Intervallid matemaatikas: mõiste, kirjutusviis ja näited
Õpi intervallide mõistet, kirjutusviisi ja selged näited matemaatikas: lõike tüübid, sulgude tähendus ning praktilised harjutused algajatele ja edasijõudnutele.
Matemaatikas on intervall arvude kogum, mis sisaldab kõiki arvusid kahe määratud piiri — alguse (vasak piir) ja lõpu (parem piir) — vahel. Intervalli sees olevad arvud rahuldavad vastavat võrdlusvõrrandit (näiteks a < x < b või a ≤ x ≤ b), sõltuvalt sellest, kas piirid kuuluvad intervalli. Algus- ja lõpparv võivad intervalli kuuluda (suletud intervall) või mitte kuuluda (avatud intervall); võimalik on ka pooleldi suletud intervall.
Näide ja kuulumine
Kui võtame näiteks arvuvahemiku 3,3 kuni 15, siis:
- kui intervall on avatud (3,3; 15), kuuluvad sinna kõik arvud x, mille korral 3,3 < x < 15 — näiteks 4, 8, 9,5, 14 või 14,999 kuuluvad intervalli;
- samal juhul ei kuulu sellesse intervalli arvud, mis on väiksemad või võrdsed vasaku piiriga või suuremad või võrdsed parema piiriga — näiteks -4, 2, 3,2, 20 või 15,000001 ei kuulu intervalli;
- kui intervall oleks suletud [3,3; 15], siis kuuluksid sinna ka piirväärtused 3,3 ja 15.
Sulgude tähendus ja kirjavahemärkide kasutus
- [a, b] — suletud intervall: kõik x, millele a ≤ x ≤ b.
- (a, b) või ]a, b[ — avatud intervall: kõik x, millele a < x < b.
- [a, b) — vasakult suletud, paremalt avatud: a ≤ x < b.
- (a, b] — vasakult avatud, paremalt suletud: a < x ≤ b.
Märkus: eesti keeles kasutatakse kümnendmärgina koma (nt 3,3). Et vältida segadust, kui arvuvahemikus on komakohad, kasutatakse vahel piiride eraldamiseks semikoolonit: (3,3; 15) selle asemel, et kirjutada (3,3, 15), mis võib tõlgendamisel olla segane.
Erandid ja lisatõed
- Intervallid võivad olla lõpmatud: näiteks (-∞, b), (-∞, b] või [a, ∞). Lõpmatu piirusi ei saa kunagi lisada sulgudega (st -∞ ja ∞ kirjutatakse alati ümardamata sulgudega).
- Ühes punktis kokku kahanenud intervall [a, a] on üheelemendiline kogum {a}.
- Kui vasak piir on suurem kui parem piir (näiteks (5, 2)), siis tavaliselt intervalli ei peeta kehtivaks ja see on tühi kogum ∅.
- Intervallid kehtivad tavaliselt reaalarvude hulga suhtes. Diskreetses kontekstis (nt täisarvud) loetakse sageli intervalli sees olevate elementide hulka sõltuvalt kontekstist (nt täisarvuline lõikepikkus).
Kuidas intervalli kirjeldada ebavõrdusega
Intervalli [a, b] saab kirja panna ka ebavõrdusega: a ≤ x ≤ b. Avatud intervalli (a, b) vastav kirje on a < x < b. See on kasulik liikmete kontrollimiseks või võrratuste korral.
Veel näiteid
- (4, 9,6) — avatud intervall (võib olla ettevaatlik komade ja komakohtade eristamisel; sageli kirjutatakse (4; 9,6)).
- [-100, 100] — suletud intervall sisaldab kõiki reaalarvusid alates −100 kuni 100, sh ääred.
- [-30, -4) — vasakult suletud ja paremalt avatud intervall: −30 ≤ x < −4.
Intervallide mõistmine on oluline nii algebra, analüüsi kui ka rakenduste (statistika, füüsika, programmeerimine) jaoks — need annavad kompaktse viisi kirjeldada vahemikke, mille piires mingi omadus või tingimus kehtib.
Erinevad intervallid
Intervallid saab eristada selle järgi, kuidas nad oma otstes toimivad. Intervallid võivad olla suletud, avatud või segatud.
Suletud intervallid
Suletud intervall hõlmab ka algust ja lõppu. Suletud intervall, mille algus on 3 ja lõpp 5,4, hõlmab 3, 5,4 ja iga arvu 3 ja 5,4 vahel. Suletud intervalli kirjutamiseks kasutage nurksulgusid ( [ ja ] ). Näide suletud intervalli kohta on [136, 450].
Avatud intervallid
Avatud intervall ei sisalda algust ega lõppu. Avatud intervall, mille algus on 3 ja lõpp 5, sisaldaks kõiki numbreid vahemikus 3 ja 5, kuid ei sisaldaks 3 ega 5. Avatud intervalli kirjutamiseks kasutage sulgusid ( ( ja ) ). Avatud intervalli näide on (2, 5).
Segatud intervallid
Segatud intervall on ühest otsast avatud ja teisest otsast suletud. See tähendab, et intervall võib sisaldada algust, kuid mitte lõppu, või see võib sisaldada lõppu, kuid mitte algust. Intervall [9, 23) sisaldaks 9, kuid ei sisaldaks 23.
Küsimused ja vastused
K: Mis on matemaatikas intervall?
V: Intervall on matemaatikas arvude rühm, mis hõlmab kõiki alguse ja lõpu vahel olevaid arvusid.
K: Kuidas määrata, millised arvud on intervalli sees?
V: Arvud, mis on algarvust suuremad ja lõpparvust väiksemad, on intervalli sees, ning arvud, mis on algarvust väiksemad või lõpparvust suuremad, ei ole intervalli sees.
K: Kas nii algus- kui ka lõpparvud peavad olema intervalli sees?
V: Algus- ja lõpunumber võivad olla või mitte olla intervalli sees.
K: Kuidas kirjutatakse intervall?
V: Intervalli kirjutamiseks kirjutage kas nurksulgur ( [ ) või sulgur ( ( ( ), seejärel lisage alguse number, millele järgneb koma ( , ), seejärel lisage lõpunumber, millele järgneb kas sulgur ( ] ) või sulgur ( ).
K: Kas te saate tuua näiteid intervallide kohta?
V: Intervallide näited on (4, 9,6), [-100, 100], [-30, -4).
K: Kas negatiivsed arvud on intervalli sees lubatud?
V: Jah, negatiivsed arvud võivad olla intervalli sees.
Otsige