Matemaatikas on intervall arvude kogum, mis sisaldab kõiki arvusid kahe määratud piiri — alguse (vasak piir) ja lõpu (parem piir) — vahel. Intervalli sees olevad arvud rahuldavad vastavat võrdlusvõrrandit (näiteks a < x < b või a ≤ x ≤ b), sõltuvalt sellest, kas piirid kuuluvad intervalli. Algus- ja lõpparv võivad intervalli kuuluda (suletud intervall) või mitte kuuluda (avatud intervall); võimalik on ka pooleldi suletud intervall.

Näide ja kuulumine

Kui võtame näiteks arvuvahemiku 3,3 kuni 15, siis:

  • kui intervall on avatud (3,3; 15), kuuluvad sinna kõik arvud x, mille korral 3,3 < x < 15 — näiteks 4, 8, 9,5, 14 või 14,999 kuuluvad intervalli;
  • samal juhul ei kuulu sellesse intervalli arvud, mis on väiksemad või võrdsed vasaku piiriga või suuremad või võrdsed parema piiriga — näiteks -4, 2, 3,2, 20 või 15,000001 ei kuulu intervalli;
  • kui intervall oleks suletud [3,3; 15], siis kuuluksid sinna ka piirväärtused 3,3 ja 15.

Sulgude tähendus ja kirjavahemärkide kasutus

  • [a, b] — suletud intervall: kõik x, millele a ≤ x ≤ b.
  • (a, b) või ]a, b[ — avatud intervall: kõik x, millele a < x < b.
  • [a, b) — vasakult suletud, paremalt avatud: a ≤ x < b.
  • (a, b] — vasakult avatud, paremalt suletud: a < x ≤ b.

Märkus: eesti keeles kasutatakse kümnendmärgina koma (nt 3,3). Et vältida segadust, kui arvuvahemikus on komakohad, kasutatakse vahel piiride eraldamiseks semikoolonit: (3,3; 15) selle asemel, et kirjutada (3,3, 15), mis võib tõlgendamisel olla segane.

Erandid ja lisatõed

  • Intervallid võivad olla lõpmatud: näiteks (-∞, b), (-∞, b] või [a, ∞). Lõpmatu piirusi ei saa kunagi lisada sulgudega (st -∞ ja ∞ kirjutatakse alati ümardamata sulgudega).
  • Ühes punktis kokku kahanenud intervall [a, a] on üheelemendiline kogum {a}.
  • Kui vasak piir on suurem kui parem piir (näiteks (5, 2)), siis tavaliselt intervalli ei peeta kehtivaks ja see on tühi kogum ∅.
  • Intervallid kehtivad tavaliselt reaalarvude hulga suhtes. Diskreetses kontekstis (nt täisarvud) loetakse sageli intervalli sees olevate elementide hulka sõltuvalt kontekstist (nt täisarvuline lõikepikkus).

Kuidas intervalli kirjeldada ebavõrdusega

Intervalli [a, b] saab kirja panna ka ebavõrdusega: a ≤ x ≤ b. Avatud intervalli (a, b) vastav kirje on a < x < b. See on kasulik liikmete kontrollimiseks või võrratuste korral.

Veel näiteid

  • (4, 9,6) — avatud intervall (võib olla ettevaatlik komade ja komakohtade eristamisel; sageli kirjutatakse (4; 9,6)).
  • [-100, 100] — suletud intervall sisaldab kõiki reaalarvusid alates −100 kuni 100, sh ääred.
  • [-30, -4) — vasakult suletud ja paremalt avatud intervall: −30 ≤ x < −4.

Intervallide mõistmine on oluline nii algebra, analüüsi kui ka rakenduste (statistika, füüsika, programmeerimine) jaoks — need annavad kompaktse viisi kirjeldada vahemikke, mille piires mingi omadus või tingimus kehtib.