Polünoom: definitsioon, näited ja rakendused algebras

Polünoom on algebraline väljend, mis koosneb mitmest liikmest ehk matemaatilise termini summast. Iga termin on monoom — arv, muutuja või mitme muutuja korrutis, kus muutujate eksponendid on mittnegatiivsed täisarvud. Näiteks avaldis 7x⁴-3x³+19x²-8x+197 on tüüpiline polünoom: selles on viie liikme summa, igaühes koefitsient ja muutuja astendatud täisarvuna.

Peamised mõisted

Koefitsiendid: polünoomi iga liikme ees olevad arvud (näiteks 7, −3, 19, −8, 197).
Aste (grad): suurim liikme eksponent kogu polünoomis (näites on aste 4).
Konstandi liikme: muutuja sisaldamata osa (näites 197).
Nullkoht (juur): selline x-väärtus, mille korral polünoom võrdub nulliga (lahendades 7x⁴-3x³+19x²-8x+197 = 0 saab polünoomi nullkohad).

Mida polünoom sisaldab ja mida mitte

Polünoomi puhul on lubatud ainult liitmine, lahutamine, korrutamine ja muutujate astendamine positiivsete täisarvudega (eksponendid). Kui avaldis sisaldab muutujaga jagamist, negatiivseid või murdarvulisi eksponente, ruutjuurt või trigonomeetrilisi funktsioone, siis see enamasti polünoom ei ole. Näited, mis EI OLE polünoomid: x⁻¹, √x, x^(1/2), sin(x), 1/(x+1).

Polünoomifunktsioonid ja võrrandid

Polünoome kasutatakse tihti polünoomi võrrandite loomiseks (nt 7x⁴-3x³+19x²-8x+197 = 0) ja polünomifunktsioonide moodustamiseks (nt f(x) = 7x⁴-3x³+19x²-8x+197). Polünoomi funktsiooni väärtuse arvutamine (hindamine) toimub lihtsasti, asendades x soovitud arvuga — näiteks f(2) = 7·2⁴ − 3·2³ + 19·2² − 8·2 + 197.

Olulised omadused ja töödeldavus

Polünoomide liitmine, lahutamine ja korrutamine annab alati uue polünoomi.
Polünoomide jagamine ei pruugi alati anda polünoomi (kui jagaja pole taandatav vastavalt jäägita jagamise reegile), kuid polünoome saab jagada polünoomidega kasutades näiteks jagamist kolonni või Horneri skeemi.
Polünoomi tuletis ja integraal on samuti polünoomid — see teeb polünoomid eriti mugavaks analüüsis ja numbrilistes meetodites.
Polünoomi asemele kõrgete astmete tõttu käitumist määrab juhtivkoefitsient ja aste (nt kui aste on paarisarv ja juhtivkoefitsient positiivne, siis f(x) → +∞ nii x → +∞ kui x → −∞).

Levinud meetodid

Faktoreerimine: lihtsustab polünoomi nullkohtade leidmist (näide: x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3)).
Nullkohtade leidmine: aritmeetilised meetodid, teoreemid (nt ratsionaalsete juurte teoreem), numbrilised meetodid (Newtoni meetod) ja graafiline analüüs.
Horneri skeem: efektiivne viis polünoomi väärtustamiseks ja jagamiseks.

Rakendused

Polünoome kasutatakse laialdaselt:

matemaatilises modelleerimises ja lähendustes (polünoomid sobivad andmepunktide vahele sobitamiseks ja interpolatsiooniks),
inseneriteaduses ja füüsikas (süsteemide modelleerimine, signaalitöötlus),
arvutiteaduses ning numbrilistes algoritmides (näiteks polünoomiline approximeerimine),
kooditeoorias ja krüptograafias (teatud polünoomidega seotud struktuurid),
õpetuses: algebras on polünoomid põhiteema, mis valmistab ette keerukamateks matemaatilisteks aineteks.

Lühike kokkuvõte

Polünoom on lihtne ja võimas tööriist matemaatikas: see on algebraline avaldis, mis koosneb monoomidest ja kus lubatud operatsioonid on liitmine, lahutamine, korrutamine ja täisarvulised eksponendid. Tänu oma omadustele ning lihtsusele on polünoome lihtne analüüsida ja neid kasutatakse paljudes teaduse ja tehnika valdkondades.

Polünoomide kohta

Polünoomi puhul "mõistetakse korrutamist". See tähendab näiteks, et 2x tähendab kaks korda x ehk kaks korda x. Kui x on 7, siis 2x on 14.

Polünoomi pluss- või miinusmärgiga eraldatud osi nimetatakse "terminiteks". Pluss- või miinusmärk on osa terminist. Seega on polünoomi 7x⁴-3x³+19x²-8x+197 terminid:

7x⁴

-3x³

+19x²

-8x

+197

Kui polünoomil on ainult üks termin, nimetatakse seda "monomiks". 5x³ on monoom. Eespool olevat korrutajat nimetatakse "koefitsiendiks", kirja nimetatakse "tundmatuks" või "muutujaks" ja x-i järel olevat tõstetud arvu nimetatakse eksponendiks. Kalkulaatoril ja mõnes arvutis kasutatakse x-i kohal ja paremal pool eksponendi asemel sümbolit ^, nii et ülaltoodud monomiaal võiks kirjutada 5x^3.

Polünoomi, millel on täpselt kolm terminit, nimetatakse "trinoomiks".

Polünoomi, millel on täpselt kaks terminit, nimetatakse "binoomiks".

Terminit, milles ei ole muutujaid, nimetatakse "konstantseks terminiks".

Ühe muutujaga, kuid ilma eksponendita terminit nimetatakse "esimese astme terminiks" või "lineaarseks terminiks".

Ühe muutujaga terminit, mille eksponent on 2, nimetatakse "teise astme terminiks" või "kvadraatiliseks terminiks". "Kvadraatiline võrrand" on võrrand, mille suurim eksponent mis tahes termis on 2.

Ühe muutujaga terminit, mille eksponent on 3, nimetatakse "kolmanda astme terminiks" või "kuupmeetritermiks". "Kuubiline võrrand" on võrrand, mille suurim eksponent mis tahes termis on 3.

Ühe muutujaga terminit, mille eksponent on 4, nimetatakse "neljanda astme terminiks" või "kvartiiterminiks". "Kvartsiline võrrand" on võrrand, mille suurim eksponent mis tahes termis on 4.

Ühe muutujaga terminit, mille eksponent on 5, nimetatakse "viienda astme terminiks" või "kvintterminiks". "Kvintiline võrrand" on võrrand, mille suurim eksponent mis tahes termis on 5.

Ühe muutujaga terminit, mille eksponent on 6, nimetatakse "kuuenda astme terminiks" või "kuuendikterminiks". "Sekstiline võrrand" on võrrand, mille suurim eksponent mis tahes termis on 6.

Küsimused ja vastused

K: Mis on polünoom?

V: Polünoom on mingi matemaatiline väljend, mis on mitme matemaatilise termi, mida nimetatakse monomiteks, summa, mis on arvud, muutujad või arvude ja mitme muutuja produktid.

K: Kuidas kasutavad matemaatikud, teadlased ja insenerid polünoome?

V: Matemaatikud, teadlased ja insenerid kasutavad probleemide lahendamiseks kõik polünoome.

K: Milliseid operatsioone saab kasutada algebralises väljendis, et muuta see polünoomiks?

V: Selleks, et algebralist väljendit saaks pidada polünoomiks, võib kasutada ainult liitmist, lahutamist, korrutamist ja täisarvude korrutamist. Kui kasutatakse raskemaid operatsioone, nagu jagamine või ruutjuured, siis ei loeta algebralist väljendit polünoomiks.

Küsimus: Millist tüüpi võrrandeid saab moodustada polünoomide abil?

V: Polünoome kasutatakse sageli nii polünoomi võrrandite (näiteks 7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197=0) kui ka polünoomi funktsioonide (näiteks f(x)=7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197) moodustamiseks.

Küsimus: Millisest õppeainest peab aru saama, et töötada polünoomidega?

V: Selleks, et töötada polünoomidega, peab mõistma algebrat, mis on väravaks kõigile tehnilistele ainetele.