Ruutjuurest 2

2 ruutjuur ehk 2 (1/2)-ndas võimsus, mida matemaatikas kirjutatakse √2 või 2​1⁄2 , on positiivne irratsionaalne arv, mis iseendaga korrutades võrdub arvuga 2. Täpsemalt öeldes nimetatakse seda 2 peamiseks ruutjuureks, et eristada seda enda negatiivsest versioonist, kus see samuti kehtib.

Geomeetriliselt on ruutjuur 2 diagonaali pikkus üle ühepikkuste külgedega ruudu; seda saab leida Pythagorase teoreemi abil.

Pikkusega 1 jalaga täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkus on võrdne 2 ruutjuurega.Zoom
Pikkusega 1 jalaga täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkus on võrdne 2 ruutjuurega.

Tõestus, et ruutjuur 2-st ei ole ratsionaalne

Arv 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} ei ole ratsionaalne. Siin on tõestus.

  1. Oletame, et 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} on ratsionaalne. Seega on mõned arvud a , b {\displaystyle a,b}{\displaystyle a,b} sellised, et a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} .{\displaystyle a/b={\sqrt {2}}}
  2. Me võime valida a ja b nii, et kas a või b on paaritu. Kui a ja b oleksid mõlemad paarilised, siis saaks murdarvu lihtsustada (näiteks 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} asemel kirjutada 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} {\displaystyle {\frac {2}{4}}}selle asemel võiksime kirjutada 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}} ).
  3. Kui võrrandi mõlemad küljed ruutu panna, siis saame a2 / b2 = 2 ja a2 = 2 b2 .
  4. Paremal pool on 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} {\displaystyle 2b^{2}}. See arv on paariline. Seega peab ka vasakpoolne osa olema paariline. Seega a 2 {\displaystyle a^{2}}{\displaystyle a^{2}} on paariline. Kui paaritu arv ruudutatakse, siis on tulemuseks paaritu arv. Ja kui paariline arv ruutkasutatakse, siis on tulemuseks samuti paariline arv. Seega {\displaystyle a}a on paariline.
  5. Kuna a on paariline, võib seda kirjutada järgmiselt: a = 2 k {\displaystyle a=2k} .{\displaystyle a=2k}
  6. Kasutatakse 3. sammu võrrandit. Saame 2b2 = (2k)2
  7. Võib kasutada eksponentimisreeglit (vt artikkel) - tulemus on 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}} {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}.
  8. Mõlemad pooled jagatakse 2ga. Seega b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}. See tähendab, et b {\displaystyle b}{\displaystyle b} on paariline.
  9. Sammus 2 ütlesime, et a on paaritu või b on paaritu. Kuid 4. sammus öeldi, et a on paariline, ja 7. sammus öeldi, et b on paariline. Kui meie 1. sammus tehtud oletus on tõene, siis peavad kõik need teised asjad olema tõesed, kuid kuna nad ei ole omavahel kooskõlas, siis ei saa nad kõik olla tõesed; see tähendab, et meie oletus ei ole tõene.

Ei ole tõsi, et 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} on ratsionaalne arv. Seega on 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} irratsionaalne.


AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3