Kombineeritud gaasiseadus: PV/T valem, seos rõhu, mahu ja temperatuuri vahel

Boyle'i seadus sätestab, et rõhu ja mahu korrutis on konstantne:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

Charlesi seadus näitab, et ruumala on proportsionaalne absoluutse temperatuuriga:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

Gay-Lussaci seadus ütleb, et rõhk on proportsionaalne absoluutse temperatuuriga:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

kus P on rõhk, V ruumala ja T ideaalse gaasi absoluutne temperatuur.

Kombineerides (1) ja kas (2) või (3), saame uue võrrandi koos P, V ja T. Kui jagame võrrandi (1) temperatuuriga ja korrutame võrrandi (2) rõhuga, saame:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P}} .

Kuna mõlema võrrandi vasakpoolne osa on sama, saame tulemuseks

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P}

mis tähendab, et

P V T = konstant {\displaystyle {\frac {PV}{T}={\textrm {konstant}}} .

Asendades Avogadro seadust, saadakse ideaalse gaasi võrrand.

Kombineeritud gaasiseaduse tuletamine ainult elementaaralgebra abil võib sisaldada üllatusi. Näiteks lähtudes kolmest empiirilisest seadusest

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\! }           (1) Gay-Lussaci seadus, ruumala eeldatavalt konstantne

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\! }           (2) Charles'i seadus, rõhk eeldatavasti konstantne

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\! }           (3) Boyle'i seadus, temperatuur on eeldatavalt konstantne

kus kV, kP ja kT on konstandid, võib need kolm kokku korrutada, et saada

P V P V = k V T k P T k T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\! }

Mõlema külje ruutjuur ja jagamine T-ga annab soovitud tulemuse.

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}}\,\! }

Kui aga enne ülaltoodud protseduuri rakendamist lihtsalt ümber paigutada Boyle'i seaduses olevad terminid kT = PV, siis pärast tühistamist ja ümberpaigutamist saame järgmise tulemuse

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\! }

mis ei ole väga kasulik, kui mitte eksitav.

Füüsikaline tuletamine, mis on pikem, kuid usaldusväärsem, algab sellest, et Gay-Lussaci seaduses olev konstantse mahu parameeter muutub süsteemi mahu muutumisel. Konstantse ruumala _V1 korral võib seadus ilmneda P = k1T, samas kui konstantse ruumala _{V2 korral} võib see ilmneda P = k2T. Nimetades seda "muutuvat konstantset mahtu" kV(V), kirjutatakse seadus ümber järgmiselt

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\! }           (4)

Sama kaalutlus kehtib ka Charlesi seaduses esitatud konstandi kohta, mille võib ümber kirjutada järgmiselt

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\! }           (5)

Otsides kV(V), ei tohiks (4) ja (5) vahel mõtlematult kõrvaldada T, kuna P on esimeses muutuv, samas kui teises eeldatakse, et see on konstantne. Pigem tuleks kõigepealt kindlaks teha, millises mõttes need võrrandid omavahel ühilduvad. Selle kohta ülevaate saamiseks tuletame meelde, et kaks mis tahes muutujat määravad kolmanda. Valides P ja V sõltumatuteks, kujutame T väärtusi, mis moodustavad PV-tasandi kohal pinna. Kindel V0 ja P0 määravad T0, punkti sellel pinnal. Asendades need väärtused punktidesse (4) ja (5) ja ümber paigutades saadakse järgmine tulemus

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad and\quad T_{0}={\frac {V_{0}}}{k_{P}(P_{0})}}}}

Kuna need mõlemad kirjeldavad seda, mis toimub samas punktis pinnal, saab need kaks arvulist väljendit võrdsustada ja ümber paigutada.

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}\,\! }           (6)

Pange tähele, et 1/kV(V0) ja 1/kP(P0) on P-teljega/V-teljega paralleelsete ja PV-tasapinna kohal asuvat punkti läbivate ortogonaalsete sirgete kallakud. Nende kahe joone kallete suhe sõltub ainult P0/V0 väärtusest selles punktis.

Pange tähele, et funktsionaalne vorm (6) ei sõltu konkreetsest valitud punktist. Sama valem oleks tekkinud mis tahes muu P ja V väärtuste kombinatsiooni korral. Seetõttu võib kirjutada

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V}           (7)

See ütleb, et iga punkt pinnal on oma paar ortogonaalseid sirgeid, mis läbivad seda, kusjuures nende kallete suhe sõltub ainult sellest punktist. Kui (6) on seos konkreetsete kallete ja muutujate väärtuste vahel, siis (7) on seos kallete funktsioonide ja funktsioonide muutujate vahel. See kehtib pinna mis tahes punkti kohta, st mis tahes ja kõigi P ja V väärtuste kombinatsioonide kohta. Selle võrrandi lahendamiseks funktsiooni kV(V) jaoks eraldatakse kõigepealt muutujad, V vasakul ja P paremal.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Valige mis tahes rõhk P1. Paremal pool on mingi suvaline väärtus, nimetame seda _karb.

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\! }           (8)

See konkreetne võrrand peab nüüd kehtima mitte ainult ühe V väärtuse puhul, vaid kõigi V väärtuste puhul. Ainus kV(V) definitsioon, mis tagab selle kõigi V ja suvaliste _karb jaoks, on

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}} (9)

mida võib kontrollida asendamise teel punktis (8).

Lõpuks, asendades (9) Gay-Lussaci seadusega (4) ja ümber paigutades, saadakse kombineeritud gaasiseadust

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\! }

Pange tähele, et kuigi Boyle'i seadust selles tuletamisel ei kasutatud, on see tulemusest kergesti tuletatav. Üldiselt piisab sellisel tuletamisel kolmest lähteseadusest kahest ükskõik millisest - kõik lähtepaarid viivad sama kombineeritud gaasiseaduse juurde.

Kombineeritud gaasiseadust saab kasutada mehaanika selgitamiseks, kui rõhk, temperatuur ja ruumala on mõjutatud. Näiteks: kliimaseadmed, külmikud ja pilvede teke, samuti kasutatakse seda vedelike mehaanikas ja termodünaamikas.

• Daltoni seadus