Newtoni meetod
Newtoni meetod annab võimaluse funktsiooni reaalnullide leidmiseks. Seda algoritmi nimetatakse mõnikord Newtoni-Raphsoni meetodiks, mis on nime saanud Sir Isaac Newtoni ja Joseph Raphsoni järgi.
Meetod kasutab funktsiooni tuletist, et leida selle juured. Nullpunkti asukoha jaoks tuleb teha esialgne "arvatav väärtus". Selle väärtuse põhjal arvutatakse selle valemi abil uus arvutus:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}} 
Siin xn on esialgne arvutus ja xn+1 on järgmine arvutus. Funktsioonil f (mille nulli lahendatakse) on tuletis f'.
Kui seda valemit korduvalt rakendada genereeritud arvamistele (s.t. seades xn väärtuse valemi väljundiks ja arvutades uuesti), läheneb arvamiste väärtus funktsiooni nullile.
Newtoni meetodit saab graafiliselt selgitada, vaadeldes puutujajoonte ristumisi x-teljega. Kõigepealt arvutatakse sirge, mis puutub f-i juures xn. Seejärel leitakse selle puutujajoone ja x-telje lõikepunkt. Lõpuks registreeritakse selle lõikepunkti x-positsioon järgmise arvutusena xn+1.
Funktsiooni (sinine) kasutatakse puutujajoone (punane) tõusu arvutamiseks xn juures.
Probleemid Newtoni meetodiga
Newtoni meetod võib leida lahenduse kiiresti, kui arvatav väärtus algab piisavalt lähedal soovitud juurele. Kui aga esialgne arvutusväärtus ei ole lähedane ja sõltuvalt funktsioonist, võib Newtoni meetod leida lahenduse aeglaselt või üldse mitte.
Edasine lugemine
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Newtoni meetod: Kantorovitši teooria ajakohastatud käsitlus. Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Newtoni meetodid mittelineaarsete probleemide lahendamiseks. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, teine trükitud väljaanne. Sari Computational Mathematics 35, Springer (2006).
- Yamamoto, T. (2001). "Ajaloolised arengud Newtoni ja Newtoni-sarnaste meetodite lähenemisanalüüsis". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.). Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century. North-Holland. pp. 241-263.
Vt ka
- Kantorovitši teoreem (Leonid Kantorovitši poolt leitud väide Newtoni meetodi konvergentsi kohta)
| Ametiasutuste kontroll |
|
Küsimused ja vastused
K: Mis on Newtoni meetod?
V: Newtoni meetod on algoritm funktsiooni reaalnullide leidmiseks. See kasutab funktsiooni juurte arvutamiseks funktsiooni tuletist ja nõuab nullpunkti asukoha algset arvutusväärtust.
K: Kes töötas selle meetodi välja?
V: Meetodi töötasid välja Sir Isaac Newton ja Joseph Raphson, seetõttu nimetatakse seda mõnikord Newtoni-Raphsoni meetodiks.
K: Kuidas see algoritm töötab?
V: See algoritm töötab, rakendades korduvalt valemit, mis võtab esialgse arvutusväärtuse (xn) ja arvutab uue arvutusväärtuse (xn+1). Seda protsessi korrates läheneb arvutusfunktsiooni nullile.
K: Mida on selle algoritmi kasutamiseks vaja?
V: Selle algoritmi kasutamiseks peab teil olema algne "arvamisväärtus" nulli asukoha kohta ning teadmised antud funktsiooni tuletise kohta.
K: Kuidas saab Newtoni meetodit graafiliselt selgitada?
V: Me saame Newtoni meetodit graafiliselt selgitada, vaadeldes puutujajoonte ja x-telje lõikepunkte. Kõigepealt arvutatakse sirge, mis puutub f'ile xn juures. Seejärel leiame selle puutujajoone ja x-telje lõikepunkti ja registreerime selle x-positsiooni järgmise arvutusena - xn+1.
K: Kas Newtoni meetodi kasutamisel on mingeid piiranguid?
V: Jah, kui teie esialgne arvutusväärtus on tegelikust juurest liiga kaugel, siis võib see võtta kauem aega või isegi mitte konvergeeruda juure suunas, kuna see võngub selle ümber või kaldub sellest eemale.
