Newtoni meetod annab võimaluse funktsiooni reaalnullide leidmiseks. Seda algoritmi nimetatakse sageli Newtoni–Raphsoni meetodiks, mis on nime saanud Sir Isaac Newtoni ja Joseph Raphsoni järgi. Meetod põhineb funktsiooni lineaarse lähenduse — puutuja — kasutamisel, et järjest lähemale liikuda funktsiooni nullpunktile.
Meetod kasutab funktsiooni tuletist, et leida selle juured. Nullpunkti asukoha jaoks tuleb teha esialgne "arvatav väärtus". Selle väärtuse põhjal arvutatakse selle valemi abil uus arvutus:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}} 
Siin xn on praegune ligikaudne väärtus ja xn+1 järgmine ligikaudne väärtus. Funktsioonil f (mille nulli otsitakse) on tuletis f'. Kui valemit korduvalt rakendada (iga kord asendada xn eelneva sammuga), võivad arvamised lähendada funktsiooni reaalsesse nulli, eeldusel, et käivituspunkt on sobiv ja teatud tingimused on täidetud.
Kuidas meetod töötab (geomeetriline seletus)
Graafiliselt seletatuna leitakse punktis xn funktsiooni f puutuja (sirge, mille kalle on f'(xn)) ning leitakse selle puutuja lõikepunkt x-teljega. Selle lõikepunkti x-koordinaat on järgmine ligikaudne väärtus xn+1. See protsess kordub, kuni jõutakse soovitud täpsuseni.
Konvergentsi omadused ja piirangud
- Kvadraatne konvergents: Kui funktsioon on piisavalt siledal kujul (tavaline tingimus: f on kaks korda diferentseeruv lähedal juurele) ja algusligikaudus on piisavalt lähedal reaalsetele nullidele ning f'(r) ≠ 0, siis Newtoni meetod konvergeerub lõpuks kvadraatkiirusega — vigade hulk väheneb ligikaudu ruuduna igas sammus.
- Tuletis null: Kui f'(xn) = 0 või on väga väike, siis samm võib muutuda väga suureks või määramatus tekkida. Sellisel juhul meetod ebaõnnestub või konvergents aeglustub.
- Mitmikkorrutus: Kui juur on mitmekordne (multiplicity m > 1), siis tavaline Newtoni meetod üldjuhul konvergeerub ainult lineaarselt. Sellisel juhul saab meetodit modifitseerida: xn+1 = xn - m·f(xn)/f'(xn), eeldusel et m on teada.
- Globaalne käitumine ja basseinid: Newtoni meetodi lähtepunkt võib määrata, millisele juurele see lõpuks konvergeerub; mõnikord tekivad tsüklid või divergents. Seetõttu ei ole meetod alati "globaalne" — algväärtuse valik on oluline.
Praktilised parendused ja alternatiivid
- Hõlmamismeetodite kombinatsioon: Kui on vaja globaalset kindlust, võib alguses kasutada bisection- või regula falsi-meetodit kuni läheduseni ning seejärel üle minna Newtonile, et saada kiire kvadraatne konvergents.
- Hämmastamine / damping: Kui sammud on liiga suured, kasutatakse kahanemistegurit λ (0 < λ ≤ 1): xn+1 = xn - λ·f(xn)/f'(xn). See võib parandada stabiilsust.
- Kui tuletist pole kättesaadav: Kasutada saab sekantmeetodit, mis lähtub kahest eelmise iteratsiooni väärtusest ja ei vaja analüütilist tuletist (konvergents kvasi‑kulgneb vähem kiiresti kui Newton).
- Systemid: Newtoni meetod üldistub süsteemidele: lahendatakse iga sammu juures lineaarvõrrandisüsteem J(xn) Δx = −F(xn), kus J on Jakobiaan ja Δx = xn+1 − xn.
Pehmesed punktid ja parandusmeetmed
- Kontrolli, et f'(xn) ei oleks väga väike enne jagamist; vajadusel kasuta piiratud sammupikkust või dampimist.
- Sea lõppkriteerium: kas |f(xn)| < tol, või |xn+1 − xn| < tol, või maksimaalne iteratsioonide arv.
- Kui meetod hakkab ebaõnnestuma (väga suur samm või korduvad väärtused), proovi teist algväärtust või üleminekut robustsemale meetodile.
Lihtne näide
Leia √2, st lahendada f(x)=x²−2=0. Valime x₀=1.
- x₁ = x₀ − f(x₀)/f'(x₀) = 1 − (1−2)/(2·1) = 1.5
- x₂ ≈ 1.4166667
- x₃ ≈ 1.4142157 (juba väga lähedal täpsusele 1.41421356...)
Rakendused
Newtoni meetodit kasutatakse laialdaselt numbrilises analüüsis ning inseneri- ja teadusrakendustes: juurte leidmine, optimeerimine (Newtoni meetod optimeerimises lahendab gradienti võrdseks nulliga), mitmemõõtmelised süsteemid, füüsikalis-matemaatilised mudelid jpm. Selle populaarsuse põhjuseks on iteratsiooni kiire lokaalne konvergents ja üldine lihtsus, juhul kui tuletis või Jakobiaan on kättesaadav ning liidetud.
Kokkuvõte
Newtoni meetod on võimas ja tõhus iteratiivne meetod funktsioonide nullide leidmiseks. Selle edu sõltub eelkõige algväärtusest, funktsiooni omadustest (eriti tuletise käitumisest) ja vajadusel kasutatavatest parendustest (dampimine, kombineerimine teiste meetoditega, modifitseeritud sammud mitmikkordsete juurte korral). Praktikas kombineeritakse Newtoni meetodit sageli teiste robustsemate meetoditega, et saavutada nii globaalne kui ka lokaalselt kiire konvergents.
