Fermi-Diraci statistika: definitsioon, Fermi-jaotus ja rakendused
Fermi-Diraci statistika on kvantstatistika haru, mis kirjeldab süsteeme, mis koosnevad paljudest üksikutest osakestest, mida nimetatakse Fermionideks. See statistika on nimetatud Enrico Fermi ja Paul Diraci järgi. Fermi-Diraci statistikat kasutatakse näiteks elektronide ja teiste fermionide jaotuse kirjeldamiseks tahkistes, vedelikes ja astrofüüsikalistes objektides; üks praktiline näide on elektronide olukorra modelleerimine metallides ja poolmetallides, mille abil selgitatakse elektrijuhtivust ja soojusmahtu.
Olulised eeldused
- Pauli välistamispõhimõte: ühes kvantseisundis ei saa olla rohkem kui üks osake (vt Pauli välistamispõhimõte).
- Identsetest osakestest tulenev sümmeetria: kahe identses seisundis oleva fermioni vahetamine ei too kaasa uut erinevat olekut (vahetus ei muuda süsteemi olekut).
- Okupatsioon arvud: iga lubatud kohal asuva energia-seisundi puhul on lubatud täituvusarvuks ainult 0 või 1 (osakeste arvu osakese-seisundi kohta ei saa olla suurem kui üks).
Fermi-jaotus
Fermi-jaotus annab tõenäosuse, et antud temperatuuril ja energiatasemel on üks seisund hõivatud ühe fermioniga. Jaotusfunktsioon on:
f(E) = 1 / (exp[(E − μ)/kT] + 1)
Siin on E energia, μ keemiline potentsiaal (temperatuuril T→0 võrdub μ tihti Fermienergiaga E_F), k Boltzmanni konstant ja T absoluuttemperatuur. Kui T → 0, läheneb f(E) sammfunktsioonile: kõik seisundid, mille E < μ, on täidetud (f = 1) ja kõik seisundid, mille E > μ, on tühjad (f = 0).
Keemiline potentsiaal ja Fermienergia
Keemiline potentsiaal μ reguleerib süsteemis jääkupooltatud osakeste arvu. Null-Kelvinil nimetatakse μ Fermienergiaks E_F, mis tähistab kõrgeimat täidetud energia taset absoluutse nulli juures. Definitsiooni järgi on Fermienergia oluline skaalaväärtus: selle kaudu defineeritakse ka Fermitemperatuur T_F = E_F/k, mis näitab, kui „degeneratsioon” (kvantmõju) on märkimisväärne võrreldes termilise hajuvusega.
Tiheduse funktsioon ja makroskoopilised omadused
Fermi-jaotuse abil saab arvutada osakeste koguarvu, energia ja muid makroskoopilisi suurusi, kui kombineerida see vastava seisundite tihedusega (density of states). Näiteks elektroni soojusmaht metallides on madalatel temperatuuridel proportsionaalne T-ga ning tuleneb ainult fermionite osakeste lähedal Fermitasemele olevatest muutustest.
Erinevus teistest statistikadest
- Bose-Einsteini statistika: käsitleb bosoneid, millel puudub Pauli piirang — seisunditesse võib koguneda suvaline arv osakesi; jaotusfunktsioonis on plussmärgi asemel miinus (1 / (exp[(E−μ)/kT] − 1)).
- Maxwell–Boltzmanni statistika: klassikaline piir, mis kehtib harvaesinevate osakeste korral, kus kvantvahetused ja Pauli efektid on ebaolulised; jaotus on eksponentne.
Rakendused
- Solid-state füüsika: elektronide jaotus tahkistes, metallide ja pooljuhtide elektrilised ja termilised omadused (näiteks elektrijuhtivus, termopinge).
- Astrofüüsika: tihedad fermionsete osakeste süsteemid nagu valged kääbused ja neutrontähed — Pauli rõhk takistab kokkuvarisemist ning määrab massi ja raadiuse suhet.
- Ultra-külmad aatomid: fermionide gaasid külmades aatomieksperimentides, kus uuritakse kvantdegeneratsiooni ja supervedeliku ülekanneid (Cooper-paaride moodustumine ja seotud nähtused).
- Elektrontransport ja nanotehnoloogia: Fermi-tase ja jaotuse kuju mõjutavad dioodide, transistorite ja kvantpunktide käitumist.
Märkused praktikale
Arvutustes tuleb sageli kombineerida Fermi-jaotus seisundite tihedusega ning lahendada keemilise potentsiaali võrrand, mis tagab õige osakeste arvu. Paljud praktilised ligikaudsed tulemid (nt madal-Temperatuuri soojusmaht või elektrijuhtivus) tulenevad väljenditest, mis keskenduvad energiatele vaid Fermitaseme lähedal, sest termiline hajuvus mõjutab peamiselt neid tasemeid.
Kokkuvõte: Fermi-Diraci statistika on põhjalik ja universaalne tööriist fermionide süsteemide kirjeldamiseks, kus võtmeroll on Pauli välistamispõhimõttel ja Fermi-jaotusel. See annab aluse mõistmiseks, miks tahkistes ja tihedate fermionisüsteemide macrokäitumine erineb oluliselt klassikalisest oodatust.
Küsimused ja vastused
K: Mis on Fermi-Diraci statistika?
V: Fermi-Diraci statistika on kvantstatistika haru, mida kasutatakse paljudest sarnastest osakestest koosneva süsteemi makroskoopilise oleku kirjeldamiseks.
K: Kelle järgi on Fermi-Diraci statistika nime saanud?
V: Fermi-Diraci statistika on nime saanud Enrico Fermi ja Paul Diraci järgi.
K: Mis on näide süsteemist, mida saab kirjeldada Fermi-Diraci statistika abil?
V: Üks näide süsteemist, mida saab kirjeldada Fermi-Diraci statistika abil, on elektronide olek metallides ja poolmetallides, et kirjeldada elektrijuhtivust.
K: Milliseid eeldusi tehakse Fermi-Diraci statistikas?
V: Fermi-Diraci statistikas tehakse kaks eeldust: 1) ükski osakeste olek ei saa sisaldada rohkem kui ühte osakest (tuntud kui Pauli välistamispõhimõte) ja 2) osakese vahetamine teise sarnase osakese vastu ei too kaasa uut olekut, vaid annab sama oleku (tuntud kui identsed osakesed).
K: Mida ütleb meile Fermi jaotus?
V: Fermi jaotus ütleb meile, millise tõenäosusega on Fermi gaasil antud temperatuuril ja energiatasemel osakese antud olekus.
K: Mis on Pauli välistamispõhimõtte teine nimetus?
V: Pauli välistamispõhimõte on tuntud ka kui välistamispõhimõte.
K: Mis on Fermi gaas?
V: Fermi gaas on fermionide rühm, mis on piisavalt madalal temperatuuril, et ilmneksid kvantmõjud.
