Zenoni paradoksid

Achilleus ja kilpkonn

Paradoksis "Achilleus ja kilpkonn" on Achilleus kilpkonnaga jalavõitluses. Achilleus lubab kilpkonnale näiteks 100 meetri pikkuse edumaa. Oletame, et kumbki võistleja alustab jooksu konstantse kiirusega, üks väga kiiresti ja teine väga aeglaselt. Mõne lõpliku aja möödudes on Achilleus jooksnud 100 meetrit, mis viib teda kilpkonna stardipaika. Selle aja jooksul on aeglasem kilpkonn jooksnud palju lühema distantsi. Seejärel kulub Achilleusel veel mõni aeg selle distantsi läbimiseks, mille jooksul kilpkonn on edasi liikunud. Seejärel kulub Achilleusel veel rohkem aega, et jõuda kolmandasse punkti, samal ajal kui kilpkonn jälle edasi liigub. Seega, kui Achilleus jõuab kuhugi, kus kilpkonn on käinud, on tal veel kaugemale minna. Seega, kuna on lõpmatult palju punkte, kuhu Achilleus peab jõudma, kus kilpkonn juba käinud on, ei saa ta kilpkonnast kunagi mööduda.

Dihhotoomia paradoks

Oletame, et keegi soovib jõuda punktist A punkti B. Kõigepealt peab ta liikuma poolel teel. Seejärel peab ta läbima poole ülejäänud teekonnast. Nii jätkates jääb alati mingi väike vahemaa järele ja tegelikult ei jõuta kunagi eesmärgini. Alati tuleb lisada veel üks arv, näiteks 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..... Niisiis, liikumine ükskõik millisest punktist A ükskõik millisesse teise punkti B on vaadeldav kui võimatus.

Kommentaar

Selles seisnebki siis Zenoni paradoks: mõlemad tegelikkuse kujutlused ei saa olla üheaegselt tõesed. Seega, kas: 1. Midagi on valesti selles, kuidas me tajume aja pidevat olemust, 2. Tegelikkuses ei ole olemas sellist asja nagu diskreetne või inkrementaalne aeg, vahemaa või ehk midagi muud, mis on oluline, või siis 3. On olemas kolmas pilt reaalsusest, mis ühendab need kaks pilti - matemaatilise ja terve mõistuse või filosoofilise -, mille täielikuks mõistmiseks meil veel vahendeid ei ole.

Kavandatud lahendused

Vähesed inimesed panustaksid, et kilpkonn võidab võidujooksu sportlase vastu. Aga, mis on selle argumendi juures valesti?

Kui hakata liitma termineid seerias 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...., võib märgata, et summa läheneb üha rohkem ja rohkem ühele ning ei ületa kunagi 1. Aristoteles (kellest pärineb suur osa sellest, mida me teame Zenoni kohta) märkis, et kui vahemaa (dihhotoomia paradoksis) väheneb, muutub iga vahemaa läbimiseks kuluv aeg üha väiksemaks ja väiksemaks. Enne 212. aastat eKr. oli Archimedes välja töötanud meetodi, kuidas tuletada lõplikku vastust lõpmatult paljude järjest väiksemaks muutuvate terminite summale (näiteks 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Kaasaegne arvutus saavutab sama tulemuse, kasutades rangemaid meetodeid.

Mõned matemaatikud, nagu näiteks w:Carl Boyer, on seisukohal, et Zenoni paradoksid on lihtsalt matemaatilised probleemid, millele tänapäeva arvutus pakub matemaatilist lahendust. Siiski jäävad Zenoni küsimused problemaatiliseks, kui läheneda lõpmatule seeriale samm-sammult. Seda nimetatakse superülesandeks. Kalkulatsioon ei hõlma tegelikult arvude liitmist ükshaaval. Selle asemel määratakse kindlaks väärtus (mida nimetatakse piiriks), millele liitmine läheneb.

Vt ingliskeelsed Vikipeedia artiklid

• Zenoni paradoksid
• Parabooli kvadratuur
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
• Thompsoni lamp