Lorentzi tegur: definitsioon, valem ja tähendus relativistikas

Lorentzi tegur on mõõt, mille järgi muutuvad aeg, pikkus ja mass ning seotud suurused objektide puhul, mis liiguvad valguse kiirusele lähedasel ehk relativistlikul kiirusel. See tegur ilmneb Einsteini erilise relativiteedi teooriast ja määrab, kui palju kellaajad venivad, pikkused kokku tõmbuvad ning kineetiline energia suureneb võrreldes tahkest raamistikus mõõdetava väärtusega.

Valem

Võrrand on:

γ = 1 1 - ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c})^{2}}}}}

Kus v on objekti kiirus ja c on valguse kiirus tühjas ruumis. Suurust (v/c) tähistatakse sageli β \displaystyle \beta} (beeta). Seega võib võrrandi ka kirjutada lühemalt:

γ = 1 / sqrt(1 − β²), kus β = v/c.

Tähendus ja olulisemad pöörded

• Aeg (aegvenitus): Protseduuri, mida mõõdab liikuv kell võrreldes selle kellaga, mis on rahulikus lähtraamistikus, iseloomustab seos Δt = γ · Δτ, kus Δτ on proper-aeg (aeg, mida mõõdab kell, mis liigub koos sündmuse juuresolekuga). See tähendab, et liikuvate objektide jaoks aeg „läheb aeglasemalt” võrreldes vaatlejaga.
• Pikkus (pikkuse kokkutõmbumine): Objekt, mille pikkus rahulikus raamistikus on L0 (proper-pikkus), mõõdetakse liikuvast vaatepunktist lühemana: L = L0 / γ (pikkuse mõõtmine toimub samal ajahetkel selles raamistikus).
• Energia ja impulss: Lorentzi tegur ilmub ka relatiivse energia ja impulsi seostes: E = γ m c² (kus m on puhkmass ehk inertsusmassi invariants) ja p = γ m v. Märkida tuleb, et mõiste "relativistlik mass = γ m" oli ajalooliselt kasutusel, kuid tänapäeval eelistatakse säilitada massi invariantsena ning kasutada γ eraldi faktorina.
• Piirjuht: Kui v → c, siis γ → ∞. See tähendab, et valguse kiiruseni jõudmiseks oleks vaja lõpmatut energiat — seetõttu massiga osakesed ei saa saavutada valguse kiirust.

Tuletus ja seos Lorentzi teisendustega

Lorentzi tegur tuleb otse Lorentzi teisendustest, mis säilitavad Minkowski-ruumi intervalli sarnastena. Lihtsustatud kujul sõltuvad teisendused ajast ja ruumist järgmiselt:

t' = γ (t − v x / c²), x' = γ (x − v t).

Siit järgneb, kuidas sammud ja ajaintervallid transformeeruvad ning kuidas tekib nii aegvenitus kui ka pikkuse kontraktsioon.

Numbrilised näited

• v = 0,6 c → γ ≈ 1,25
• v = 0,8 c → γ ≈ 1,667
• v = 0,9 c → γ ≈ 2,294
• v = 0,99 c → γ ≈ 7,09

Rakendused ja vaatluslikud tõendid

• Partikliainefaktorites ja kiirendites: osakeste eluiga ja liikumine vastavad täpselt relativistlikele ennustustele (näiteks muonide pikendunud eluea teel atmosfääri allapoole liikudes).
• GPS-süsteem: satelliitkellade töö nõuab relativistlikku korrigeerimist, mille hulgas on nii erirelativistlik (liigutuse tõttu) kui ka üldrelativistlik (raskusvälja tõttu) mõju; ilma nende korrigeerimisteta tekiks teenuses märkimisväärne vea kasv.
• Kosmoloogia ja kõrgeenergia astronoomia: kiired osakesed, röntgen- ja gammakiirguse emissioonid ning ajamõõtmised nõuavad relativistlikku käsitlust.

Lisamärkused

• Vähestel kiirustel (v ≪ c) läheneb γ 1-le ja klassikaline Newtoni füüsika annab head lähenduse; sarjaarendus annab γ ≈ 1 + 1/2 β² + 3/8 β^4 + ...
• Füüsikas on kasulikke alternatiivseid parameetreid: nt rapiditeet φ, mille korral γ = cosh φ ja β = tanh φ — see muudab kiiruste liitmise lihtsamaks hüperboolsete funktsioonide abil.
• Termin „relativistlik mass” (m_rel = γ m0) on ajalooliselt levinud, kuid tänapäeval eelistatakse hoiduda sellest ja rääkida pigem inertsusest, energiast ja invariantsest puhkmassist m0.

Kokkuvõttes annab Lorentzi tegur γ kvantitatiivse vastuse küsimusele, kui palju erinevad aja- ja ruumimõõtmed ning seotud füüsikalised suured, kui objekt liigub kiiresti võrreldes valguse kiirusega. See on üks erilise relativiteedi keskseid mõisteid ja kandub paljudesse moderne füüsika valdkondadesse.

Küsimused ja vastused

K: Mis on Lorentzi tegur?

K: Kelle järgi see on nime saanud?

K: Milline võrrand kirjeldab Lorentzi tegurit?

K: Mida tähistab selles võrrandis (v/c)?

K: Kuidas saame selle võrrandi ümber kirjutada?

Otsing