Geomeetriline sarnasus: definitsioon, omadused ja näited

Sarnasus on oluline mõiste geomeetrias. See tähendab, et kaks hulknurka, jooneosa või muud kujundit on ühesuguse kujuga, ehk nende vastavad nurgad ja suhtelised küljepikkused kattuvad, kuid suurus võib erineda. Sarnased objektid ei pea olema sama suurusega. Kaks kujundit on sarnased, kui nende nurgad on sama suurusega ja nende küljed on proportsionaalsed. Kaks ringi, ruutu või joondsegmenti on alati sarnased.

Kolmnurgad on sarnasuse poolest erilised. See tuleneb sellest, et kolmnurgad võivad olla sarnased, kui ainult nende nurgad on võrdsed või ainult nende küljed on proportsionaalsed. Kõik teised hulknurgad peavad vastama mõlemale tingimusele.

Sarnasus on väga sarnane kongruentsusega. Kongruentsetel kujudel on samad küljed ja nurgad. Tegelikult on kõik üksteisega kongruentsed kujundid ka sarnased (see on erijuht — sarnasus, mille skaala on 1).

Peamised sarnasuskriteeriumid kolmnurkade jaoks

AA (nurk–nurk): kui kaks kolmnurka omavad vastavatel positsioonidel kahte võrdset nurka, siis kolmas nurk on samuti võrdne ja kolmnurgad on sarnased.
SAS (külg–nurk–külg): kui kahe kolmnurga kahe vastava külje suhe on võrdne ja nende vahelised nurgad on võrdsed, siis kolmnurgad on sarnased.
SSS (külg–külg–külg): kui kahe kolmnurga kõigi kolme vastava külje suhted on võrdsed (proportsionaalsed), siis kolmnurgad on sarnased.

Sarnasuse omadused ja mõisted

Skaalategur (k): kui kahe sarnase kujundi vastavate külgede suhted on võrdsed, nimetatakse seda suhteks või skaalaefektoriks k. Näide: kui üks kujund on teisest kaks korda suurem, siis k = 2.
Perimeetri suhe: sarnaste kujundite perimeetrid on proportsionaalsed sama teguriga k kui küljed.
Pindala suhe: sarnaste tasandikujundite pindalade suhe on k^2.
Ruumiobjektide mahusuhe: sarnaseid ruumikuju puhul on mahusuhe k^3.
Orienteeritus: sarnasus lubab rotatsiooni, translatsiooni, peegeldust ja dilatatsiooni (skaleerimist). Sarnased kujundid võivad olla üksteise peegelpildid (vastassuunaline orientatsioon) või sama orientatsiooniga.
Kesksarnasus (homoteetia): homoteetia on geomeetriline teisendus, mis viib kujundi sarnasele kujundile, kasutades skaleerimist mingi keskpunkti suhtes.

Praktilised näited

Lihtne arvuline näide: kolmnurkade külgede komplektid 3, 4, 5 ja 6, 8, 10 on sarnased, sest iga vastav külg on kaks korda suurem — skaala k = 2. Perimeetri suhe on siis 2 ja pindala suhe on 2^2 = 4.

Veel näiteid:

Kahe täisringi (ringi) suhe — alati sarnased, sest ringi kuju määrab ainult raadius.
Kahe ruudu suhe — sõltub ainult külje pikkuse suhtest; kõik ruudud on omavahel sarnased.
Kaardid ja mudelid — reaalsete objektide suured ja väikesed kujutised on sarnased, kui kasutatakse ühtset skaalaefektorit (näiteks 1:100 000).

Kasutusalad ja tähtsus

Sarnasus on väga kasulik nii matemaatika kui ka reaalse maailma probleemide lahendamisel:

trigonomeetrilised arvutused ja kõrguste mõõtmine (näiteks varju abil);
kaardistamine ja geodeesia (skaalad ja mastaabid);
arhitektuur ja inseneritöö (mõõtude suurendamine/vähendamine mudeleid tehes);
keemias või bioloogias, kus sarnasus aitab võrrelda struktuure eri skaalaastmetel.

Lühike selgitus, miks AA-kriteerium töötab

AA-kriteeriumi lõplik põhjendus võib põhineda paralleelsete joonte ja võrdsuste kasutamisel või homoteetia olemasolul: kui kaks nurka on võrdsed, siis kolmas ka peab olema seetõttu, et kolmnurga nurkude summa on 180°. See tagab, et nurgad vastavad omavahel ning kui nurgad vastavad, siis vastavate külgede suhe on ühesugune (võib konstrueerida paralleelid või kasutada pöördetegurit), seega kolmnurgad on sarnased.

Mõned tähelepanekud ja erijuhud

Üldiste hulknurkade puhul ei pruugi kahe külje proportsionaalsus üksinda tagada sarnasust — vajalik on ka nurkade vastavus.
Kongruentsus on sarnasuse erijuht (k = 1): kõik kongruentsed kujundid on sarnased, kuid vastupidi ei pea pidama.
Sarnasus ei nõua, et kujundid paikneksid samas ruumis samal viisil — piisab, et üks saab teisest transformatsiooni abil (dilatatsioon + isomeetria) tekitada.

Kui soovite, võin lisada illustratiivsed joonised, samm-sammulised konstruktsioonid AA/SAS/SSS tõestustest või praktilisi ülesandeid koos lahendustega.

Sama värviga näidatud arvud on sarnased

Küsimused ja vastused

K: Mis on sarnasus?

V: Sarnasus on idee geomeetrias, mis tähendab, et kaks hulknurka, joonealust või muud kujundit võivad muutuda samaks suuruse muutmise teel.

K: Kuidas te teate, kas kaks kujundit on sarnased?

V: Kaks kujundit on sarnased, kui nende nurgad on sama mõõduga ja nende küljed on proportsionaalsed.

K: Kas kõik hulknurgad on omavahel sarnased?

V: Ei, kõik hulknurgad ei ole üksteisega sarnased. Kõik teised hulknurgad peavad vastama mõlemale tingimusele, et nende nurgad oleksid samad ja küljed proportsionaalsed, et neid saaks pidada sarnasteks.

K: Kuidas on sarnasus võrreldav kongruentsusega?

V: Kongruentsetel kujudel on samad küljed ja nurgad, seega on kaks kuju üksteisega kongruentsed, kui üks neist saab teiseks ainult pööramise, peegeldamise või liigutamise teel. Kõik üksteisega kongruentsed kujundid on ka sarnased, kuid mitte vastupidi.

Küsimus: Kas ringid on alati sarnased?

V: Jah, ringid, ruudud või sirgjooned on alati sarnased.