsete avaldistega; selle teemat süvendas Évariste Galois, kelle nimega seotud Galois' teooria annab kriteeriumid, millistel juhtudel on võrrand radikaalidega lahendatav.

Märkused ja edasine lugemine

Algebraliste võrrandite uurimine on seotud polünoomide ja abstraktse algebra teemadega ning pakub ühendust nii teoreetilise matemaatika kui rakenduste (nt füüsika, inseneriteadus, arvutialgoritmid) vahel. Sügavamaks tundmaõppimiseks sobivad teemadena polünoomide faktoreerimine, Galois' teooria, numbriteooria ning numeerilised meetodid.

Küsimused ja vastused

K: Mis on algebraline võrrand?

K: Kuidas võivad kaks võrrandit olla ekvivalentsed?

K: Mida tähendab võrrandi lahendamine?

K: Kas algebralisi võrrandeid ratsionaalarvude üle saab alati teisendada täisarvuliste koefitsientidega võrranditeks?

K: Millal tahtsid iidsed matemaatikud radikaalseid väljendeid ühearvuliste võrrandite jaoks?

K: Kes lahendasid sel ajal 3. ja 4. astme võrrandeid?

K: Kes tõestas, et kõrgema astme võrrandeid ei saa alati lahendada radikaalide abil?

Otsing