Hamiltoni mehaanika — definitsioon, Hamiltoni võrrandid ja rakendused

Hamiltoni mehaanika on matemaatiline viis mõista ja kirjeldada, kuidas mehaanilised süsteemid aja jooksul käituvad. Selle aluse pani 1833. aastal iiri matemaatik William Rowan Hamilton. Hamiltoni meetod keskendub süsteemi koguenergiale, mida nimetatakse Hamiltoniuseks, ning kirjeldab liikumist kujutades süsteemi seisu- ja momentumiuuringuid faasiruumis.

Põhimõisted

Hamiltoniuse väärtus on kirjeldatava asja koguenergia. Suletud süsteemi puhul on see tema kineetilise ja potentsiaalse energia summa, tavaliselt kirjutatuna kujul H(q,p) = T(q,p) + V(q), kus q tähistab üldkoordinaate ja p nendega konjugeeritud momentumeid. Koordinaadid q võivad olla kujul positsioonid, nurkkoordinaadid vms; momentumiks p on tavaliselt p = ∂L/∂q̇, kus L on Lagrange'i funktsioon.

Hamiltoni võrrandid

Hamiltoni meetodist tekib hulk esimese järgu diferentsiaalvõrrandeid, mida nimetatakse Hamiltoni võrranditeks. N neist võrranditest üldkujul:

• q̇_i = ∂H/∂p_i
• ṗ_i = −∂H/∂q_i

Need võrrandid näitavad, kuidas üldkoordinaadid q_i ja konjugeeritud momentmid p_i ajas muutuvad. Neid saab kasutada nii lihtsate kui ka keerukamate süsteemide dünaamika leidmiseks.

Suhe Lagrange'i mehaanikaga

Hamiltoni mehaanika on Lagrange'i mehaanika alternatiivne vorm. Hamiltoni funkt­sioon saadakse Lagrange'i funktsiooni L(q,q̇,t) Legendre'i transformatsiooni abil: H(q,p,t) = Σ_i p_i q̇_i − L(q,q̇,t), kus p_i = ∂L/∂q̇_i. See üleminek muudab teise järgu võrrandid (Lagrange'i võrrandid) esimeseks järgu süsteemiks faasiruumis.

Omadused ja teoreemid

• Faasiruum: Hamiltoni dünaamika kirjeldab süsteemi seisundit punktina faasiruumis (q,p).
• Liouville’i teoreem: suletud hamiltoniaalsüsteemi faasiruumiosa ruumala aja jooksul ei muutu — faasiruumivool on sümplektne ja konservatiivne.
• Konservatiivsus: kui H ei sõltu otseselt ajast (∂H/∂t = 0), siis Hamiltoniaan on konserveeritud suurus (energia konstantne).
• Poissoni sulg: funktsioonide evolutsioon faasiruumis on kirjutatav poissoni sulgude abil: {f,g} = Σ_i (∂f/∂q_i ∂g/∂p_i − ∂f/∂p_i ∂g/∂q_i).
• Kanonilised teisendused: teisendused, mis säilitavad poissoni struktuuri (sümplektseid transformatsioone), viivad ühe Hamiltoni süsteemi teise ekvivalendi juurde.

Lihtsad näited

• Hõlpsasti mõistetav — lihtharmoniline võnkumine (vedru): H(q,p) = p^2/(2m) + (1/2) k q^2. Siit saame q̇ = p/m ja ṗ = −k q, mis on tuntud võnkumise võrrandid.
• Pendel: pendli Hamiltoniaan sisaldab potentsiaalset og kineetilist osa ning võib olla mitmekordselt mittevõrdeline, sõltuvalt väikeste nurkade lähendusest või täpsest geomeetriast.
• Hulkosakesed ja planeedid: planeetide orbiitide probleemid (taevamehaanika) formuleeritakse sageli Hamiltoniaalses vormis, mis võimaldab kasutada konserveeruvaid suurusi ja kanonilisi teisendusi.

Rakendused

Hamiltoni mehaanika ei piirdu ainult klassikaliste liikumiste uurimisega — selle põhimõtted on aluseks mitmetele teadus- ja insenerivaldkondadele:

• Kvantmehaanika: kvantmehaanika toodab klassikalise Hamiltoniaani alusel kvantoperatoreid; Hamiltoniaanist sõltub süsteemi energia­strauktur ja Schrödingeri võrrand. Seda protsessi nimetatakse kanoniliseks kvantiseerimiseks (vt kvantmehaanika).
• Taevamehaanika: planeetide, asteroidide ja satelliitide orbiidid modelleeritakse sageli Hamiltoni alusel, mis võimaldab uurida resonantseisundeid ja pikaajalist stabiilsust.
• Statistiline mehaanika ja termodünaamika: faasiruumijaotused ja säilitusseadused on olulised jaotuste ja entropia mõistmiseks.
• Optika ja kontrolliteooria: sümplektne geomeetria ja Hamiltoni meetodid leiavad kasutust lainete optikas, geomeetrilises optikas ja mõnedes juhtimissüsteemide modelleerimise lähenemistes.

Kokkuvõte

Hamiltoni mehaanika pakub võimsa ja üldise raamistiku dünaamiliste süsteemide uurimiseks, alates lihtsatest võnkumistest nagu põrkuv pall või pendel kuni keerukate süsteemideni nagu planeedisüsteemid ja kvantsüsteemid. Selle keskseks mõisteks on Hamiltoniaan — süsteemi koguenergia — ning sellest tulenevad Hamiltoni võrrandid, mis määravad süsteemi ajaevolutsiooni faasiruumis.

Küsimused ja vastused

K: Mis on Hamiltoni mehaanika?

K: Kes ja millal leiutas Hamiltoni mehaanika?

K: Mis on Hamiltoni väärtuse väärtus?

K: Mis on suletud süsteemi Hamiltonius?

K: Mis on Hamiltoni võrrandid?

K: Millised on mõned näited lihtsatest süsteemidest, mida saab kirjeldada Hamiltoni mehaanika abil?

K: Milliseid muid rakendusi on Hamiltoni mehaanikal veel?

Otsing