√2 ehk ruutjuur kahest — definitsioon, omadused ja geomeetriline tähendus

Avasta √2 ehk ruutjuur kahest: definitsioon, olulised omadused, tõestused ja geomeetriline tähendus (ruudu diagonaal) selgelt ja praktiliselt.

Autor: Leandro Alegsa

02-11-2025 21:42

2 ruutjuur ehk 2^1/2 (matemaatiliselt kirjutatakse √2 või $2 $ ^1⁄₂) on positiivne irratsionaalne arv, mis iseendaga korrutades võrdub arvuga 2. Täpsemalt öeldes nimetatakse seda 2 peamiseks ruutjuureks, et eristada seda enda negatiivsest versioonist (−√2), mille puhul samuti kehtib (−√2)·(−√2)=2.

Luhtsamas sõnastuses: √2 on lahend võrrandile x² = 2 ja see ei ole murdarv (st teda ei saa esitada kahe täisarvu jagatisena), seetõttu on ta irratsionaalne.

Peamised omadused

Decimalne lähendus: √2 ≈ 1.41421356237309504880… (ümberlõikamatult lõpmatu ja mitte perioodiline kümnendmurd).
Algebraline omadus: √2 on algebraarne arv, mis rahuldab polünoomi x² − 2 = 0; tema astmeks (graduseks) on 2.
Konjugaat: teise lahendina polünoomile x² − 2 = 0 on −√2.
Järjend teadmistes: jätkuv murd (continued fraction) on otse perioodiline √2 = [1; 2, 2, 2, …], mis annab ideaalsed murdlähendused.
Pell’i võrrand: lähendused √2-ile on seotud võrrandiga p² − 2q² = ±1; selle lahendid annavad väga head ratsionaalsed lähendused √2-le.
Konstrueeritavus: vaatamata irratsionaalsusele on √2 konstrueeritav joonlaua ja kompassiga (näiteks ühikruudu diagonaal).

Irratsionaalsuse klassikaline tõestus

Lihtsaim ja tuntud tõestus käib vasturääkivuse kaudu. Oletame, et √2 = p/q, kus p ja q on täisarvud ilma ühiste tegurita (murd on taandatud). Siis on p² = 2q². See tähendab, et p² on paaris, seega on p paaris → p = 2k. Siis p² = 4k² ja 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k², seega q² on samuti paaris ja q on paaris. Siit järgneb, et nii p kui q on paarisarvud, mis on vastuolus eeldusega, et murd oli taandatud (ei ole ühiste teguritega). Seega algne oletus oli vale ja √2 ei saa olla ratsionaalne.

Geomeetriline tähendus ja konstrueerimine

Geomeetriliselt on ruutjuur 2 diagonaali pikkus ühikupikkuste külgedega ruudu puhul. Kui ruudu külg on pikkusega 1, siis diagonaal d rahuldab Pythagorase teoreemi järgi d² = 1² + 1² = 2, seega d = √2. Diagonaali saab joonlaua ja kompassiga konstruktsioonina leitavaks — seega √2 on konstrukteeritav arv, kuigi mitte ratsionaalne.

Sellest geomeetrilisest seosest tuleneb ka praktiline tähendus: õigesti mõõdetud ruudu diagonalid, näiteks desaini- ja inseneritöödes, annavad praktilisi lähendusi √2-le.

Võib lisada, et Pythagorase teoreem annab lihtsa seose kahe ruudu külje ja nende diagonaali vahel ning on seega otseselt seotud arvuga √2.

Arvulised lähendused ja jätkuv murd

Jätkuva murduna: √2 = [1; 2, 2, 2, …], mille lähendid (konvergendid) annavad järgnevad ratsionaalsed ligikaudsed arvud: 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, …
Need murdudest saadud paarid (p, q) rahuldavad sageli Pell’i tüüpi seoseid p² − 2q² = ±1 ja on väga täpsed lähendused √2-ile.
Tavalised lihtsad lähendused: 1.414 ja 1.41421 ning täpsemad nagu 99/70 ≈ 1.4142857 või 577/408 ≈ 1.4142157.

Algebralised ja aritmeetilised rakendused

Väärtus √2 määrab välja väljendites, milles tuleb ruutjuur kahe korrutise summast, ning see on oluline algebra ja numberteooria kontekstis.
Numbervälja Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q} on põhiline näide astme-2 laiendusest ja sageli kasutatav matemaatiliste konstruktsioonide uurimisel.
Hulga täisarvude Z[√2] = {a + b√2 | a, b ∈ Z} puhul toimib normina N(a + b√2) = a² − 2b², mis on kasulik ringi struktuuri ja faktoreerimise uurimisel.

Lühike ajalooline märkus

Irratsionaalsuse avastamine seostatakse antiiksete kreeka matemaatikutega; legendi kohaselt avastas Pythagorase koolkonna liige (sageli nimetatud Hippasukseks) just seda tüüpi arvude olemasolu, mis tekitas tolleaegsetes filosoofilistes ringkondades tugevat üllatust. Tänapäeval on √2 üks kõige tuntumaid ja enimkasutatavaid irratsionaalseid arve, olles nii teoreetiliselt kui praktiliselt oluline.

Pikkusega 1 jalaga täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkus on võrdne 2 ruutjuurega.

Tõestus, et ruutjuur 2-st ei ole ratsionaalne

Arv 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ ei ole ratsionaalne. Siin on tõestus.

Oletame, et 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ on ratsionaalne. Seega on mõned arvud a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ sellised, et a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} . $a/b={\sqrt {2}}$
Me võime valida a ja b nii, et kas a või b on paaritu. Kui a ja b oleksid mõlemad paarilised, siis saaks murdarvu lihtsustada (näiteks 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} asemel kirjutada 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} ${\frac {2}{4}}$ selle asemel võiksime kirjutada 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ ).
Kui võrrandi mõlemad küljed ruutu panna, siis saame a² / b² = 2 ja a² = 2 b² .
Paremal pool on 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} $2b^{2}$ . See arv on paariline. Seega peab ka vasakpoolne osa olema paariline. Seega a 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ on paariline. Kui paaritu arv ruudutatakse, siis on tulemuseks paaritu arv. Ja kui paariline arv ruutkasutatakse, siis on tulemuseks samuti paariline arv. Seega {\displaystyle a} on paariline.
Kuna a on paariline, võib seda kirjutada järgmiselt: a = 2 k {\displaystyle a=2k} . $a=2k$
Kasutatakse 3. sammu võrrandit. Saame 2b² = (2k)²
Võib kasutada eksponentimisreeglit (vt artikkel) - tulemus on 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}} $2b^{2}=4k^{2}$ .
Mõlemad pooled jagatakse 2ga. Seega b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} $b^{2}=2k^{2}$ . See tähendab, et b {\displaystyle b} $b$ on paariline.
Sammus 2 ütlesime, et a on paaritu või b on paaritu. Kuid 4. sammus öeldi, et a on paariline, ja 7. sammus öeldi, et b on paariline. Kui meie 1. sammus tehtud oletus on tõene, siis peavad kõik need teised asjad olema tõesed, kuid kuna nad ei ole omavahel kooskõlas, siis ei saa nad kõik olla tõesed; see tähendab, et meie oletus ei ole tõene.