Algebraline võrrand

Matemaatikas on algebraline võrrand, mida nimetatakse ka polünoomi võrrandiks antud valdkonna kohal, võrrand kujul

P = Q {\displaystyle P=Q} $P=Q$

kus P ja Q on polünoomid üle selle välja ja neil on üks (ühe muutuja) või rohkem kui üks (mitme muutuja) muutuja. Näiteks:

y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}} $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$

on algebraline võrrand ratsionaalarvude üle.

Kahte võrrandit nimetatakse ekvivalentseks, kui neil on sama hulk lahendusi. See tähendab, et teise võrrandi kõik lahendused peavad olema ka esimese lahendused ja vastupidi. Võrrand P = Q {\displaystyle P=Q} $P=Q$ on samaväärne võrrandiga P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0} $P-Q=0$ . Seega on algebraliste võrrandite uurimine samaväärne polünoomide uurimisega.

Kui algebraline võrrand on üle ratsionaalarvude, saab selle alati teisendada samaväärseks võrrandiks, kus kõik koefitsiendid on täisarvud. Näiteks ülaltoodud võrrandis korrutame 42 = 2-3-7 ja rühmitame terminid esimese liikmega. Võrdus teisendatakse

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} $42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0$

Võrduse lahendid on muutujate väärtused, mille puhul võrrand on tõene. Kuid algebraliste võrrandite puhul nimetatakse ka juurteks. Võrduse lahendamisel peame ütlema, millises kogumis on lahendused lubatud. Näiteks ratsionaalarvude kohase võrrandi puhul võib leida lahendusi täisarvudes. Siis on võrrand diofantne võrrand. Lahendusi võib otsida ka kompleksarvude hulgast. Samuti võib otsida lahendusi reaalarvudes.

Vanad matemaatikud soovisid ühe muutujaga võrrandite (st ühe muutujaga võrrandite) lahendusi radikaalsete avaldiste kujul, nagu x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ positiivse lahenduse x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}} $x^{2}+x-1=0$ jaoks. Vanad egiptlased teadsid, kuidas lahendada 2. astme võrrandeid (st võrrandeid, mille suurim muutuja võimsus on 2) sel viisil. Renessansi ajal lahendas Gerolamo Cardano 3. astme võrrandi ja Lodovico Ferrari 4. astme võrrandi. 1824. aastal tõestas lõpuks Niels Henrik Abel, et 5. astme võrrandit ja kõrgema astme võrrandeid ei saa alati lahendada radikaale kasutades. Évariste Galois' järgi nimetatud Galois' teooria võeti kasutusele, et anda kriteeriumid, mille alusel otsustada, kas võrrand on radikaale kasutades lahendatav.

Küsimused ja vastused

K: Mis on algebraline võrrand?

V: Algebraline võrrand on võrrand kujul P = Q, kus P ja Q on ühe või mitme muutujaga polünoomid antud väljal.

K: Kuidas võivad kaks võrrandit olla ekvivalentsed?

V: Kaks võrrandit loetakse ekvivalentseks, kui neil on sama hulk lahendusi, st kõik ühe võrrandi lahendid peavad olema ka teise võrrandi lahendid ja vastupidi.

K: Mida tähendab võrrandi lahendamine?

V: Võrduse lahendamine tähendab muutujate väärtuste leidmist, mis muudavad võrrandi tõeseks. Neid väärtusi nimetatakse juurteks.

K: Kas algebralisi võrrandeid ratsionaalarvude üle saab alati teisendada täisarvuliste koefitsientidega võrranditeks?

V: Jah, korrutades mõlemad pooled arvuga, näiteks 42 = 2-3-7, ja grupeerides esimese liikme termid, saab iga ratsionaalarvude algebralise võrrandi teisendada täisarvuliste koefitsientidega võrrandiks.

K: Millal tahtsid iidsed matemaatikud radikaalseid väljendeid ühearvuliste võrrandite jaoks?

V: Antiikmatemaatikud soovisid radikaalseid väljendeid (nagu x=1+√5/2) ühe muutujaga võrrandite (ühe muutujaga võrrandid) jaoks renessansiajastul.

K: Kes lahendasid sel ajal 3. ja 4. astme võrrandeid?

V: Gerolamo Cardano lahendas sel ajal 3. astme võrrandeid ja Lodovico Ferrari lahendas 4. astme võrrandeid.

K: Kes tõestas, et kõrgema astme võrrandeid ei saa alati lahendada radikaalide abil?

V: Niels Henrik Abel tõestas 1824. aastal, et kõrgema astme võrrandeid ei saa alati radikaale kasutades lahendada.