Võrdus: matemaatika, loogika ja geomeetria definitsioon
Matemaatikas
Matemaatikas on kaks asja võrdsed siis ja ainult siis, kui nad on igas mõttes täpselt ühesugused. See tähendab, et neil on sama (matemaatiline) väärtus ja samad matemaatilised omadused. Matemaatikud tähistavad seda tavaliselt võrdusmärgiga (=) ja räägivad binaarsest seosest ehk võrdsusest. Väide "x = y" tähendab, et x ja y on sama objekt või sama väärtus.
Matemaatiline võrdus on formaalselt väga tugev mõiste: see on ekvivalentsusrelatsiooni erijuht, mis rahuldab omadusi nagu
- refleksiivsus (iga element on võrdne iseendaga),
- sümmeetria (kui x = y, siis y = x)
- transitiivsus (kui x = y ja y = z, siis x = z),
- ja asendatavus (kui x = y, siis ühesugused asendused avaldistes annavad võrdse tulemuse).
Ekvivalentsus ja hulgaõpetus
Ekvivalentsus üldisemas mõttes saavutatakse kahe hulga võrdlemise kaudu, st kui kahel hulgal on täpselt samad elemendid, siis neid peetakse võrduseks. Seda põhimõtet tuntakse sageli kui hulkade ekstensioonilist määratlust. Kogumid ei pea olema lõplikud, et olla võrdsed — ka lõpmatud hulgad võivad sisaldada täpselt samu elemente.
Kui kahe avaldise puhul on igas kontekstis samad väljendatavused ja väärtused, nimetatakse seda võrduseks. Võrrandid, mis väljendavad sama seost kahe avaldise vahel, on võrdsed. Ebavõrdsused väljendavad seevastu ebavõrdsust.
Loogika
Loogikas kirjeldab predikaat omadust või suhet, mis võib olla tõene või väär sõltuvalt muutujatest. Kui predikaat kehtib ühe muutuja väärtuse kohta, kuid mitte teise kohta, siis loogika seisukohalt ei ole nende muutuja väärtused võrdsed. Teisisõnu: kui leidub omadus, mis on tõene ühe objekti kohta kuid mitte teise kohta, siis need objektid ei ole võrdsed.
Lihtne reegel aitab mäletada: kui kaks asja on võrdsed, peab kõik, mis on tõene ühe asja kohta, olema tõene ka teise kohta. See on võrdluse ja asendatavuse tuum loogilistes ja matemaatilistes tuletustes.
Geomeetrias
Geomeetrias kasutatakse sageli termineid kongruentsus ja sarnasus, et eristada eri tüüpi „võrdust”. Arvud ja arvulised väärtused on võrdsed, geomeetrilised objektid aga sagedamini kongruentsed.
Kaks kujundit on kongruentsed, kui ühte neist saab liigutada (teostada tõlge), pöörata või peegeldada nii, et see langeb täpselt kokku teisega — teisisõnu, kongruentsus säilitab kõiki kaugusi ja nurki (isomeetria). Kui ühe kujundi mõõtmeid tuleb suurendada või vähendada, et kujundid kattuksid, siis nad ei ole kongruentsed, vaid sarnased — sarnasus säilitab nurki ja külgede suhted, kuid mitte absoluutseid pikkusi.
Arvutiteaduses
Arvutiteaduses kasutatakse sageli matemaatilist võrdust, kuid praktikas on vaja eristada mitut erinevat operatsiooni: võrdlemist (comparison), omistamist (assignment) ja viidete/võrdluse semanticsi (reference equality vs value equality).
Tavalised keelekonventsioonid:
- võrdlemist väljendatakse mõnikord operaatoriga == (sõltuvalt keelest),
- omistamist tähistatakse = või := (inglise keeles assignment),
- eeskätt objektiorienteeritud keeltes on oluline eristada, kas võrdletakse viiteid (kas kaks muutuja viitavad ühele ja samale objektile) või objekti sisu (kas objektide väärtused on võrdsed).
Seetõttu on paljudes keeltes — näiteks Javas — lisaks viitevõrdusele olemas meetodid või operaatorid, mis võrdlevad objektide tegelikke väärtusi (nt Java puhul meetod equals). Sellised vahendid võimaldavad kontrollida sügavamat või semantilisemat võrdsust, mitte ainult seda, kuhu muutuja viitab.
Sotsiaalteadustes
Sotsiaalteadustes on „võrdsus” sageli mitmetahulisem ja kontekstist sõltuv mõiste. Inimesi loetakse võrdseteks siis, kui nende kohta kehtib palju samu sotsiaalseid või majanduslikke omadusi — näiteks sarnane haridus, sissetulek, sotsiaalne staatus või vanus. Kaks inimest, kes on neilt poolt võrreldes sarnased, võidakse nimetada ka eakaaslasteks.
Sotsiaalteadustes eristatakse ka erinevaid võrdsuse liike: juriidiline/võrdsus seaduse ees, võrdne juurdepääs võimalustele (võrdne võimalus) ning tulemuste võrdsus (võrdsete tulemuste püüdlus). Need aspektid on sageli poliitilise ja eetilise arutelu keskmes.
Seotud leheküljed
- Võrdne märk
- Võrrand
- Ebavõrdsus
- Loogiline võrdsus
- Kongruentsus
Küsimused ja vastused
K: Mis on sümbol, mida kasutatakse matemaatikas võrdsuse tähistamiseks?
V: Matemaatikas kasutatakse võrdsuse tähistamiseks võrdsuse sümbolit (=).
K: Kuidas saavad kaks matemaatilist objekti olla võrdväärsed?
V: Kaks matemaatilist objekti võivad olla ekvivalentsed, kui nad on seotud ekvivalentsusrelatsiooniga. Seda kujutatakse sageli selliste sümbolitega nagu ∼ või ≡.
K: Mida tähendab see, kui kaks avaldist tähistavad võrdseid suurusi?
V: Kui kaks avaldist tähistavad võrdseid suurusi, tähendab see, et nad on võrdsed ja seda avaldist nimetatakse võrduseks või võrdsuseks.
K: Kuidas eristavad matemaatikud võrrandeid ja ebavõrdsusi?
V: Võrrandid on võrdsed, samas kui ebavõrdsused on ebavõrdsed.
K: Mis vahe on kongruentsusel ja sarnasusel geomeetrias?
V: Kongruentsus tekib siis, kui ühte geomeetrilist objekti saab liigutada või pöörata nii, et see sobib täpselt teise objekti kohale, ilma et kumbki neist kahaneks või suureneks. Sarnasus tekib siis, kui ühte kahest objektist on vaja kahandada või suurendada, et need sobiksid kokku. Kongruentsusrelatsiooni kujutatakse sageli sümboliga ≅ , samas kui sarnasusrelatsiooni kujutatakse sümboliga ∼ .
K: Milline operaator võrdleb arvutiteaduses pigem objektide tegelikke väärtusi kui seda, kuhu muutujad osutavad?
V: Arvutiteaduses kasutavad keeled, kus on olemas osutajad, tavaliselt teist operaatorit (näiteks Java 'equals' meetod), mis võrdleb objektide tegelikke väärtusi, mitte seda, kuhu muutujad osutavad.
K: Kuidas defineeritakse võrdsust sotsiaalteadustes?
V: Sotsiaalteadustes peetakse kahte inimest võrdseks, kui nende kohta kehtivad paljud samad asjad, näiteks on neil sarnane haridustase ja raha ning nad on umbes sama vanad. Teine nimetus inimesele, kes on selles mõttes teise inimesega võrdne, oleks eakaaslane.
