Ebavõrdsus on siis, kui üks objekt on:
- väiksem kui teine ( a < b {\displaystyle \ a<b} tähendab
, et a on väiksem kui b) - suurem kui teine ( a > b {\displaystyle \ a>b} tähendab
et a on suurem kui b) - ei ole väiksem kui teine ( a ≥ b {\displaystyle a\geq b}
tähendab, et a ei ole väiksem kui b, st ta on kas suurem või võrdne b-ga). - ei ole suurem kui teine ( a ≤ b {\displaystyle a\leq b}
tähendab, et a ei ole suurem kui b või on väiksem või võrdne b-ga)
Ebavõrdsust kasutatakse mõnikord väite nimetamiseks, et üks avaldis on väiksem, suurem, mitte väiksem või mitte suurem kui teine.
Täiendavad märgid ja mõisted
- Range ehk lõplik ebavõrdsus: kasutusel on < ja >. Näide: 3 < 5 tähendab, et 3 on väiksem kui 5.
- Mitteilmeküllane (non-strict) ebavõrdsus: kasutusel on ≤ ja ≥. Näide: x ≥ 2 tähendab, et x võib olla 2 või mis tahes suurem väärtus.
- Võrdne olemine: märk on =.
- Erinev (mittevõrdne): kasutatakse märki ≠, mis tähendab, et kaks väärtust ei ole võrdsed.
Põhireeglid ebavõrduste töötlemiseks
- Kui liidad või lahutad mõlemalt poolt sama arvu, siis ebavõrdsuse suund ei muutu.
Näide: kui a < b, siis a + 3 < b + 3. - Kui korrutad või jagad mõlemalt poolt positiivse arvuga, ebavõrdsuse suund jääb samaks.
Kui a < b ja k > 0, siis ka k·a < k·b. - Kui korrutad või jagad mõlemalt poolt negatiivse arvuga, ebavõrdsuse suund pöördub.
Kui a < b ja k < 0, siis k·a > k·b. - Transitiivsus: Kui a < b ja b < c, siis a < c. Sama kehtib ≤ ja kombinatsioonide puhul (näiteks kui a ≤ b ja b < c, siis a < c või a ≤ c sõltuvalt olukorrast).
- Järjestatud ebavõrdsused: Võid kirja panna mitu ebavõrdsust koos: a < b ≤ c tähendab, et a on väiksem kui b ja b on ≤ c.
Kuidas esitada lahendit
Ebavõrdsuse lahendikogumit saab esitada mitmel viisil:
- Arvulise vahemiku vorm: näiteks x > 3 tähendab, et x kuulub vahemikku (3, ∞).
- Sulud ja kandilised sulud (intervalli notatsioon):
(a, b) tähendab a < x < b (a ja b ei kuulu hulka).
[a, b] tähendab a ≤ x ≤ b (a ja b kuuluvad hulka).
(a, b] ja [a, b) on kombineeritud variandid. - Graafiline esitus: numbrirealina — avatud ring (punkt) tähendab, et piirväärtus ei kuulu lahendisse, suletud ring tähendab, et kuulub.
Näited ja lahendused
- Lineaarne ebavõrdsus: lahenda 2x − 5 < 7.
2x < 12 ⇒ x < 6. Lahendihulk on (−∞, 6). - Negatiivse korrutise mõju: lahenda −3x ≥ 6.
Jagades −3-ga, tuleb ebavõrdsuse suund pöörata: x ≤ −2. Lahendihulk on (−∞, −2]. - Süsteem ebavõrdsustest: x > 1 ja x ≤ 4 ⇒ lahend on (1, 4]. See on kahe tingimuse lõike (ühine osa).
Praktilised tähelepanekud ja levinud vead
- Pöörake alati tähelepanu märgile, kui korrutate või jagate negatiivse arvuga — see on tavaline koht, kus tehakse viga.
- Kui ebavõrdsuse mõlemal pool on murdarvud või muutujad astmetega, siis olge tähelepanelik jagamise ja ruutjuurtega tegelemisel (nt ruutjuure võtmine nõuab, et arvestada mõlema poole võimalikku märki).
- Kui kasutate arvuti või kalkulaatoriga tööriistu, kontrollige alati lõppvastust käsitsi lühidalt — eriti kui tegemist on võrrandisüsteemidega või tingimustega, mis piiravad lubatud väärtusi (nt jagamine nulliga ei ole lubatud).
Lõppsõna
Ebavõrdsused on matemaatikas väga tähtsad nii teoorias kui rakendustes — need aitavad kirjeldada piirväärtusi, optimeerimisprobleeme ja tingimusi igapäevaelus (näiteks eelarved, mõõtuvõrdlused, temperatuuripiirid jms). Kui mõistate põhireegleid (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ja negatiivse korrutise mõju), siis on ebavõrdsuste töötlemine lihtsam ning turvalisem.
