2 ruutjuur ehk 21/2 (matemaatiliselt kirjutatakse √2 või 2​1⁄2) on positiivne irratsionaalne arv, mis iseendaga korrutades võrdub arvuga 2. Täpsemalt öeldes nimetatakse seda 2 peamiseks ruutjuureks, et eristada seda enda negatiivsest versioonist (−√2), mille puhul samuti kehtib (−√2)·(−√2)=2.

Luhtsamas sõnastuses: √2 on lahend võrrandile x² = 2 ja see ei ole murdarv (st teda ei saa esitada kahe täisarvu jagatisena), seetõttu on ta irratsionaalne.

Peamised omadused

  • Decimalne lähendus: √2 ≈ 1.41421356237309504880… (ümberlõikamatult lõpmatu ja mitte perioodiline kümnendmurd).
  • Algebraline omadus: √2 on algebraarne arv, mis rahuldab polünoomi x² − 2 = 0; tema astmeks (graduseks) on 2.
  • Konjugaat: teise lahendina polünoomile x² − 2 = 0 on −√2.
  • Järjend teadmistes: jätkuv murd (continued fraction) on otse perioodiline √2 = [1; 2, 2, 2, …], mis annab ideaalsed murdlähendused.
  • Pell’i võrrand: lähendused √2-ile on seotud võrrandiga p² − 2q² = ±1; selle lahendid annavad väga head ratsionaalsed lähendused √2-le.
  • Konstrueeritavus: vaatamata irratsionaalsusele on √2 konstrueeritav joonlaua ja kompassiga (näiteks ühikruudu diagonaal).

Irratsionaalsuse klassikaline tõestus

Lihtsaim ja tuntud tõestus käib vasturääkivuse kaudu. Oletame, et √2 = p/q, kus p ja q on täisarvud ilma ühiste tegurita (murd on taandatud). Siis on p² = 2q². See tähendab, et p² on paaris, seega on p paaris → p = 2k. Siis p² = 4k² ja 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k², seega q² on samuti paaris ja q on paaris. Siit järgneb, et nii p kui q on paarisarvud, mis on vastuolus eeldusega, et murd oli taandatud (ei ole ühiste teguritega). Seega algne oletus oli vale ja √2 ei saa olla ratsionaalne.

Geomeetriline tähendus ja konstrueerimine

Geomeetriliselt on ruutjuur 2 diagonaali pikkus ühikupikkuste külgedega ruudu puhul. Kui ruudu külg on pikkusega 1, siis diagonaal d rahuldab Pythagorase teoreemi järgi d² = 1² + 1² = 2, seega d = √2. Diagonaali saab joonlaua ja kompassiga konstruktsioonina leitavaks — seega √2 on konstrukteeritav arv, kuigi mitte ratsionaalne.

Sellest geomeetrilisest seosest tuleneb ka praktiline tähendus: õigesti mõõdetud ruudu diagonalid, näiteks desaini- ja inseneritöödes, annavad praktilisi lähendusi √2-le.

Võib lisada, et Pythagorase teoreem annab lihtsa seose kahe ruudu külje ja nende diagonaali vahel ning on seega otseselt seotud arvuga √2.

Arvulised lähendused ja jätkuv murd

  • Jätkuva murduna: √2 = [1; 2, 2, 2, …], mille lähendid (konvergendid) annavad järgnevad ratsionaalsed ligikaudsed arvud: 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, …
  • Need murdudest saadud paarid (p, q) rahuldavad sageli Pell’i tüüpi seoseid p² − 2q² = ±1 ja on väga täpsed lähendused √2-ile.
  • Tavalised lihtsad lähendused: 1.414 ja 1.41421 ning täpsemad nagu 99/70 ≈ 1.4142857 või 577/408 ≈ 1.4142157.

Algebralised ja aritmeetilised rakendused

  • Väärtus √2 määrab välja väljendites, milles tuleb ruutjuur kahe korrutise summast, ning see on oluline algebra ja numberteooria kontekstis.
  • Numbervälja Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q} on põhiline näide astme-2 laiendusest ja sageli kasutatav matemaatiliste konstruktsioonide uurimisel.
  • Hulga täisarvude Z[√2] = {a + b√2 | a, b ∈ Z} puhul toimib normina N(a + b√2) = a² − 2b², mis on kasulik ringi struktuuri ja faktoreerimise uurimisel.

Lühike ajalooline märkus

Irratsionaalsuse avastamine seostatakse antiiksete kreeka matemaatikutega; legendi kohaselt avastas Pythagorase koolkonna liige (sageli nimetatud Hippasukseks) just seda tüüpi arvude olemasolu, mis tekitas tolleaegsetes filosoofilistes ringkondades tugevat üllatust. Tänapäeval on √2 üks kõige tuntumaid ja enimkasutatavaid irratsionaalseid arve, olles nii teoreetiliselt kui praktiliselt oluline.